Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Другой способ учета временного эффекта В предыдущем разделе различные задачи были сведены к матричным дифференциальным уравнениям относительно времени. Это осуществляется достаточно просто и не требует новых принципов. Однако возможны и другие подходы. Во-первых, к дифференциальным уравнениям, описывающим задачу, может быть непосредственно применена процедура Галеркина (или другой весовой метод минимизации невязки), обсуждавшаяся в равд. ЗА. При описании неизвестной величины функциями формы, зависящими не только от пространственных координат, но н от времени, т.
е. Т = [ е' (х, у, х, 1)] (Ф), дискретизация задачи может быть произведена пространственными и временными конечными элементами [6, 28]. При этом задача становится четырехмерной, но в принципе численное решение может быть получено обычным методом после непосредственной дискретизации на произвольном интервале времени 6 <1< Гэ Во втором подходе применяется вариационный принцип по пространственным переменным и времени. Вариационные методы, использующие свертку интегралов, описаны Гэртином [29] и успешно применены в работах [5, 241 На основе этих методов могут быть также построены пространственные н временные конечные элементы.
В простых динамических задачах вариационный принцип непосредственно следует из принципа Лагранжа. Ищется стационарное значение интеграла (И.42) в котором й=(7+ Зг+ Т, (!6.43) где 0+ йг — сумма энергии деформации и потенциальной энергии, которая была уже введена в гл. 2, и Т вЂ” кинетическая энергия системы. Величина и называется фуннйией Лагранжа [ЗО]. Несмотря на то что такие подходы обладают достаточной общностью, они не будут подробно рассматриваться, Упрощенный вариант процедуры Галеркина в следующем разделе будет непосредственно использован для уравнений дискретизированной задачи. 16.6, Рекурреитные соотношения для решении задач Коши В матричных дифференциальных уравнениях, полученных в предыдущих разделах, значения функций н, если необходимо, збй Глава гд Ивстаяиааарммз а дым[мизес«из задача 16.5.1.
Задачи, описываемые дифференциальными уравнен[зяма первого порядка по времени Типичной для этого класса является задача, определяемая уравнением (16.6) при [О) = О: [Н) (ф) + [С] д (ф) + [р) = О. (16Л4) Мы рассмотрим интервал О(1(1„, обозначая через (ф)с начальные значения при Г = О. В общем случае предположим, что в пределах этого интервала вектор (ф) ннтерполирован по его неноторым значеничм: (ф) = Я: У,О) (ф)п (! 6.45) где У[(Г) — соответствующие функции формы, непрерывные в пределах рассматриваемого интервала. Например, если интерполяция линейная, то следует рассмотреть лишь начальное значение ф при ! = О и значение при 1, = 51 (п = 1), т. е, в матричной форме ((ф)с1 (ф)=[У, У[)~(ф) у (16.46) нх первых производных по времени, заданные в начальный момент времени, однозначно определяют эти функции на определенном интервале времени.
Задачи такого класса, известные как «начальные» или «шаговые», могут быть решены с помощью подходящих реиуррентиых соотношений [!). В неноторых простых случаях такие рекуррентные соотношения приводят к точным решениям [3). Эти случаи не будут рассматриваться в дальнейшем. Рекуррентное соотношение может быть установлено различнымн способами. Нзпример, может быть непосредственно использована разностная схема или применен метод Галериина для минимизации невязки в пределах наждого интервала. Другой метод, который применяется чаще, обладает всеми достоинствами вариационных методов, предложенных Уилсоном и др.
[5, 24] Рекуррентное соотношение может быть записано для нескольких интервалов одновременно, что требует решения большего числа совместных уравнений, но приводит к повышенной точности и устойчивости. Здесь удобно отдельно рассмотреть матричные уравнения, содержащие лишь первые производные по иремени, и уравнения, имеющие производные второго порядка по времени.
при Уа — — (бг — !)161, У,=!1д[б Производная по времени Так как начальное значение (ф)с известно, то используется тольно одна весовая невязка, Интегрируя уравнение (16.44), умноженное на Уь имеем И([Н м .1(ЩЛ+ + (С)[ †'",', д"'Я (ф) ~ + (Рфи = О[ (!6.48) после подстановки (!6.46) и (16.47) и последующего интегриро- вания получаем [Н) (-,' (ф).+ф (ф),)+ —,', [С) (- [ф) +(ф),)+ + —, ~ (Р) 1д! = О. (16.49) с Этот результат подобен тому, который был бы получен на основе обычной центральной конечной разности [1, 4, 8). Однако вывод уравнения (!6.49) является иным, и при этом возникают интересные возможности использования других интерполяцнонных функций.
Из уравнения (16.49) величина (ф)[ может быть найдена фор. мально [[[,— Я[с[с[сгм) [(![с! — [асс[)[с[с Ы + — ',„$ [Р)гдг1. (16.56) с Это рекуррентное соотношение может быть использовано для всех последующих интервалов времени (выбор в начестве начального значения ф величины (ф), при ! = О является в данном случае чисто условным). Для другой рекуррентиой схемы можно рассмотреть некоторый интервал времени, содержащий три точни (О, лг, 251), как 66! Глана !6 Жо Нестациокаркые и динамическое задачи показано на фнг. 16.2.
Поступая аналогично, мы вместо уравие. пня (16.46) получим [ (ф)о 1 (ф) =[туз(Г), У!(Г), Нз(/)] (ф)! (16.51) (ф)з Фнг. !6.2. Временные функцнн формы е разрывной первой оронзноянон. (б)о д/д/ (б)„ (б)=[Нм, Н о Но! Нп] (16 62) д/д/ (б)! с параболическими интерполяционными полиномами Лагранжа. Продолжение этого при. .м. м мера приводит к двум весо! аым уравнениям минимизации невязки, подобным уран.
нению (1648)епричем (ф)! и о ! (ф)з определяются по задана. н,н, ным начальным значениям .е Ъ (ф)о, Эта процедура может .=< продолжаться до бесконечч ности, причем с увеличением , числа совместных уравнений точность решения повышается. Ясно, что более сложные временные элементы обеспечивают ббльшую устойчивость решения н при этом могут быть использованы ббльшие временные интервалы. /6,3.2, Задачи, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка па времени Динамические задачи строительной механики и подобные задачи описываются уравнениями вида [К](Ь)+[С],!! (Ь)+[М] д, (б)+(Р)=О (16,13) Для решения этого уравнения, очевидно, необходимы два начальных условия.
Обычно задаются значения (б)о и д/д/(б)о в начальный момент времени. В соответствии с, вышеизложенным функции формы, описывающие изменение конструкции во времени, ныбираются по значениям (б) и д/д/(б) в различные моменты времени. В случае простейшей интерполяции учитываются лишь значения времени / = О н / = б/ и внутри интервала используются кубические полиномы Эрмита, Таким образом, имеем при Н, =1 — За!+ 2й, Н,о = (з — 2зз + ~) б/, Н,=з' — Ы, Нп=( — за+ м)б! и в= —. Эти полиномы Эрмита аналогичны приведенным в гл.
1О и 12; их графики представлены на фиг. 16.3. ос | о ф !66 Временные функннн формы с резрыеной второй оронзновиой. Необходимое рекуррентное соотношение можно получить, если записать весовое уравнение минимизации невязки для / бб 1(Н")Г([К]+[С) д+ (б)о д/д/ (Ь), +[М[ —,,)[Нм, Нсе Нм, Ни] +(Р)|д/=О. (1653) д/д/ (Ь), Глава !б 16.5.3. Связанные задачи ТРГ+ — —,=О. рс дТ й Гм (16.55) И вЂ” (Т вЂ” Т.) (16.56) После подстановки функций формы и интегрирования из ра- венства (16.53) будут получены уравнения для определения ве- личин (6)1 и д/д1(б)1, выраженных через начальные звачепия. Окончательный внд рекуррентнага соотношения: [Аы Аю)(д!дг(6)11 [Вт1 В3(д!д! (6)о~ (Ст1' вывол этих выражений предоставляется читателю в качестве несложного упражнения.
Полученное рекуррентиое соотношение не совпадает с конечно-разностным уравнением Уилсона и Клуха [ЗЦ или с его раз. новидностями, использованными Чаном и др. [32). Оао было с успехом применено Фридам [28), хотя и выведено им другим способом. Очевидна, что можно применить и более сложные конечные временные элементы с дополнительными степенями свободы. Эти задачи могут быть исследованы изложенным выше способом с использованием различных аппроксимирующих функций по времени в соответствующей форме. Подробно этот вопрос мы рассматривать не будем.
16.54, Некоторые примеры Несколько простых примеров использования рекуррентных соотношений, рассмотренных в подразд. 16.5.1, взнто из работы [6) для иллюстрации применения метода и подтверждения его устойчивости, Нестационарное распределение температуры в лопасти ротора. Пример, приведенный на фиг. !6.4, иллюстрирует двумерную задачу, описываемую уравнением теплопроводностн Граничное условие ') излучения тепла на поверхности ло. пасти [уравнение (15.3))записывается в виде ') Обычна принято граничное условие 116 661 называть успеваем тепло- обмена, а усповнеы нвлучення оно называется, есдп в правой паств 116Д61 вместо равности температур берстов разность нх четвертых степеней.
— Прим. Ррд. Песгочиоиирлыв и дипимичеспис впдпчи Фпг. 16.4, Распределение температур в охламдаечой лопасти ротора, имеющей нулевую начальную 'температуру (Ы = 0,01 су. у . ипю и«сот с 1 11 лл л с. плс выт р 7,97 гусич к лффаавснт тепло делал я т провод«оста В сис аис» с ° С. Т ил ратура гал оло о лапа тл 114В С «юв фа«нсвт теалсотда в с аа зарулила юсрх ю та лол стп 1д — зу лиеляетса сх й ' даю о С,ЫС 1ССЧЛВ«с А-Ю. 41снер отвлрства Темп рлтурл о в отверстал, 'С 1 64а влип а са7 ни«1 где Го — температура окружающего газа, р — плотность, с— улель лельная теплоемкость, й — коэффициент теплопроводностп и и — коэффициент теплоотдачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
