Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Если жидкость несжимаема, то следует просто ввести матрицу присоединенных масс. В гл. 15 довольно подробно рас. сматрнвался вопрос построения такой матрицы, так что добавление ее не представляет особых затруднений. Этот подход к решению задачи впервые описан Зенкевичем и др. ]19] и впоследствии был использован Баком и др.[20]. При учете сжимаемости жидкости задача несколько услож. ияется, поскольку колебания жидкости и конструкции взаимосвязаны. Простой пример двумерной задачи, иллюстрирующий взаимодействие идеализированной плотины и жидкости, представлен на фиг. 17.8. Этот пример показывает эффективность использования различных разбиений на элементы [22]. При сведении связанной задачи к обычной задаче о собственных значениях целесообразно использовать специальные преобразования.
Некоторые такие преобразования описаны в работе [21). Другой метод вычислений изложен Айронсом [23]. 17.6. Решения нестационарных задач. Метод нормированных собственных функций В предыдущей главе обсуждалось решение нестацнонарных задач с помощью различных рекуррентных соотношений. Однако если известны собственные частоты и собственные функции системы без демпфирования, то сравнительно нетрудно определить реакцию на неустановившнеся воздействия системы с демпфированием, которая описывается уравненпем (17.1). Этот метод изложен во многих учебниках.
Хотя н приближенно, он позволяет вычислить реакции на такие сложные воздействия, как толчки при землетрясениях и др. [20, 24, 25]. Рассматривая опять основное уравнение (!7 1) ]А'](6)+ [С) — „(6)+(М) 3(;(6)+( (1)) =о, отметим, что любое движение можно представить в виде линейной комбинации собственных функций (бе)ь полученных в результате решения задачи о собственных значениях ([К] — ве [М) ) (ба) = О.
(17. Я) Таким образом, можно записать (6) = Нбе) (бе)е, ", (ба).) (г) = [б ] (г), (17 30) где матрица [Ьо] содержит все собственные функции (нормиро- ванные), а (г(1)) — коэффициенты яропорцнональности при соб. ственных функциях. Если теперь подставить (17.30) в (17.1) и результат умцо- жить на [у!е]г, то получим ]л ]к[У(][бе](г) ! ]Ум[в]С)[б ] а ( ) ! + ]бо]г [М] [бо) —. (г) + [Ло]г(Р) = О. (1731) В соответствии со свойством ортогональности [см. 17.12)) ( 0 при ( 1 пРи 1=У Кроме того, по определению [У(] (6,), =, [МЦ6,)и Следовательно, г 0 при !Фу, (6 )~ [~] (6)1 Если также иредлологсигь'), что выполняютсн соотношения 0 при учьу, (бо) г [С) (6,)1 — — ~ то система (17.31) будет содержать только диагональные члены.
Следовательно, при нормированных собственных функциях по- лучаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений. и' г вег, + 2в, с, — „г, + —, г, = — (6,] (Р), (17.32) вег„+2влси игг„+ пе г„= — (бо) [Р). и ие г Каждое нз этих уравнений решается элементарно, а затем с помощью соотношения (17.30) строится полное решение. этот метод особенно удобен, если все силы (р(1)) одинаково меняются со временем. Если, например, основание конструкции движется с ускорением (у(у), то можно считать, что это основание неподвижно, а к самой конструкции в узлах (фиг. 17.9) приложены силы — [М] (А) ().
(17.33) '] это предположенне ввлветсв обосооввнныы, твк клк в прелыдугией главе было показано, что метрике (С! по форне вналогнчна матрице (М]. Глава 37 Матрица (А) характеризует геометрические соотношения между ускорениями узлов и величиной Ог (если направление (Л совпн- дает с направлением одной из координат, то оыв состоит из еди- ниц и нулей). Еяяоууимглоа оа«одакик 6»иг $7ЛЬ Экяияалеггтнасть ляижениа асиоааиня дейстакю силы Типичное лифференцизльное уравнение можно записать в виде ~Х+2нйс, дг ~,'+ дг, х;=((($), и, и» (|7.34) где г, = )7»г,' и Лсг = (5„)т (М] (А). (| 7.36) Решение уравнения (17.34) имеет простой вид г 3,' = $ () (!) к '"г " " юп ю, (! — т) $$» о (17.36) и его можно вычислить для любых типов движения, При расчете конкретных конструкций необходимо знать весовые множители )7», вгячггслег!3(е которых можно предусмотреть в программе решения задачи о собственных значениях.
С помощью уравнения (17.34) рассчитывались реакции системы с одной степенью свободы пл воздействия сейсмического характера. Часто можно видеть, что поведение системы определяется небольшим числом собственных функций и что для определения максимальной реакции доствточно сложить мнксимальиые резкцин, соответствующие этим собственным функциям. динамические задача Полуаналатическае исследование ЛИТЕРАТЬРА 1, СгапдаП 5 Н., Епк!пеег!пк Апа|уяЬ, Мсбгаи-НШ, 1956. 2.
Шнмпьап Л. Н., ТЬе А13еЬга!с Егяепча|ое РгоЫеп», Ох1агд Оп|и Ргеья, 1965. За. Сох Н. 1., Ч!Ьга1юп а| М|юИея, А|юга($ Еау., ЗЗ, 2 — 7, 43 — 55 (195П. ЗЬ. Лепных А., На!ига! ЯЛЬганап о| а Ггее 51гнс1иге, Аасга|$ Еау., 34. 31 — 83 (1962). 4. |гонь В., Е|хепча|ие Есапат!ьегя |п Ч|ЬгаИап РгоЫеюз, Л, Еау. Аего. Бас., 67, 526 (1963). 5, 1гапь В., Бине|ага! Яяпечаше РгаЫепы: |нйп3паноп о$ Опмап|ед ЧамаЬ.
|еа, ЛАЛАА, 3, 96! (3965); есть русский перевод: Айронс, Балаян а собст. пенных значениях матрип конструкнни. исключение лишних переменных, Раке»кок »скачка и космокаятако, 3, № 5, стр. 207 (1965). 6. Оиуап Н. Л., Цедасйап о1 Я|Ипею апд Мазь Ма|песа, !АЛАА, 3, 380 (1965); есть русский перепал; Гаван, Прняепеиие натрии жесткости н массы, Ракетная техника н космоноягако, 3, № 2, атр 287 (|9651. 7. Апдегяоп Н. О., |ганя В.
М, 2!епмеинся О. С., »ЛЬганап апд 5!яЫП17 о| Р|а1ея 1)ыпи Г|пне Е1епгепы, Мг. Л. Бо!ыя оид 5$гисГ., 4, !031 — 1055 (3968). 8. Паюядеп Л. М.. 5|айег Л. П., Маги Сапдепьаноп; а Бом| Ашатанс Мсжад |аг Педас|пн !Ье Бис о| Ч|Ьганап РгаЫеюя, ЛаГ Л. Уюи. Меть. Еиу„3, 333 — 349 13969). 9. Ваггаа М. Ч., Ч»Ьгаиап о| Пес$апуа|аг апд Бйеи Сапи1ечег Р1а|еь, Л. АРР1. Месь 38 !29 — 334 1|9М) 10.
С!ануй П. %., СЬарга А К., Еагюлиайе 5|тем Апа3уя|а |п Еаг$Ь Оаюз, 5!гас|атея апд Ма|ег$аЬ Неяеагсй Пер|. № 65 — 8, Спгч, а$ Са|ногп|а, Вег- $»е1еу, Саишгпга, 1965, 33. Айгпад 5., Апдегюп П. О.. Удепмемюг О С., Ч$Ьгаиоп а1 ТЫсй, Сигчед, БЬена и11Ь Раг||сшаг Не|меосе 1а ТпгЬ»пе 83адея, Л. 5|гаги Ало|узы, 5, 200 — 206 1!970). 12.
Апдегюп П !»., А Щи||с Е|еюеп| Е|уепча1ие Буя!ею, РЬ. О. Тйеыя, 1|пы. а| %а|аз, Бмзпьея. 3968. 13. Агсйег Л 5. НаЬ»п С. Р., 3юргоъед шпее» Ах|.Буште1ис БЬеП Шид Майе! |аг 1.аппсЬ Ъ'ей|с!я !.апйнад|па1 не»ранье Апа$уия, Ргас. СапУ. ап Ма|их Межадя гп 51гос1, Месь., А$г Гогсе 3п»1. а| ТесЬп„фг»ЗЫ Ранегаоп А. Г. Вазе, 01иа, 1965. 14.
АгкугЬ Л Н., СапЬпаа аод Шьсап!|поа, Ргас. Сап1. ап Ма|ты Ме1ЬогЬ |п Ягас1 МусЬ., А|г Гогсе 1пь!. о| Тесин., Ткг|КЫ Ра1йиаоп А. Г. Вазе, ОЫа, Ос|. 1965. 35, К|егп 5, Бу!чеюег Н. Л., ТЬе 1.|псаг Е|аьнс Оупаппс Апа|уыя о$5Ьеия а| Печа1обап Ьу 1йе Ма1г1к ОЬР|асегпеп1 Мсюод, Ргаа Сап$, оп Ма|г|х Ме|. Ьадя |а Ягас| МесЬ., А»г Гагсе |пя!. а| Тесин., вгг!Вй! Ранегшп А. Г. Ва. ш, ОЬю, Ос|. 1965. 36 Оапкаг П., Бечегп П.
Т., Тау|ог Р. П., Ч|Ьга|юп о1 Р|а1е апд Бйен Ягнс|юеь !|ь!пи Тпапяо1аг Ггпне В|ежей|я. Л. о) Яга|и Аиа1у»Ь, 2, 73 — 83 (№67). 37. Аггея| Р. !., Вайгап| А. К, хмпюеы|ст О. С., Арр1»сю!оп а1 Г|пИе Е1еюспЬ 1о 1Ье Ба!пнап а1 НейпйоИя'я Еяааггап, Ргос. ЛЕЕ, 115, 1762 — !964 1|968). 18.
Тау!ог С., Ращ В. 5, Х|епыем|са О, С, НагЬоог Ояс|иа|юп а Ыюпепса| Тгеа!юеп1 1ог Упдагпред На|ага! Моде», Ргос Лия$. Шо Еяу., 43, |4|в 155 (3969). 19. Х!епюеюсх О. С., !гоп» В., Ыаю В., Ма1ига| Ггечаепс|еь о| Сатр|сх, Ггее ог БиЬ»пегкед Ягисй»геь Ьу |Ье Ггп|!е Е|еюеп1 Мейад, Буюр. ап Ч|Ьга. Иапь гп С»л| Епк., |па|. СЫ, Епн., !.опдоп |В»иегмагй), 1955.
20. Вас3» Р. А. А., Свезен А. С., !)апяаг Н, Оаойгауег О. П, Бечегп Н Т„ ТЬе Бе|ьпис !Леюуп Яаду о1 а ОаоЫе Сагча|иге АгсЬ Оат, Ргос. ЛизГ. Сш. Еиу., 43, 2!7 — 248 (\969). Глоап 17 2!. 2|епжет |се О, С., Меч|оп Гс Е., Санр|ед Ч|Ьгаиопа о1 а 51гссюге 5оЬ- шегхед |п а Сошргеаа|Ые 51шд, !п!.
Вугпр. сп Р|пие Щешеп! Тесьшянеа, 5!ппхаг(, 1969. 22 Но!ьесье 1., РЬ. О. Тьек|а, Оп|с. а1 еда|ее, Вжапаеа, 1971, 23. !гана В. М., Цо!е с1 Раг|-|птегмсп |п Щпм 5!гпс|нге Ргоыеша м|Щ М|кед Чаг|аЫеа, УА1АЛ, 7, 568 (|979); есть русский перепад; Айронс, Раль частичного обременив а накачал са смешаннымн переменными о пснеденни системы жидкость — кснструкдна, Ракеткол текчнко м космопоагикц 8, Уй 3, стр. 239 (1970). 24.
Наюпег С. %„ВеЬаыоиг а| Ягпс!нгеа Онг1пх Енг|ьднайеа, Ргос. Ат. 5ос. С|с. Епх., 85, ЕТМ4, 110 — !29 |1959]. жь Е!епжеп|ск О, С., Апдегасп Гс О., |гана В., Вс!!гека Ваш Апа|ума |аг Еаг|ЬЧна|ге |.авда, Кгоеег Рожек, 19, 359 — 363 (|967). ГЛАВА 18 ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛАСТИЧНОСТЬ, ПОЛЗУЧЕСТЬ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ И Т. Д. !8.1. Введение Все рассмотренные до сих пор задачи описывались линейными дифференциальными уравнениями, приводящими к стандартной квадратичной форме функционала.
В задачах механики упругого тела линейность являлась следствием: а) линейной связи между деформациями и перемещениями (см. соотношение (2.2)]; б) линейной связи между напряжениями и деформациями (см. соотношение (2.3)]. В задачах теории поля такая линейность была следствием предположения о независимости постоянных, например проницаемости й, от искомого потенциала ф [см. соотношение (15.1)]. Однако многие практически важные задачи не являются линейными.
поэтому обобщение изложенных численных методов, которое позволило бы исследовать такие задачи, представляет большой интерес. В механике твердого тела такие явления, как пластичность, ползучесть и другие с,гожнсге реологические дплеммд, заставляют отказаться от предположеяий линейной упругости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
