Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Читатель, несомненно, знаком с методом Ньютона решения нелинейных уравнений с одной переменной х вида Если приближенное решение х достаточно близко к точному, но в то же время ф(х„) ть О, то его можно уточнить, полагая х„л, = х„+ бахче „ Сходнмость метода Ньютона графически показана на фяг. !8.2, и. Можно поступить по-другому и на кажлом шаге использовать некоторое постоянное значение величины тогда поправКа принимает внд Ч (х„) ()хз а+т (Ч)ч Фх Глава (8 4О) Физически иелииейиьы аодечи Такой процесс, изображенный на фиг.
18.2,б, обычно сходится медленнее. Ясно, что эти же идеи легко обобщить на не. линейные уравнения со многими переменными. В этом случае процесс известен как метод Ньютона-Рафсона, который в свою очередь может быть модифицирован аналогично тому, как это сделано выше, Очевидно, что методы переменной и постоянной жесткости, рассмотренные с общих позиций в равд !82, относятся к этим двум категориям. Фиг.
!8Я. Нтерацнывиый метод Пыотона (о) н метод с исиользованнем постоянного наклона (6). Для проведения дальнейших выкладок удобно вернуться к основным уравнениям метода конечных элементов, полученным из принципа виртуальной работы в гл. 2, Уравнения (228) представляют собой уравнения равновесия, полученные из условия равенства изменений внутренней и внешней работ. Если (ф) представляет собой вектор суммы внутреяних и внешних сил, то ыожно записать й(б)г(ф) ~ й(а)г(о) йр й(8)г()() О (18 1!) тле вектор (П) содержит все внешние силы, обусловленные приложенными нагрузками. Если для вариации деформаций справедливо соотношение й (е) = [В) й (б), (!8.12) то, исклточая й(8)т, получаем справедливое в общем случае соотношение (ф((Ь))) = ~ [В]т(о) т(У вЂ” ()т) = О, (18.13) г ф ((б)) = О.
На этом заканчинается постановка задачи. Рассыотрим теперь вариацию (ф) по й(б), которая имеет вид йИ)= '][В]гд( ) Ь', так как ()7) не зависит от (Ь) н а()с) =О. Если записать й(а) =[От ((а))]й(а), (!8.15) (18. 14) где [Вт[ — матрица упругих постоянных для приращений (или касательных модулей), то, используя соотношение (18.15) вместе с (18.!2), можно переписать (18.14) в виде й(ф)=(~[В] [Вг((е))][В]йу)й(б)=[Кг]й(б). (!8.18) Если теперь применить метод Ньютона — Рафсона, начиная с некоторого приближенного решения (б)„, которое не обращает в нуль значения (ф)„, то можно получить соотношение для поправки к этому решению а (б),ьв = [Кт[„И)„(18,17) где [Кт]„— матрица касательных упругих постоянных, определенная для перемещений и деформаций, соответствующих приближенному решению (6),.
Таким образом, основываясь на методе Ньютона — Рафсона, получаем' еще один метод решения нелинейных задач с использованием переменной жесткости. Он отличается от описанного в подразд. 18.2.2 тем, что здесь применяется не секущая, а касательная жесткость. Этот метод гораздо удобнее на практике, так как физические законы обычно формулируются с использованием касательной жесткости.
Однако если вместо касательной матрицы использовать постоянную матрицу, соответствующую начальной упругой жесткости, то метод Ньютона — Рафсопа ') (фиг. !8.2, 6) становится ') Этот метод называется модифицированным методом Ныптона — Каиторовива. — Прим. рец в котором (о) — истинные напряжения, зависящие от достигнутого уровня деформаций. Если деформации малы, то [В] — зависящая от координат матрица деформаций, которая уже была определена ранее в гл. 2. Если моэкно установить' зависимость (о» от деформаций и, следовательно, ог перемещений, то задача сводится к решению нелинейного уравнения Глава !8 Физически иеливедимв задачи 18.4. Пластичность !8.4Ы.
Общая теория (18.21) д(1 ~ Ы(~) л)Л=О, (18.23) тождественным ранее описанным методам начальных напряжений н начальных деформаций. Итак, для ьветодов, основанных на простых физических соображениях, имеется математическое обоснование'). Ясно, что при использовании модифицированного метода Ньютона — Канторовича потребуется большее число итераций, хотя в целом, как указывалось ранее, метод более экономичен, поскольку необходимо обращение галька одной матрицы жесткости. Может оказаться, что оптиыальный в экономическом отношении вариант получится при удачном сочетании обоих методов — настениной и переменной жесткости.
Таким образом, существенным в каждом нелинейном методе является способ непосредственного вычисления вектора (зр), характеризующего неуравновешенность спл. Вектор (ф) можно рассматривать как яеуравиоаешеняую яеаязку гил. Таким образом, он играет важную роль в вычислительном процессе. К описанным методам репчеиия могут применяться любые процедуры ускорения сходнмости. Этот частный вид отклонения от линейно-упругого поведения хорошо известен для металлов и подробно изучен с теоретических позиций [4 — 7].
Е!о существу, пластичность характеризуется не зависящим от времени необратимым деформированием, начинающимся лишь по достижении некоторого напряжения, из. нестного как предел текучести. Поверхность текучести. Обычно постулируется и подтверждается экспериментально, что текучесть начинается только тогда, когда напрнжения (а) удовлетворяют критерию текучести Р((а), и) =О, (!8.!8) где и — параметр упрочиепия. Условие текучести можно наглядно представить а виде поверхности в и-мерном пространстве напряжений, положение ко~арой зависит от мгновенного зпаче. ния параьветра и (фиг.
18.3). Закон нластического течения (ассоциированный закон). Мизес [4) первый предложил соотношение, связывающее приращения пластических деформаций с поверхностью текучести. Различными авторами [4, 5] были высказаны эвристические сообра- '1 Метод пачальиых капражаипй Фактически завладает с апксакиым здесь, если аппрпкскммрпаать [дг) матрвпзй [дч), жеиия в пользу предложенного соотношения; в настоящее время общепринятой, по-видимому, является следующая гипотеза: если Ы(а)р — приращение пластической деформации, то Ы(е) =Л— д !а) (18.19) или для любой компоненты п Ыв„, =Л дР даи ' Здесь Л вЂ” неопределенный коэффициент пропорциональности. Это соотношение известно как ассоциированный захон и его можно трактовать как требование ортогональности аг(ег) аскара приращений пластических деформаций поверхности текучести в л п-мерном пространстве на- !дел пряжений.
дз]У Соотношения между полными напряжениями н де- л(ап ал я) формациями. Предположим, что -изменение деформации аг(ег1 при бесконечно малом приращении напряжения может быть представлено н виде суммы упругой и пластической частей, т. е. Фвг. 18.8. Поверхность текучести и асса. даирааапкый закон в двумаркам пра. (ег (ег, + чвачгр.
стракстзе иапряжеакй. (!8.20) Упругие приращения деформации связаны с прирагцениями на. пряження, как обычно, симметричной матрицей [О]. Таким образом, соотношение (18,20) можно записать в виде Ы(з) =[О]-'Ы(~)+ !'1 Л. При пластическом течении напряжения находятся на поверхности текучести, определнемой равенством (18.18). Дифферен. пируя его, получаем Ыа, + д, Ыаг+ ° + д Ыи= О (!8.22) дР дР др где введено обозчзачение др 1 '1 Ыкх' ди 404 Глооо ГВ Физически нелинейное зодоси Соотношении (18.21) и (18.22) можно записать в симметричной матричной форме 1 дР до, дР до, с(зс с(а, [])Г' (!8.24) дг дк — — ...— А до, дол Неопределенную постоянную 2с можно исключи~ь (избегая при этом умножения или деления на величину А, которая в общем случае может равняться нулю).
В результате получаем выражение, в явном виде определяющее изменения напряжений через изменения деформаций: с! (а) = [!7]„с( (з). (!8.25) Здесь [!У]' =[!У] — [)У]( — "~~ — 'Р ~'[В]~А+~ — '" ~'[)У]( — "Ц ' (18.26) Место матрицы упру~ости [сУ], используемой в методе приращений, занимает упруго-пластическая матрица ]Ц; . Она симметрична и имеет смысл независимо от того, равна ли нулю величина А. Подробное описание теории пластичности в такой форме впервые дано в работах [8, 9]. Значение параметра А. Ясно, что в случае идеальной пластичности без упрочнения величина А равна нулю.
При учете упрочнения необходимо рассмотреть сущность параметра (илн параметров) х, определяющего смещение поверхности текучести. В упрочняющемсн материале х определяетсв как пластическая часть работы при пластическом деформировании, т. е с(х = а, с!ел + аз с(зги+ ... = (а) г с( (е),. ( 18.27) Используя закон течения (!8.19), получаем с [сс)г дР д !о) ' (!8.28) Очевидно, что Х можно исключить из (!8,23) и записать А = — — (сс)г— дР дР дх д]о! ' (18.29) Это выражение позволяет определить А прн известной зависимости Е от х. Соотношения Праидтлн — Рейеса. Для иллюстрации некоторых понятий рассмотрвм частный случай поверхности текучести Мизеса.
Она определяется соотношением Р=сь — (а, — аз)з+ — (ал — аз) + — (ал — а,) + 1 3 + За";+ За,";+ Зато) — 8= О, (18 30) 'Ь где в общем случае трехмерного напряженного состояния индексы 1, 2, 3 относятся к нормальным компонентам напряжений, а 4, 5, 6 — к сдвнговым. Из (18.30) находим дг Зо, дг Зол дг Зол до, 2о ' дос 2о дг Зол дР Зо, дсс, о ' дос а до, 2о дР Зос до, о Штрихами обозначены компоненты девнатора тензора напряжений, т. е. а' = а (о, + а, + о') и т д ! ' с 3 йс = ос(е„ дР до до 1 Н дх дх деор о о где И' — тангенс угла наклона кривой в точке, соответствующей д.
Подставлвя это выражение в (18.29), после некоторых преобразований получаем А= Н' 18.3! ( ) что приводит к хорошо известным соотношениям Прандтля— Рейсов между напряжениями и деформациями. С обобщением на случай поверхности текучести с угловыми точками можно познакомитьсн в работе [6].
18,4.2. Исторические замечания Поскольку в изложенной теории пластичности законы сформулированы в виде соотношений (18.25) и (18.26) для приращений, ясно, что итерационный процесс необходимо применять Величина а= а(х) — одноосное напряжение прн течении. Если известны результаты опыта для одноосного растяжения в виде зависимости д от пластической деформации е, то можно за- писать зот Глава 18 Фшзачсслв излиизализ задачи для малых приращений нагрузок.
Прн этом можно использовать любой нз процессов, описанных в равд. 18.2. В самых первых приложениях метода конечных элементов к задачам теории пластичности предпочтение отдавалось методам начальных деформаций (см., например, работы [!О] и [1!]). Однако эти методы совершенно неприменимы при рассмотрении идеальной пластичности (без упрочнения), поскольку в этом случае деформапии при заданных напряжениях нельзн определить однозначно. По этой причине в последующих работах повысился интерес к методу переменной жесткости [12 — 18].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
