Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Аналогично ситуации, когда вязкость зависит от скорости потока или когда в пористых средах неприменимы законы фильтрации Ларси из-за наличия турбулентности или магнитная проницаемость зависит от плотности тока, приводят к физической нелинейностгр. Эти задачи можно исследовать, не меняя их постановки, т,е. на основе тех же основных вариационных принципов, Если найдено решение лннеиной задачи, то можно получить решение нелинейной задачи с помощью некоторого итерационного процесса, на каждом шаге которого материальные константы выбираются так, чтобы удовлетворялись определяющие уравнения Однако если нелинейна связь между деформациями и пере. мещеннями, то необходимы ботее существенные изменения в постановке задачи. Такие задачи в настоящей главе не рассматриваютсн (они изложены в гл.
19). Тем не менее будет установлено, что итерационные методы применимы и для этого случая, поэтому с их помощью можно решать задачи, в которых имеют место нелинейности обоих типов '). ') Тс есть фнаическан н геометрическаа. — Прим. рец Глава 13 В«ива«если иелиисйимс задачи Следует сделать одно существенное замечание. В нелинейных задачах в отличие от линейных часто нет едняственности решения.
Таким образом, найденное решение не обязательно будет искомым. Для получения правильного ответа необходимо применять метод малых приращений и четко представлять физическую сущность задачи. Здесь могут быть использованы формальные численные итеационные методы, такие, например, как методы Ньютона— афсона и т.
д. Однако их применение требует понимания физи. ческой природы задачи, и поэтому на практике численные методы более успешно разрабатываются инженером (или физиком), нежели математиком. НЕЛИНЕИНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА 18.2. Подход с общих позиций 132.1. Оеноеивге положения Задача линейной теории упругости в перемещениях всегда сводится к решению уравнений для ансамбля (см. гл. 1 и 2) [К[ (б) — ()г) = О, (18, 1) где вектор ()с) содержит все силы, обусловленные внешними на.
грузками, начальными напряжениями и деформациями и т. д. При выводе этого соотношения использовался закон линейной упругости в виде (о) = [О) ((е) — (е,)) + (оо). (!8.2) Кроме того, предполагалось существование линейной связи между деформациями и перемещениями [соотношение (2.2) гл 2), перемещения считались непрерывными и уравнения равновесия удовлетворялись приближенно. Прн решении задач о малых деформациях, в которых используются другие, возможно и нелинейные, определяющие уравнения, следует изменить только соотношение (18.2).
Новое соотношение можно записать в виде Р((о), (е)) = О. (18.3) Если удастся найти такое решение, уравнения (1В:1), чго лри соответствующем подборе одного или нескольких входящих е (18,2) парамегрое [О[, (ео) или (оо) зго уравнение и соотношение (18.3) удовлегеоряютсх при одинаковых змичеяиях иаира.
жеиий и деформаиий, то полученное решение будет искомогм. Очевидно, что при решении целесообразно использовать итерационный метод. Какая из трех вышеупомянутых величин бу. дет подбираться а процессе итераций, зависит от: а) метода решения линейной задачи; б) физического закона связи между напряжениями и деформациями. Если при итерациях подбирается матрица [17), то приходим к известному методу переменной жесткости ').
Если же подбираются (ео) или (оо), то имеем так называемые методы начальных деформаций нли начальных напряжений. Во многих случаях не удается установить соотношения типа '(18.3) для полных деформаций и напряжений, ио можно вывести их для приращений этих величин а(о) и А (е). В этих слу. чаях итерационные методы применяются для каждого приращения нагрузки (илн времени при ползучести). Методы приращений можно использовать в сочетании с любыч из ранее рассмотренных методов. Из изложенного ранее видно, что параметры [О), (ео), (оо) являются весьма важной частью исходных данных для программы решения задачи линейной теории упругости. Поэтому такие программы представляют собой основу решения любой нелинейной задачи.
На данной стадии несущественно, состав.лены ли эти программы на основе конечно-элементной дискретизации или нет, Изложенные ниже методы можно использовать в сочетании с любым другим способом дискретизации (например, конечно.разностным) при условии, что берутся одинаковые исходные данные. ,ГВ,2.2. Методы переменной жесткости Метод переменной жесткости можно использовать в случае, когда связь между напряжениями и деформациями (!8,3), характеризующую поведение материала, можно представить в форме (18.2), где матрица упругости зависит от достигнутого 'уровня деформации, т. е, имеет вид [О) = [О ((е))] = [О Яб))). (1 8 А) 'Так как матрица упругости влияет на окончательный внд матрицы жесткости ансамбля, приходим к уравнению («)) = [К ((б))) (б) — ()7) = О, (18.5) *которое можно решить различными итерационными методами. ') В советской литературе агат метал носит название матова верамеаима аарамсгроа.
О лрусих мсшдал см. сб «Уаругость и воуаругостьа, вмв, 3, стр. 120, Иал-во МГУ, 1973 — Лрии. рсд. Физически келчпедпые задачи Глаза )8 896 Очевиден следующий простой итерационный процесс. Сначала предполагается (б)ч — — О, вычисляется [К((б)ч)) = [Кч) и определяется (б), = [Кч) — '[зч). Процесс повторяется в соответствии с формулой (б)„= [К)„-', Й) (18.6) до тех пор, пока перемещения перестанут изменяться.
Если определяющие уравнения таковы, что соотношение типа (18.4) может быть записано только для приращений напряжений и деформаций, то описанный процесс следует применить для приращений нагрузки, отсчитываемых от ранее достигнутого значения. В любом случае можно пользоваться стандартной программой решения задач линейной теории упругости при условии, что матрица [О[ симметрична Это требование весьма существенно, так как в программе обычно используется свойство симметрии.
Одним нз существенных недостатков методов переменных параметров является то, что на каждом шаге приходится заново строить матрицы жесткости н реп1ать полученные уравнения. Если программа использует прямые методы решения, то такой подход становится очень неэкономнчным и более приемлемыми оказываются другие методы, которые описаны в следующем раз. деле. 18.2.3. Методы начальных капряжекий Если определяющие уравнения разрешимы относительно напряжений, т. е.
(18.3) имеет вид (.) = [((.)), (18.7) то соотношение (18.2) для упругого материала можно привести к форме (18,7), задавая соответствующим образом (ач). Так как (оч) влияет на силы (1с), приходим к решению уравнения [ф) = [К [(б) - К ((б)) = О. (18.8) (бч) =[Кчг (Кч), где '()чс) соответствует приложенным нагрузкам. Определяются напряжения (ое)ь необходимые для приведения упругого решения и соответствии г ргалькьичи капряжекиями при догтигкутьсх деформациях Далее с учетом начального напряжения с помощью соотношения (2.13) находится (17), н определяется (б,) = [Кч) '()7,) н т.
д. Итерационный процесс проводится следующим образом Сна. чала находится до (бч) =[Кч)-'(~.). (18.9) Процесс продолжается до тех пор, пока решение не перестанет изменяться '). Другой удобный метод состоит в определении только изме. нений (зс), обусловленных изменениями требуемого начального напряжения. В этом случае (б,) находится, как и ранее, но Л (31) = [Кч[ ' Л (Аз,) и т. д. н итерации продолжаются до тех пор, пока величина Л(б)„не станет достаточно близкой к нулю. При вычислениях более удобен последний подход, который, кроме того, имеет ясный физический смысл, На каждом этапе во всех точках конструкций определяется разность между истин- ныли напряжениями при соответствующих деформациях и капряжекияли, найденными из упругого решения. Эта разность напряжений затем перераспределяется в соответствии с упругим законом, чтобы восстановить равновесие, и поэтому метод первоначально получил название метода перераспределения напряжений [1).
Величину силы Ь Щ„, вычисяенную на и-и шаге итерации, можно физически интерпретировать как кеурапкопешеккузо кевязку силы в конструкции, и, следовательно, она является удобной мерой ошибки. В этом методе на каждом шаге итерационного процесса используется одна и та же матрица жесткости, и если она поблочно обратима, то время, необходимое для каждой итерации, составляет лишь небольшую часть времени, затрачиваемого на получение первого приближения, Теперь вознззкает вопрос, какие упругие постоянные следует использовать для определения матрицы [Кз). Если поведение материала в основном описывается соотношениями линейной теории упругости н отклонения от линейно-упругого поведения локализованы, то естественно использовать начальные значения упругих постоянных.
Однако если нелинейность проявляется для всех напряжений, то для ускорения сходимостн можно рекоменловать скоррсктнровать упругие постоянные после первой итерации. !8.2лй Методы начальных деформаций В некоторых задачах, особенно в задачах ползучести, действующие напряжения нельзя выразить в явном виде через де. '1 Опясзаяий метая пасет яззззвае четааз упругих решений. Си. А А. Изношен, Плчстпчачспч ГИТТЛ, 1948. — Прим. ред. Энзнчесзн нелннейньте задача 399 !'лава (8 398 !8.2.5.
Ускорение сходимости 18.8. Математический подход ф(х)=0. где Ч (х„) ~хчет д (Ч)н л (ф)ч формации. С другой стороны, в этих случаях можно определить деформации (или приращения деформаций) через напряжения, т, е. установить соотношение типа (е) =(((и)). (18.10) Совпадение соотношений (18.!О) и (18.2) может быть достигнуто при соответствующем выборе (еч). Уравнение (18.8) опять решается итерат(ионным методом, но теперь упругие деформации, получаемые на каждом шаге, сравниваются с деформа. киями, соответствующими определяющему соотношению (18.10), Чтнг )8.1 Методы начальчых дефарнадвй н начальных вапряженнй, Размяг- чаююн(тся (и) н затвердеваюшнй (б) матерналы, и нх разность используется для оценки неэязки силы Ь((()„.
В остальном процесс идентичен описанному выше, и, в част. ности, матрица жесткости остается постоянной на любом шаге, В некоторых законах ползучестн (см, равд. 18.7) дополнительные деформации (деформации потзучести) явно отделены от упругих деформаций и, следовательно, при каждой итерации определяются непосредственно дополнительные начальные де. формации.
Различие между методами начальных напряжений н начальных деформаций лучше всего, вероятно, проиллюстрировать графически. На фиг. 18.1 уровню напряженно-деформированного состояния, полученному в первом приближении, соответствует точка 1 В методе начальных напряжений полученные напряжения уменьшаются до правильного значения введением некоторого начального напряжения Ь(оч)н тогда как в методе начальных деформаций значения деформаций корректируются поправочным членом б(ва)ь Ясно, что когда с ростом напряже.
пий деформации быстро увеличиваются, предпочтительнее использовать первый метод, а когда справедливо обратное утверждение (затвердевающие материалы) — второй. Методами начальных напряжений и начальных деформаций можно получить окончательное решение, если правильно подобрать значения (па) илн (еа). Однако описанные процессы подбора не всегда обладают быстрой сходимостью, Исследуя сходимость в процессе вычислений и вводя на каждом этапе дополнительные поправки, ее можно ускорить. Одна из таких процедур в общих чертах описана в работах (2а] и (2б]. Однако инженер, составляющий программу, может проявить здесь свото изобретательность. Любой метод является вполне законным, если окончательное решение удовлетворяет всем требованиям. На этой стадии важно пересмотреть всю проблему в целом с математических позиций (3].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
