Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Постоянные, входящие в (!8.33), связаны с г 4 д д УО ГУ Пераиещение 4 д В |О а ГВ Расгределенес Йгдедйав йЪФ АВ Фиг. |8.9б Приближеииое описзиие процесса обработки метзлле Зависимость полкой нагрузки от перемещеивя в распределеиве давлеяия иа резец величинами в (!8.32) соотношениями 2жпф бС осе ф ЧГЗ (3 — миф) ЧгЗ (3 — з!пф) Другие возможные формы критериев подробно обсуждены в ра. боте [20), однако для иллюстрации метода вполне достаточно рассмотреть форму, предложенную Друкером. Если в дополнение к предположению о существовании такой поверхности текучести использовать аслот(нарезанным" закон, то Глава 13 414 418 Физически нелинейные задачи Лоберхнннтв зрети Вертинанвное иеретемение- а задачи расчета конструкций из подобных материалов можно решать с помощью описанных ранее метадон. На фнг.
18.10 показано решение задачи о пластических зонах около туннеля, возникающих за счет перераспределения напряжений в резуль- Фнг. 1810. Подкрепленный туннель. «-рвзбаееа на 42, т ен с 24 у . в*нар нз: з 2,22. 22 н1мь ч лк ГРУт.и Зв ° во Н, *, -Ьвв, С-аз. 4О Йть В-ан.
44,,с В Р, -на ра с аа том ар а 224 . о 2222, ч бз зон нн'. б-нвасвнч снн вони. нв тате выемки грунта. Аналогичные задачи рассмотрены в работах [9, 15, 21 и 22]. Основная трудность решения таких задач связана не с вычислениями, а с формулировкой соответствующих определяющих уравнений. В частности, для материалов Мора — Кулона ассоциированный закон, как правило, ие вьшолннетсн [23). Их поведение описывается так называемыми неассоциированными законами. В соответствии с простым предположением, сделанным Денисом [24), пластические деформации удовлетворяют соотнозпению 41(з)р —— Х[(У,((о))) ', (18.31) где [)уо) — матрица, зависящая от уровня напряжений, сходная по структуре с матрицей упругости. Повторив описанные соотношениями (18,20) — (18.26) действия, получим новую упруго- пластическую матрицу, которан уже не будет симметричной [25).
Однако метод начальных напряжений применим и в этом случае. 18.5. Материал, работающий только ив сжатие Гипотетический материал, способный выдерживать только сжнмаюшие напряжения и не сопротивляющнвсн растяжению при деформировании, во многих отношениях аналогичен идеально пластичному материалу. Хоти в действительности такой идеальный материал, веронтно, не существует, он хорошо аппраксимирует поведение насыпей из горных пород и других сыпучих материалов. В явном виде соотношение между напряжениями и деформациями, как правило, записать не удается, однако достаточно воспользоватьсн соотношениями теории упругости, а при появленив растягиваюших напряжений прнравйвть нх нулю.
При этом уместно использовать метод начальных напряжений, который фактически и был разработан для решения таких задач [!). Схема вычислительного пропесса очевидна, но важно помнить, что главные растлгизавои4ие напряжения должны исключаться. Приведенные выше определяющие соотношении могут лишь приблизительно описывать реальное поведение материала, поскольку при этом ие учитывается влинние нераскрытых трещин на перераспределение сжимающих напряжений. Однако нсно, что полученные результаты помогут все же изу.чить поведение реальных конструкций из сыпучих пород. Подземная электростанция.
Нз фиг. !8.11, а и б показан пример прнмененвя описанной модели в практической задаче. На фиг. 18.1!,а изображено распределение напряжений в районе подземной электростанции с учетом предварительно напряженной арматуры вблизи выработки, полученное в результате упругого решения. Там же указаны зоны растягивающих наприжений.
Результаты решения этой же задачи (фиг. 18,11,б) при использовании модели материала, работающего только на сжатие, свидетельствуют о незначительном перераспределении напряжений и опасных зон. 417 Фиэичесхи иелаяеблые задачи залераоллагеь 74 анен/ма Рлгтяжсиглге 1. Юд бм би,н/и' -lе'Ю О ЕЮ' В -г юе еае Сечечае, а мымрам лгт егеапал с-с Сасалме Актлжалже А-А В-В 14 Заа Ма Р ььх'хь'' г 7/г Еььт ",г,г'гг К Фиг, 18Н Напряжения вблизи подземной електрктанцин прн действии сил тяжести с учетом предварительных напряжений о-уаругяе аааряжеаав; б-аа р мьеяь, ьпр я ь ие д а мьыраала, раажающьго только иа саытне Разновидностью такого материала может служить ьуатериал с конечным пределом прочности на растяжение, не обращающимся в нуль в момент появления трещин.
Такой подход использовался в работе [26[ при исследовании поведения балон из армированного бетона. Для предварительно напряженных балок Фиг 18!2. Образование трещин в балке иэ предварительно напряженного бетона Максимальное растюивающее напряжение 1,бб !ОЕ Н/мт. Распределе. ине напряжений в различных сечениях.
(без учета текучести при сжатгуи) получено очень хорошее сов- падение с экспериментальными результатами. На фиг. 18.12 по. казаны некоторые результа~ы для балки, испытанной в рабо- те [2?]. 1В.б. Слоистый материал и стыковочные элементы В другой модели идеализированного материала предполагается, что материал состогж из большого числа изотропных упругих слоев, При сжатии слои передают сдвиговые вапряже- 418 Глава 18 419 Физически нелинейниу задачи ния, не превышающие сопротивления трения. Растягивающие напряжения по нормали к слоям не передаются.
Ясна, что такую идеализацию можно использовать при ис. следовании слоистых горных пород. Как будет показано ниже, она имеет гораздо более широкое применение. На фиг. 18.!3 показан такой материал в двумерном случае. Если ось локальных координат к' направлена вдоль слоев, то для напряжений, возникающих при упругом поведении, можно Фаг. !8пз. Слоистый мзгеризз (а) а узеое езоаегое еоединеаве (д): записать (!8.35а) (!8.35б) ! ез у ! ~ цау о„.
<О. Здесь ц — коэффициент трения между слоями. Если упругие напряженна превышают предельные значения, определяемые соотношениями (18 35), то они должны быть уменьшены до этих значений. Применение метода начальных напряжений для таких материалов опять не представляет затруднений. Задача аналогична рассмотренной в предыдущем разделе задаче о расчете материала, работающего только на сжатие. На каждом этапе упругого расчета проверяется наличие растягивающих напрнжений о . Если такие напряжения возникают, то вводится поправочу'.
нос начальное напрнжение, сводящее их н касательные напряжения к нулю. Если же о„— сжимающее напряжение, то производится проверка абсолютной величины касательных наприжений е, „. В случае превышения значения, определяемого соотношением (!8.35а), их уменьшают до предельно возможной величины. Описанная математическая модель не всегда будет правильно отражать истинное поведение материала при разгрузке, поскольку сжимающие напряжеНия могут возникнуть лишь после исчезновения зазоров между слоями. Это затруднение (при ну. левом коэффициенте Пуассона) можно устранить, контролируя появление растягнвающих деформаций и используя змее~о (! 8.35б) соотношение о„б прн еу ~)О. (!8,36) В противном случае материал будет упругим.
Это фактически один из вариантов дсформациониой теории пластичности. Излишне говорить о том, что направлении слоев могут меняться от элемента к элементу и таким методом можно весле. давать сложное поведение горных пород со случайным расположением трещину Введение прочности сцепления и коэффициента трения, завнсищего от величины сдвиговой деформации (обычно коэффициент трения уменьшается с увеличением сдвиговой деформации), требует незначительных изменений программы.
Таким же образом можно исследовать размягчагощиеся материалы [25). В некоторых случаях описанный тнп поведении наблюдается лишь в узкой области между однородными массивными упругими телами. Это, в частности, имеет место при геологических сдвигах или при наличии больших трещин в горной породе. В таких случаях удобно использовать узкие, как правило, пря- 421 Глава 18 Фызы«ввны нелинейные заданы наугольные элементы, геометрическими характеристиками которых являются средние координаты канцон Л ы В (фиг.!8.13,б) и толщина. Однако элемент соединяется с примыкающими те. лами в четырех отдельных точках (! — 4).
Эти переходные элементы могут быть, как показано на фиг. !8.13, простыми прямоугольниками. Можно также использовать и изопараметрические элементы более сложной формы (см. гл. 8). В работе [28) рассмотрены в некоторой степени похожие переходные элементы, использованные для исследования устойчивости насыпей нз горных пород. Однако описанные здесь пере. ходвые элементы имеют более широкое применение. С помощью тонких переходных элементов можно, например, решать задачи о посадках деталей машин и зазорах между ними.
При использовании очень узкого переходного элемента между двумя частячи конструкции или деталями машины зазоры учитываются введением такой начальной деформации ез в, что величина 1е„а равняется величине зазора. Поскольку описанный переходный элемент не передает растяжения, быстро получаем ответ иа вопрос, закрывается ли зазор. И наоборот, посадка эквивалентна отрицательной начальной деформации по нормали к переходному элементу. Недостатком такой аппроксимации является необходимость использования переходных элеыентоа конечной толщины, чтобы избежать появления очень больших коэффициентов жесткости в направления нормали и, следовательно, плохо обусловленных урввнений.
Для того чтобы обойти упомянутые затруднения, можно использовать другие методы, имеющие более специальное назначение[29). 18.7. Ползучесты деформации, зависящие ат времени И.7пй Общие палозгения Явления ползучести характеризуются зависимостью деформации не только от напряжения, но и от времени. Деформации в данный момент времени определяются всей предысторией напряженного состояния. Таким образом, лзобой вычислительный процесс должен сводиться к расчету приращений для достаточно малых отрезков времени. Для каждого такого отрезка времени, используя заданный закон ползучести, средние для этого отрезка напряжения и при необходимости их предыдущие значения, можно определить приращения деформаций. Таким образом, в рассматриваемом случае естественно использовать описанный в подразд. 18.2.4 метод начальных деформаций. Однако иногда можно обратить закон ползучести и получить закон, цо которому напрялсения в любой момент времени опре- делаются предысторией деформироеапия, В тех случаях, когда удобно использовать функцию релаксации, можно применять описанный в подразд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
