Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 56
Текст из файла (страница 56)
18.2.3 метод начальных напряжений. Поскольку при ползучести удобнее измерять деформации, обычно рекомендуется применять метод начальных деформаций, который и будет использован в дальнейшем. При применеыии метода начальных деформаций к задачам теории ползучести обычно [30 — 34): а) рассматриваются все изменения нагрузки (температуры и т. д.) в начальный момент ! некоторого отрезка времени и определяется напряженно-деформированное состояние из решения задачи теории упругости; б) определяется изменение деформации ползучести (Ле,), за рассматриваемый отрезок времени в предположении, что при этом полученное.на этапе «а» напряженное состояние не меняется; в) величина (Ле,), используется как начальная деформация и в результате решения задачи теории упругости определяется новое наприженно-деформированное состояние в конце рассматриваемого отрезка времени.
Если отрезок аремеыи ЛГ доста~очно мал, то описанный процесс отражает истинное понедение материала и можно перейти к расчетам для следующего отрезка времени. Если изменения деформаций относительно велики, то можно повторить этапы «б» и «в», используя для определения (Ле,)~ уточыениые средние значения напряжений.
Осуществление таких итераций иногда желательно, но редко требуется более двух циклов. Ясно, что устойчивость описанного процесса зависит от выбранной величины отрезков времени и для каждой задачи необходимо ее проверять. Здесь умес~но сделать одно замечание относительыо эффектинности вычислений. Если упругие мгновенные свойства материала ие изменяются во времени (и на них не влияет измененне во времени температуры), то очевидно, что многократно будет применяться один и тот же метод нахождения упругого решения, В таких случаях удобнее хотя бы частично обращать матрицы, встречаюгдиеся при решении, чем использовать итерационные методы решения.
И наоборот, если упругие свойства иеняютсв во времени и на каждом отрезке времени приходится решать существенно различные задачи теории упругости, то целесообразнее использовать нтерационные методы решения, принимая за вачальное приближение полученные ранее значения перемещений. Основной проблемой, возникающей при использование описанного метода, является построение алгоритма определения Глава ГВ Фаза«лели лелалейлые эаба«и приращения деформзции (Лв.).
Она рассматривается в после. дующих разделах, 18.7.2. Ползучесгь, зависли!ая ог предыстории деформиравимич (вязкоупругосгь) Явления вязкоупругасти характеризуются тем, что скорость деформации ползучести зависит не только от мгновенного на- пряженно-деформнрованнага состояния, но н от всей его преды- стории.
Таким образам, для определения приращения деформа- ции (бвз)2 на каком-либо отрезке времени надо знать напряже- ния н деформации во все предь2дущие моменты времени. По- скольку в процессе решения задачи ани вычисляются, в прин- ципе затрудаеннй не возникает. Однако даже самые большие ЗВМ не в состоянии хранить всю историю в оперативной па- мяти, а многократное использование дополнительных запоми- нающих устройств требует много времени. Поэтому использова- ние этого метода экономически невыгодно. Метод, описанный Зенкевнчем и др. [31) для задач линейной вязкоупругастн, позволяет обойти эту трудность. Его можно об- обшить н на случай решения задач нелинейной вязкоупругостн.
В линейной теории вязкоупругасти соотношение между на- пряжениями и деформациями всегда можно записать в форме, сходной с используемой в теории упругости, например в виде (18.2), заменяя упругие постоянные в матрице [Р) соатветствую- шими дифференциальными нлн интегральными операторами [35). Для изотропного материала вместо двух упругих постоянных можно использовать два оператора, а для аннзотропных мате-, риалов может потребоваться 21 оператор. Таким образом, деформация ползучестн может быть описана соотношением вида (в,) = [Р) (б), где кажлый элемент матрицы вязкоупругости [6) — ' прн использовании дифференциальных операторов имеет внд аз; а, (щщ! + а, (иэуи221+ ...
-= ь, Ф ь,(аул!!-ьь,!аэул»214- .... Если этн разложения конечны, то, выделяя мгновенные упругие эффекты, соотношение (18,37) можно представить в виде суммы элементарных дробей А, 42 ящэ+ в, + лук! Ф в, [ ' ' ' (18.38) Как известна, эта сумма характеризует поведение наказанного на фиг. 18.14 набора элементов Кельвина (хотя физически или — „, (е„)=А,б, — В„е,.
я (18.40) Записанное выше соотношение позволяет определить прираще. ние каждого такого слагаемого за какой-либо отрезок времени, е, е„ б л Уэ й' М Фвг. !В.!4. Набор элементов Кельввмл. если известны текущее значение компоненты напряжения о, и текущее значение е . Таким образом, для описания процесса необходимо хранить только конечное число текущих значений е '). На практике для описания поведения материала используется ограниченное число элементов Кельвипа н неболыное число вязкоупругих операторов.
Например, для нзотропного несжимаемого материала матрица [6)-2 определяется только одним оператором. Если этот оператор представляется двумя слагаемыми суммы (18.38), то в процессе нычнслений требуется хранить лишь две величины [31) ') Вычислительный процесс не усложняется., если величины А„ н В„для каждого элемента Кельвина зависят от времени н тем. пературы, что характерно для задач термавязкоупругостн (например, задач а палзучестн бетона или пласгчасс), Задавая зависимость постоянных пружины н поршня А н В от текущих напряжений, можва обобщить метод на нелинейные 21 Б более паздпвк рлбатвл авв пелу2плв название переменных состав.
ппя '1 Длв правзвалыюга линейного вязпаупругага асерз»арл мегад зкавачпп епервтвввай алмвтп прв за«леваем счете упвзлп з ребе»е Б. Б Небелрп «Чвелепвые методы в теарпм вязкаупругастп», уделала«а лаламэрае, «72 б, !973.— Лрам ред использование таких моделей может и не иметь смысла). Каждый член суммы характеризует адин элемент Кельвнна. Типичный вклад в компоненту 'деформации представляет собой, таким образом, слагаемое вида 27/Ш + В„ (18.39) Глава !8 425 Физически нелипеекме задачи що 5,0 о - г,е -о вязкоупругие явления. Вопрос о формулировке таких законов, согласующихся с экспериментальными результатамн, еще не решен окончательно. Для иллюстрации применения описанного метода возьмем пример нз работы (3!).
Это задача о расчете скрепленного с металлической оболочкой цилиндра нз вязкоупругого материала. Так как задача, по существу, одномерная, имеется точное решение (36). Использовалась программа расчета двумерного состояния. Для получения решения, соответствующего ! = 10, понадобилось !00 шагов прн шаге по времени, равном 0,1 (фиг. !8.16 и 18.16). В работе )31) приведены н другие более сложные примеры, !8.7.3. Законы теории ползучгсти, учитывающие зависимость от напряженно-деформированного состояния Хотя, несомненно, вся предыстория напряженно-деформиро. ванного состояния влияет на ползучесть большинства матерна. Фвг. 1815.
Решение излечи о изгружеипом внутренним дзвленнем подкреп- ленном ввзиоупругоч цилиндре нпн двумерной зидечн. Фиг. 18.18. Ивменеггие во времени тзнгенциильного изпряжении в цилиндре, нонзззнном ие Фнг. 18.15. негев ел под Ве лс вс упвугее, Сд п с и сесгез з угрееисы П зи Лр езесуп. уупе, сз — у Зут 1ЗГ,М1, Ие у е и г ч .Мпои.
лов, сильно нелинейная зависимость от напряжений, характерная почти для всех металлов, позволяет записать законы в упрощенной форме, которая дает возможность оценить скорость деформации по текущим значениям переменных состояния (в частности, напряженна, деформации, времени н температуры). Обзор таких законов сделан в работе (37). Деформацию ползучестн изотропного несжимаемого материала можно, напрнмер, 427 Фиэинески нещнеаные эодини Глава 78 определить выражением ,1,, р (1) р,(е,)р,(8)р,(8)(о)-'(а) (18 41) Я соответствующей матрице упруона, равным 0,31 е„а — вторые инварианты деформации ползучести и напряжения и 0 — температура.
При вторичной ползучести аависимость от времени накопленной деформадии слабая и часто используется степенной закон [38, 39) 1 г, лз((тэ( '(а) (18.42) Хотя физические аргументы в пользу таких теорий спорны, особенно относительно явной зависимости от времени, описывающей так называемое старение,их очень просто использоватьв практических приложениях. Определение скорости де. формации ползучести л — (е), в лгобой момент времени не представляет труда, и, следовательно, приращение деформации ползучестн может быть найдено просто как Л (е), = — „(а)сМ. (18.43) рина [)Зо)-' эквивалентна коэффициентом Пуасс где мат гости с Фег.
18Л7. Расчетная схеьга сосуда высо кого давления с плоским днныеч (331. В утре и л ьэеип а Ы" Нмч илу ь Юиг Это выражение непосредственно используется в процессе вычис. лений. С првложениямн метода можно познакомиться по работам [33, 34 и 40). На фиг. 18.17 и 18.18 показаны некоторые примеры из работы [33) В подобных и лругих задачах ползучести важно досткчь наилучшего компромисса между требованиями экономичности и Фиг. 18.18. Иэмеиеиие во времени эффективного (октаэдрпнеского) напряженна после приложения внутреннего давленая (33].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
