Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Яос. Сш, Елу., 95, Нуб, 1847 — 1859 (1969). 52 (Ч(па|аж Л. М, Хшпепса! ЯоЬИюп о| 16е Оиаз!ьЬ!пеьг Ро|шоп'ь Еаыабоы |п а Хоп.ИпИопп Тг|апб|е МеьЬ, У. СотР. РИУисы,, !49 — 172 (1967). 439 ГЛАВА Ю Гезметричеени нелинейные задачи ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ; БОЛЬШИЕ ПЕРЕМЕШЕНИЯ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ КОНСТРУКПИЙ 19.1. Введение В предыдущей главе рассматривались нелинейности, обусловленные свойствами материала, и были описаны итерационные методы решения нелинейных задач, о которых используются обычные линейные соотношения.
В этой главе такой же подход будет применен к исследованию геометрической нелинейности. Ва всех рассмотренных ранее задачах предполагалась, что н перемещения и деформации конструкций малы. Практически эта означает, чта форма элементов в процессе нагружения не изменяется н что для деформаций можно использовать приближенные линейные соотношения.
На практике эти предположения часто приводят к неправильным результатам даже прн малых деформациях, не превышакнцих предел упругости материала конструкции. Прн точном определении перемещений ряда конструкций может оказаться необходимым учет геометрической нелинейности. Например, мембранные напряжения, которыми обычна пренебрегают прн изгибе пластин, могут явиться причиной значительного уменьшения перемещений даже ири малых деформациях.
С другой стороны, может оказаться, что нагрузка, при которой прогиб увеличивается, достигается быстрее, чем эта предсказывается линейной теорией, и мажет ооз. икнуть свтуацня, в которой прн продолжающемся деформнрооз;нн несущая способность будет падать. Это не чта иное, как к. зссическая задача устойчивости конструкцвй. Такие задачи встречаются довольно часто.
Значение их особенна велика в авиационной н космической технике, при конструировании радиотелескопов, градиреи н других тонкостенных конструкций. Кроме того, во многих случаях могут иметь место болыиие неремеи4ения при малых деформациях, Типичным примером такого типа является классическая задача а гибких телах, как, например, а часовой пружине. В этой главе предпринята попытка подойти ка всем этим задачам с единых позиций и указать общие методы исследований.
Однако нн один из вопросов, связанных с геометрической не. линейностью, подробно в этой главе не рассматривается. Это вопрос о больших, хотя и упругих деформациях таких матерна- лов, как резина и т. п. В этом случае необходимо использовать специальные соотношения между напряжениями и деформациями. Ограниченный объем книги не позволяет подробно остановиться на этом вопросе. Тем не менее общий подход, описанный в следующем разделе, можно применить п к таким задачам, если использовать соответствующие законы связи напряжений с деформациями. Геометрическая нелинейность часта может сочетаться с не- линейностью физического типа, рассмотренной в предыдущей главе, такой, как пластичность при малых деформациях и др.
В принципе это не приводит к дополнительным трудностям, н методы, изложенные в этой главе, легко могут быть применены н к таким задачам, 19.2. Общие положения 19.2Д, Основная задача Независима ат того, велики или малы перемещения (нлн деформации), внутренние и внешние силы должны удоплетворять условиям равновесна Если в соответствии с изложенным в гл, 2 перемещения определяются конечным числом (узловых) параметров (Ь), то, как показано там и повторено в предыдущей главе [см.
соотношение (13.13)], должно выполняться равенство (ф((ь)))=~[в] ()йУ вЂ” (Ф)=о, (19.1) з где (ф) — сумма внешних н внутренних обобщенных снл, а мат- рипа [В] определяется нз соотношения й (е) = [В) й (Ь). (19.2) Черта означает, что прн больших перемещениях деформации нелинейно зависят от перемещений н матрица [В] зависит от (ь).
В дальнейшем будет видна, чта ее удобно представить о виде ]в]- [в,[+ ]в, ((ь))], (19.3) где [Вз] — матрица, определяющая бесконечно малые деформа- ции, а матрица [Вь] зависит ат перемещений. Будет показана, что в общем случае [Вь] является линейной функцией переме. щений, Геометрически нелинейные асдсчи 441 440 Глсап Б Если деформации не очень велики, то можно использовать обычное соотношение теории упругости (о) = [О] ((е) — (из)) + (ао), (19.4) где [О] — обычная матрица упругих постоянвых').
Однако е равной степени можно было бы ислользоеагь и любое нелинейное соотношение между напряжениями и деформациями, поскольку задача сводится к решению нелинейной системы уравнений (19.1). Вероятно, нет необходимости повторять, что интегрирование е (19.1) фактически производится по отдельным элементам, а их вклады в уравнения равновесия в узлах суммируются обычных образол«. 19.2.2. 1!Гграциомныг методы Ясно, что уравнение (19.1) следует решать методом итераций, и возможность применения описанных в предыдущей главе (равд. 18.3) общих методов очевидна, При использовании метода Ньютона необходимо, как уже указывалось, найти зависимость между й (й) и й (ф). Варьируя (19.1) по «1(б), получаем й(ф) ~ й[В)т(о) й]т+ $ [В]тд(а)д]Г (19 5) Используя формулы (19.4) и (19.2), ваходнм ') д(о) =[О]й(е) =[О) [В) й(б), а на основании (19.3) имеем й [в] = й [в ].
Поэтому дф= ~ й [В Р'(а)й!'+ [К) й (б), (19.6) где [К]= ~ [В) [О)[В]й]у=[К,]+[К,], (19.7) '] Необход««мо иметь а аиду, что компоненты напраженнн, опредетаемые соотноше«ншм (18.4], соотаетстайют используемым компонентам деформадин. В некоторых задачах о больших перемешеилнк зги коипоиенты деформации отнесены к иапраалашшм, значителыю отличаюпшмси от иапраите««ий перно. начальных фиксироаанных каор«зина«. «] Вела используетса нелинейное соотношение между наприжеиннии и де. формапинми, то !и] = !0((о]]] — матрица упругих постоянных дла прираще. ний, определнемаа рааенстаом (18.18). а [К,] является обычной матрицей жесткости при малых дефор- мациях, т. е.
(К,) имеет нид [К,)=~ [В,)г[ОЦВ,)й]Г. (19.7а) Матрица [Кс) появляется благодаря тому, что перемещения велики. Она определяется выражением [Кс] = ~ ([Вс)~ [Р) [Вс] + [Вс)" [О] [Вс]+ $ й [Вс]г (а) й)« = [Ко) с( (д), (19.8) где [К,) — симметричная матрица, зависящая от величины напряжения (в справедливости этого утверждения, вероятно, лучше всего убедиться на конкретных примерах). Эта матрица известна как матрица начальных напряжений [2) или ееометрическая матрица [3, 4). Таким образом, д(ф)=([Ко)+[Ко]+[Кс])д(й)=[Кт]й(й), (999) где [Кт] — полная матрица гангенциальных жесткостей. Итерации метода Ньютона строятся, как описано в равд. 18,3: а) в качестве первого прибяижения (б) строится решение по линейной теории упругости; б) с помощью соотношения (19.1) определяется (ф)« для заданной матрицы [В] и напряжений, определяемых равенством (19.4) (или любым другим линейным нли нелинейным законом); в) строится матрица [Кт) г) определяется поправка А(б) = — [КтГ'(ф) Процесс повторяется до тех пор, пока вечичива (ф)„ не стз.
нет достаточно малой. И здесь возможно использование постоянной матрицы, если на каждом шаге правильно вычислять [ф)„ [5], Хотя применение этого метода решения сокращает затраты машинного вре. + [Вс[т [О) [В,]) й]Г. (19 7б) Матрица [К] известна как матрица начальных перемещений [2), матрица бд,тьших перемещений и т, и. Нетрудно показать, что зту матрицу можно построить, считая деформации малыми, но учитыпая изменения координат элемента при вычислении жесткостей. Первый член выражения (!9.6) может быть записан о виде Глаза ГУ 442 Геометра«егла неланейлме зада«а менн, числа итераций увеличивается и метод сходитси во многих случаях медленно. Все решения можно находить за один шаг для полной действующей нагрузки.
Однако, как и во всех нелинейных задачах, возникает возможность неединственности решения и при этом может быть найдено решение, не имеющее физического смысла. В таких случаях целесообразно задавать нагрузку отдельными приращениями и получать нелинейное решение для каждого приращения, С вычислительной точки зрения это часто экономичнее, поскольку эффекты нелинейности на каждом шаге становятся меньше. Если приращения нагрузки достаточно малы по величине, то каждое решение в приращениях с достаточвой степенью точности может быть найдено за один шаг [3, 4, 6) ').
Однако необходимо периодически проверять выполнение уело. вия равновесия с помощью нелинейного соотношения (19.1). !9.2.9. Задача начальной усгойчиаости Интересно отметить, что матрица [К,) не содержит перемещений в явном виде и пропорциональна величине напряжения (а). Если на первом шаге вычислений (о) определяется из линейного решения, то в соответствии с (19.6) г! (ф) ([Ка)+ [К01) г! (6) (19. 19) поскольку при этом [Ке)=9. Если нагрузки увеличить в а раз, то можно найти, что суще- ствует нейтральное состояние равновесия, т.
е. такое, при ко. д(ф) =([К,)+й[К„)>й(б) =О. (19,11) Решая описанную выше (см. гл. 17) типичную задачу о собгтнеппагх значениях, можно найти д, Это не что иное, как классическая задача начальной устойчивости (выпучивание стоек, пластин, оболочек н т, д.). В литерат>ре довольно часто этот метод исподьзуется там, где он неприменим. Описанная задача начальной устойчивости может дать физически правильное решеаие только в том случае, если деформации, определенные нз упругого ([Ка)) решения, таковы, что матрица больших деформаг!ий [Кь) тождественно равна пулю. Это может быть только в очень ограниченном числе представляющих практический интерес случаев (напрнмер, идеально прямая стойка под действием осевой силы; замкнутая г> Это обо«он»альп«за фзнгнзеснн унззыззег нз го, нго опнезнный метод знзназленген методу Эйлера я«по, нго его можно уго«ннгь, применяя методы Рунге — Куггз нлн методы проб н ошггбон !йа!.
сфера, нагр>женная равномерно распределенным давлением, и т, д,). Полученные с помощью этого метода выводы о начальных «несовершенствах» применимы только в тех случаях, когда возможна биф>ркация равновесия. Для технических приложений такие задачи необходимо исследоватгь используя полную матрицу тангенциальных жесткостей [6). Состояние нейтральвого равновесия достигается тогда, когда величина [Кт)й(61 тождественно равна нулю. Ясно, что в этом сл>чае следует использовать метод приращений. !9.2лй Энергетическая интерпретация кригериеа усгойниносги Как было показано в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
