Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 60
Текст из файла (страница 60)
2, виртуальная работа при изменении перемещения на величину у[61 фактически равна вариации полной потенциальной энергии Ю Таким образом, в состоннии равновесия дХ=д(б) (ф) =9, (19.12) т. е. полная потенциальная энергия сгациопарпп [что эквивалентно уравнению (19,1Ц. Вторая вариация х в соответствии с (19.9) имеет вид д»Х й(йХ) д(б)гй(з)) д [6)г[Кг) д(б) (19 13) Критерием устойчивости является положительность вели. чины этой второй вариации, и, наоборот, ее отрицательность является критерием неустойчивости (поскольл> в первом случае конструкции должна быль сообщена энергия, а во втором— у конструкции избыток энергии).
Другими словами, если матрица [Кг) положительно определеннал, го состояние равновесия устойчиво. Это» критерий хорошо известен и широко используется при исследовании устойчивости в случае больших деформаций ') [7 — 91. !9,2Х Салаг, зависящие ог деузормации При выводе формулы (19.5) предполагалосгь что силы (К) не зависят от деформации, В некоторых случаях это не так. Например, к категории зависящих от деформаций нагрузок относятся давление, действующее на сильна деформируемую конструкцию, н некоторые аэродинамические'силы (при флаттере). '> Другой, логе н реже нспользуемай пронерзай ннднетон нселедонанне знпнз апределнгеля мегрниы (дг) 444 Глава !У Геометрически нелинейном задачи дхх д'и ду' дхю дх ду Мхр ( ди до — +— ду дх д""ю дхх + 0 (!9 10) (б) = д'м дух д'м 2— дх ду Если силы аависят от перемещения, та в (19.5) необходимо добавить вариацию ат(й) па бт(6).
Учет этого члена позволит исследовать задачи об устойчйвости и о больших деформациях под действием таких (неконсервативных) нагрузок. !9.3. Большие прогибы и начальная устойчивость пластин 19.3.1. Определения В качестве первого примера рассмотрим задачи, связанные с деформацией пластин, нагруженных поперечными силами и т, Фмг. !9.!. е-рсеуестнруммнс и ибро х е езтнбнмх непрпмс ей плоской и естн м б-удхнненнс сред хной поесрхносхх хрн поп ре пом персмсдспнн. силами в плоскости пластины, когда перемещения конечны, на не велики. Известно, что в таких случаях перемещения в поперечном направлении вызывают деформации мел!бранного типа, и задачи о деформации в плоскости и в поперечном направлении уже нельзя рассматривать отдельно, поскольку оии являются связанными Как и ранее, деформации пластины будем характеризовать перемещешшми срединной поверхности; если, как показано на фиг. !9.1,а, плоскость х, у совпадает со срединной поверхностью, то (см.
гл. 10 и !!) ') В частности, ух =а„1, где д„— средвее мембранное напри- жение. Если рассмотреть деформированную пластину (фиг. !9.1, б), то можно увидеть, что перемещение ге приводит к дополнительному растяжению срединной поверхности в направлениях х и у и элемент длины с(х растягивается до вели- чины +тдк) ( +Ттдк) + '''1' т. е. удлинение в направлении х можно записать (с точностью до членов второго порядка) в виде Рассматривая таким же образом и другие компоненты (10), деформацию можно представить в виде ' ~( —:".)' 1 ! ! (-д".)(ду) О 0 0 тч ) часибранНЫЕ Н Нхткбхвщяч Каипапсмти ПОМЕЧЕНМ ННХЕКСйМН р! Н а. Геометрически нелинеднне кодаки Глава !у где гл. 4 н 10): ['[В"] 0 1 0 [В] (19.
18) а =[йс](б)' (19.17) дм дк 0 ду ди' дм (вс ] с ! (19.21) ду дк (бт) = гда дк (О) =', '=.](". ду (бвт] = 1( 1 (как в гл. 4), с а! у (19.18) (19.22) где [6] = (19.23) Г[]У ]" 0 0 [й,]' 1 (! 9.! 9) (к) = ( Здесь первый член представляет сббой уже неоднократно рассмотренное линейное выражение, а второй содержит нелиней. ные члены. В этом выражении и, о, ю — перемещения средин. ной поверхности. Если рассматривается линейно-упругое попедеиие, то матрица [В] состоит из мембранных н изгибающих компонент (см. Перемещения с помощью соответствующих функций формы вы- ражаются через узловые параметры. Например, Множество узловых параметров удобно разделить на части, определяющие мембранные и изгибные деформации: ит ( дм (б]] =! ! дк ]тт (как в гл. 10). ~(( —:",), ~ Функцию формы также удобно представить в виде мы будем считать, что и вектор перемещений тоже имеет вид, соответствующий (19.18).
Такие представления удобны, поскольку все характеристики, за исключением нелинейной деформации (ерт], совпадают с обыч. ными линейными. 19.3,2. Вычисление матрица [В] Для дальнейшего необходимо получить выражения для матриц ]В] и [!(г] Сначала отметим, что [В] =[В ]+ [Вс], (19.20) ею г ьч причем (Ве з сВаз обычные известные матрицы соответ ствующие линейным элементам при плоском напряженном состоянии и изгибе, а [Всь] находится варьированием (аст] по параметрам (б').
Эту нелинейную компоненту деформации из выражения (19.15) удобно записать в виде дм =-,' [А](О). ду Производные (углы наклона) кв можно связать с узловыми параметрами (б'): Матрица [6] зависит только от координат. Варьируя (19.21), получаем ') е](врт] 2 в][А](О)+ 2 [А]е](О)=[А]в!(О)= = [А] [6] В (бь), (19.24) ') при получении (1924) испольааааиа иитересиое свойство матриц (А] в (О). Легка проверкть, что если Геометрически нелинейные задачи Глава Гу 448 ~Вс1= [А[[а[. (19.25) О 01 ,~~~ [О[к к[А[к 0 ] ч()т (19. 29) ваются в виде (!9,26) [ в[-~ , ь ] ' (19.80) где О 01 ""'"=Е ГО[1 О] (19.28) есть ароизвольвнй вектор, то "(Ф) ° (") (*)-[);] ~р "(~:) й)А) (к) = Такам образов, Аналотичао екав т !А) '(э) )А) й (э).
[у] (у)= ув~, )б звк з!3 и, следовательно, по определению 19.З.З. Вычисление матрицы [Кг[ Матрицы, связанные с линейной (малой) деформацией, записы- в соответствии с определениями, приведенными в гл. 4 н !О. Матрицы, связанные с большими перемещениями, можно по- лучить, подставляя (19.20) в (19.7б). После некоторых преоб- разований имеем О (Вм1' [1)"'1 [Вс11 "=[[с....и„!в!! [а 3 !,.З]- Матрица [К,[ находится в соответствии с определением (!9,8).
Варьируя (19.20), получаем то [, ду ) 'чдч1 ато второе свойство будет всяользоваво воадвее. а после подстановки в (19.8) и (19.25) находим Тк В соответствии со свойством, изложенным в примечании иа стр. 447, можно записать Тк ! к)[А[г Т ~ к ка] ( ~ Тк Тк„] Таким образом, окончательно получаем ьла) = ~ [ы[~[ т ] Яч))à — (РОЗП у известная симметричная матрица для начальных налряжеыий пластин.
19.Злй Задача о балаших прогибах Все необходимые соотношения для решения задачи о больших прогибах пластины уже получены. Па первом. этапе находятся перемещения (б) из решения не. связанной задачи о малых перемещениях С их помощью апре. делаются линейная и нелинейная [по соотношению (19.21)[ ча. сти действительных деформапий. Соответствующие этим деформациям напряжения находятся из обычных соотношений теории упругости, а затем из уравнения (!9.21) определяется (ф,). Для последующих приближений [Кт[ строится по формулам (19.26), (19.27) и (19.30).
Полученное таким образом решение типичной задачи [9[ (фиг. 19.2) показывает, что с увеличением деформации благодаря появлению мембранных напряжений пластина становится жестче. Перемещения краев пластины как в ее плоскости, так и в поперечном ианравлении отсутствуют. результаты расчета хорошо согласуются с зналитическим решением, 451 Геолегричеиш нелпнебнме задачи Глава 19 рф Т„а' С= — „ исП ' Соглссоьсннм» влсмснтм Нссоглвсоев нмс в сме тм чстирекусовьннк 1т!1, гв ст пеней свс боди треьтслькск 1Щ, р степеней свобода оркмоуп льппк ВВ1, гз тепе сй свсбодм прккоупыь н» Ну1, ы ствпвпсй свобод 3,22 3,72 3,90 2Х2 4Х4 8Х8 4,029 4,002 4,015 4,001 3,77 3,93 !9.3.5. Бифуркации [~К~1+ ФСИ) [б') - О (19.32) Для описания мембранной деформации элемента использовалась приведенная в гл. 7 простейшая функция для прямоугольника, а для описания изгибнай деформации — несогласованная функция формы для прямоугольника (разд.
10.4 гл. 10). В работах[1! — 15) приведены другие примеры использования метода конечных элементов для расчета больших деформаций пластин. Фнг. !92. Прогиб м, и центре звщемлепной кнвдрвтной плвстппы прн резво. мерно распределенной нагрузке р 191. А — рвсчст бсльипл протезов; Б- творе» мелик прогтбов. В ряде случаев, таких, например, как классическая задача Эйлера, возможна бифуркация равновесия.
Рассмотрим пла. стину, нагруженную лишь в сваей плоскости. Поскольку попе. речных перемещений тп не возникает, теория малых прогибов дает точное решение. Однако даже при нулеаых поперечных пе. ремещениях можно определить матрицу начальных напряжений [Ко1, хотя [Кь] = О. Если мембранные напряжения ежи. мающне, то эта матрица, как правило, будет такой, чта из уран. пения иэгибной деформации можно найти действительные собственные значения. Здесь )р— множитель при мембранных напряжениях, указывающий, при какам их значении достигается состояние нейтрального равнавесин (неустойчивость). При соответствующей этим мембранным напряжениям нагрузке начинается выпучивание и могут появляться поперечные перемещения в отсутствие поперечной нагрузки.
Для постановки этой задачи достаточно записать уравнение г ьт изгиба, в которое входят введенная в гл. !О матрица ~Кв1 н ь определенная соотношением (!9.31) матрипа [Ко1. С помощью различных конечных элементов определены точки начала выпучивания для различных задач расчета пластин [1б — 21[. Некоторые сравнительные результаты для простой задачи расчета квадратной свободно опертой пластины в условиях равномерного сжатия в одном направлении приведены в табл. 19.1, Параметром выпучивания в этом случае является величина где и — сторона пластины и Р— изгибпая 1кесткость. Таблица 19,1 значения С днм моийрвтпвй свободно опертеа млвстнмы прв одпоосяом сзоюив (точвое вннчепне С =4,00 [10[) Все элементы относятся к описанному в гл. !О типу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
