Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Интересно отметить, что прн выполнении требования непрерывности углов наклона для параметра выпучивапия всегда получаются оценки сверху. При использовании несогласованных элементов в этом случзе получаются оценки снизу, хотя и общем случае справедливость этой оценки пока не установлена. На фиг. !9.3 показана форма выпучивания для пластины более сложной формы [19) При расчете использовались несогласованные треугольные элементы. Практическое значение таких задач об устойчивости пластин невелика. Поскольку при наличии поперечных перемещений пла.
стииа становится жестче, она может выдерживать дополнительные нагрузки. Такое увеличение жесткости отмечалось в при. Глава 79 Гарма«пи«гаки паличедмма «еде«и трал Р,О/мг 540 !9.4. Оболочки и иж бил где Фяг. 1зть Ферма выпучпваппв пвадрвтяпа пдасгппы с еащемпеппымн крапив в.ппдкреелеепым фдаыаем певтрвпьпым птверстяем прв сдвиге. Гсипг к — эвлв и'и Р амер фааааа; и' — , 4 44 ээ мере, иллюстрированном на фиг.
19.2, Таким образом, поведение пластины после выпучивания необходимо исследовать, применяя описанный в предыдущих разделах общий метод изучения больших деформаций [22 — 24). Для тога чтобы избежать связанных с бифуркацией трудностей, следует задать небольшое вазыуще. иие [или поперечную нагрузку). Задзчи устойчивости для оболочек имеют большее значение, чем для пластин. При исследовании оболочек матрицу танген. циальной жесткости [Кг), как правило, всегда следует определять с учетам действительных перемещений, поскольку, за исключением самых тривиальных случаев, при заданной нагрузке мембранные и изгнбные эффекты всегда взаимосвязаны.
Одиа- ка, вычисляя матрицу начальной устойчивости [Ка) для упругих напряжений, иногда можно потупить полезные результаты относительна коэффипиента устойчивости Х. В классических раба. тах па выпучиванию оболочек почти исключительно рассматривается именно такая нзчальная устойчивость.
Однако истинная критическан нагрузка может быть значительна ниже яагрузки, соответствующей начальной устойчивости. Поэтому важно вы. явить, хотя бы приближенно, влияние деформаций. Если предполагается, что оболочки состоят из плоских элементов пластин, то к матрице тангенциальной жесткости пластины можно применить описанные в гл, 1! преобразования [25, 26]. При использовании криволинейных элементов оболочек следует вернуться к уравнениям теории оболочек и включить в них яелинейные члены [9, 27).
Необходимые подробности читатель мажет найти в упомянутых работах. Важно опять подчеркнуть, чта расчеты начальной неустойчивости имеют смысл только в частных случаях и что анн часта дают сильно завышенные значения критических нагрузок, Для 19 ма, см фвг. 19.4. прсгпбы в центре ивпппдрвчеспсз пбслсчкв. Все прая эапсем- лепы.
4-Сдтсе. «-С,Э, Л-В ги ягм'. Глава гу получения правильных результатов необходимо решать нелинейные задачи. Существенное размягчение оболочки под нагрузкой видно иа примере, взятом из работы [9) и иллюстрированном на фиг. 19А. На фиг. 19.5 показана, чта перемещения нагр>женной Геометричсска не.шнейхме задача Если рассматривается талька сосредоточенная нагрузка, та удобно задавать приращения перемещений и вычислять соответствующие реакции. Аргирис [4) с помощью этого метода изучил поведение арки при прощелкиванни.
Пиан и Тонг[28) показали, каким образам этот прием можно просто обобщить на случай системы пропорционально изменяющихся нагрузок. В работах [29 — 33) описаны другие методы исследования потери устойчивости. ггг ц- В м дгд дщ у ж суг йгг лрсмад д анно у«о, ам Фнг. 195. Расчет бопьшнк хеформппнй ерин методом нвчвхьпой устожэввостп н прнрвщеээнй. С-оеме«не м кокон не еэ «ое уетоачнэое э; Л-эмпеене ме«одом «о«вчем«эмм е. о Ш.
л Ьм нь т охота нч н=э.м ° эое ннм арки неограниченно возрастают при величине нагрузки, гораздо меньшей определенной па линейной теории устойчивости [6). Определение истинной критической нагрузки оболочки нли другой тонкой конструкции связано с определенными трудностями (уже рассмотренного в гл. 18 вида), поскольку не может быть схадимости перемещений при увелячеиии нагрузки вблизи предела несущей способности.
19.5. Общий случай больших деформаций и перемещений Использованные в равд. 19,3 нелинейные соотношения (!9.5) между деформациями и перемещениями были выведены спвци. ально длн этого случая. Аналогично можно вывести соотношения и для оболочек, кроме того, всегда существует возможность получения и других приближенных выражений.
Однако можно испольэовать общее определение деформаций, справедливое кан для больших, тан и д и малых перемещений и дефармик(ии. Такое определение введено Грином н Сеи-Венаном. Оно известно как тензар деформации Грина, В фиксированной декартовой системе координат х, у, х деформации определяются через перемещения и, а, ш выражениями [34) дх + 9 1Л дх ) + ( дк ) + ( дк ) 3 ' дн до [дн дп до до ди дм) (19.33) + +[ + + 1. ду дк сдк ду дк ду дк ду>' Остальные компоненты получаются в результате соответствующих перестановок. Если градиенты перемещения малы, то после пренебрежения квадратичными членами получаем обычные линейные выражения для деформации.
Геометрическая интерпретация вышеприведенных определений деформаций в общем случае не очевидна, но следует отметить, что они являются мерами удлинения и искажения углов первоначально ортогонального элемента. Если деформации по величине малы, та нетрудно показать, что в„ определяет изменение длины единичного отрезка, первоначально параллельного оси х, а у„„ характеризует изменение угла между двумя линейными элементами, первоначально параллельными осям х и у. Это справедливо даже при движениях, связанных с большими переносом и поворотом первоначальных асей координат. Далее выводятся нелинейные выражения для матриц [Л) и [К ) в общем случае трехмерного напряженного состояния. Из Глава 12 Геометрически нелинеанзи' задачи этих выражений просто получить одномерные и двумерные формы. Это предоставляется проделать читателю в качестве упражнения.
Общие соотношения удобно использовать для задач расчета пластин и оболочек. При этом можно учесть некоторые члены, которыми мы пренебрегали в записанных в предыдущем разделе выражениях для пластин. 19.5.1, Построение матрицы [Вь! Вектор полной трехмерной деформации можно представить через компоненты бесконечно малой и большой деформаций (е) = (ез)+ (ес), (19.34) где ди дк дз ду ' дм дк (! 9.36) дз ди — +— дз ду де ди — +— д д, уыг у ди да — +— ду дк столбец, рассмотренный в гл. 6.
Нелинейные члены в соотно. шенин (19.33) удобно переписать в анде О О (ес) =— ! 2 где а [А) — матрица размерности 6 Х 9. Читатель легко может убедиться в справедливости записанного выше соотношения н проверить выполнение свойств матриц (в )г О О О (О 1г (в„)г О (в )г О (6.1' О (в„)т (в )т !' (0„) 1 (В ]г ~ (Оы) ~ = [А](В) (!9 36) ,О,, [А] и (В), описанных в подразд, 19.3.2 (примечание иа стр.
447). В этом случае (.)=ад[А)(в)+2 [А]А[91=[А]д(е), (9937) и так как (В) можно выразить через функцию форзгы [зу] и узловые параметры (61, то (в) = [п) (6) (19.33) илн И(зз) =[А] [П]д(б) [в,] = [д] [а]. (19.39) 19.3.2. Построение матрицы [Кг] Замечая, что [В[ = [Вз) + [Вз[, Можззо записать аз [д]г (а) = ~ оы1з ты.1з ~ аз (В) = [М! [ы]а (б) 1 Симметрично о,!з (19.42) где 1, — единичная матрица размерности 3 Х 3. Подставляя (19.42) з (19.41), получаем [К,] = ~ [П]г [М] [П] д!г, (19.43) где [М] — матрица размерности 9Х9 из шести компонент напряжения, расставленных, как показано в (!9.42).
Очевидно, что матрица [Ка] симметрична. В предыдущих выражениях индекс элемента опущен, хотя все матрицы должны строиться для каждого элемента, а затец суммироваться обычным образом. легко построить матрицу, определениузо соотношением (19.7): [К1 = [Кв]+ [Кз| = ~ [В)г [Р) [В) АУ. (19сйв) Для получения полной матрицы тангенциальных жесткостей необходимо построить матрицу начальных напряжений [К,]. В сов ответствин с (19.3) имеем [Ка] с! (о) = 5 с( [Вз]г(о) с!у = ~ [П]т с(~[д]г (о) с(у (19 4!) ы Глава 19 Геомегрически нелинейные задачи В случае необходимости введения непротиворечивых упро.
щений прн исследовании пластин и оболочек полезно начинать с общих выражений. Эти выражения необходимо использовать и при исследовании рассмотренных в гл. 14 толстых оболочек. Если известна связь между напряжениями и деформациями, то ее можно использовать для исследования больших деформаций. Однако чаще определяют непосредственно энергию деформации через компоненты деформации и, минимизируя ее, находят обобщенные силы. Некоторые примеры такого подхода к исследованию больших деформаций даны Оденом [35 — 38[, который рассмотрел большие деформации резиновых ' мембран и сплошных сред, 19.9. Заключительные замечания В этой главе сделана попытка подойти ко всем задачам о больших деформациях с одних и тех же позиций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
