Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 57
Текст из файла (страница 57)
устойчивости решения. Так, интервалы времени следует, как правило, выбирать в процессе вычислений. Они могут значи. тельно увеличиваться, если, как это часто бывает, распределение напряжений приближается к установившемуся. Подходящим критерием выбора может служить требованне, чтобы относительные приращения напряжений за рассматриваемый о~резок времени не превышали заданной величины [34). 18.8. Некоторые специальные приемы решения задач нолзучести Довольно часто с помощью некоторых обобщений или упрощающих предположений удается получить достаточно точные решения, учитывающие эффект ползучести, не прибегая к трудо. емким и дооогостоящим методам приращений. 428 г я гз 18.9.
Заключительные замечания й й е ке Линейная вязкоупругость. Для однородных изотропных вязкоупругнх материалов с постоянным оператором коэффилиента Пуассона, используя аналогии Алфрея — Мак-Генри и решая задачу теории упругости при соответствующих эквивалентных нагрузках, перемещениях н температурах, можно определить напряжения и перемещения в любой заданный момент времени (41). Некоторые обобщения этих аналогий предложены Хилтоном (42].
Кроме того, если деформация палзучести стремится к некоторой постоянной величине при Г- со„ то окончательное распределение напряжений можно найти и тогда, когда упомянутые аналогии нельзя применить. Например, если на конструкцию из вязкоупругого материала, свойства которого зависят ат температуры, действуют не изменяющиеся во времени нагрузки и температура, та можно 'определить предельные упругие постоянные н свести задачу к линейной задаче теории упругости для неоднородного материала (43). Влияние такого изменения упругих свойств на распределение температурных напряжений в реакторе высокого давления показано на фиг.
18.19. Установившаяся ползучесть. Если при ползучести, описываемой соотношением (18,42), полные деформации ползучести настолько велики, что упругими деформациями можно пренебречь, та удается получить существенные упрощения. В этом случае скорости полной деформации н деформации палзучестн одинаковы и определяющие уравнения можно записать в виде р (в) (О ) ~ (а) как для изотрапного несжимаемого материала. Если соотношения между перемещениями н деформациямн (или уравнения совместности деформаций) продифференцировать по времени, то станет ясно, что задача представляет собой задачу нелинейной теории >пругости, в которой обычные деформации н перемещения заменены на скорости деформаций и скорости.
Решение для этих величин не зависит от времени и его можно получить любым из описанных ранее методов, не прибегая к методам приращений. При этом напряженное состояние конструкдии постоянно, а деформации возрастают про. порционально времени. В предыдуших разделах рассмотрены общие методы решения задач при использовании сложных нелинейных определяющих уравнений и некоторые частные приложения.
Ясно, что этот н я ь 8 » юй =З й Ц л о ыв й д„ я З В й й „ч) й ч 8 3' Ы о за я И О $ о ' Ю ч О. ч и Р с.зя $ з 3 й я к я й 8 ав Ъ 431 Физически нелинейные задачи йэ + + дс + + \ ь ° ° аээ~ + ° ° ° ° ° нь 411эб и +а о о +ь р ьо йе л + + .ь 1. 1- + ++ о о)Ь + ь .1„ 1+ + ° ° э + ° ° ьь + + +++ ьь .+ .ь + + Фнг, 1зло, Хнрэктарнстакн раэлнчныэ элементов прэ упругонластэческом рас- чете плоского напряженного состояняя образца с выточками.
и ашир мал э эаз и-тр уг льн ш ырмент,а рб 1,1бб н 1,226; б — лэнайный чнрырал- э ол нлн, а за 1,)бб э 1,226; э-лнлдрьтнчный чарыранггол н «, о !с 1,)ббз л — этбнч- Мз ы н й четы ьлэыльн л, а /с 1,1юба -аррд ан ннэрнм нна а ышочэа, е-аднаоаэон напра анна 2 нэчаотн, «дннльннэ элнарнчаоарь). Ра реэамнн лалрлы ар ллабмннан аенрнииз э-у ругон рашаада; а-эирэгаэ н- арэчаолаь рьшонна, а )с 1,1м. чнало ара а ьй аьабоды на нааэ чатымэ алучьнэ ар и рно адннллоьо пт2-1М).
вопрос настолько обширен и практическое значение его так велико, что осветить его в одной главе невозможно. Для различных материалов можно предложить и экспериментально подтвердить различные формы определяющих уравнений. Как только установлены опргдэляюп4ае рраепенпя, к нам можно приспособить описанные э этой главе стандартные методы, Действительно, можно создать стандартные программы решении задач для материалов с различными свойствами, в которые характеристики, определяющие особенности поведения материала, входят в виде «черного ящика», й>ззикескз нелинейные зада«и Гыеа !8 482 Таким образом можно рассматривать такие явления, как длзкопласгичносгь (плнстнческне деформации зависят от времени) нлн различные задачи механики грунтов и гарных пород [44].
Необходимо еще раз напомнить, что при решении нелинейных задач а) возможна неединственность реп>ения; б) априори никогда нельзя гарантировать сходимость; в) стоимость решения значительно вьппе стоимости решения линейных задач. Для преодоления первых двух трудностей необходима понимание физической сущности задачи, а стоимость может быть снижена в результате дзльнейп>их усовершенствований методов, В приведенных примерах применялись лишь простейшие конеч. ные элементы.
Очевидно, что при использовании этих методов можно применять любые функции формы элементов. Последние работы показывают, что использование рассмотренных в гл. 7 и 8 сложных элементов даже в двул>ерных задачах может дать значительную зкономию [45]. На фиг. 18.20 сравниваются результаты расчета пластнче. ских зон прн использовании элементов с постоянным распределением напряжений и изопараметрнческих элементов.
Гладкость грввнц пластических зон (определенных по точкам Гаусса) в последнем случае приводит к значительному ускорению сходнмости н повышению точности. Наконец, следует отметить, что описанные методы удобно использовать и для решения линедна>х задач, сформулирован. ных первоначально с использованием других значений посголннв>х. Привлекательность такого подхода не очевидна до тех пор, пока мы не рассмотрим, например, решение задачи теории упругости для материала с коэффициентом Пуассона, равным 0,5.
Ранее отмечалось, что в этом случае матрица [Т>] становится неопределенной и необходимо нспользоввть специальные приемы (см., например, гл. 4, равд. 4.5). Можно, однако, решать задачу теории упругости с допустимым значением коэффициента Пуассоне методам начальных деформаций, изменяя а процессе решения деформации так, чтобы удовлетворить условию несжимаемости [34, 36]. ДРУГИЕ НЕЛИНЕИНЪ|Е ЗЛДЛЧИ 18.10.
Нелинейные квазигармоннческне задачи теории поля Нелинейности возникают в различных задачах теории поля рассмотренного в гл. 15 типа. Напричер, в задачах, описываемых уравнением (см. (15.1)) д (й '*: )+ д (й д )+ д (,й дг,!+>«=0, (!845) проводимость й может зависеть от функции ф илн ее градиеитон. В качестве иллюстрации можно привести два типичных яримера. Во-первых, при фильтрации жидкости скорость может не удовлетворять условию ламинврности (Дарси), в соответствии с которым она определяется выражениями п,=й — к т.
д. де дк (18.46) В случае турбулентности требуется учитывать зависимость по. терн внпора (ягвд Ф) от более высокой степени скоростей. Такие законы получены, например, в работах [47] и [48]. Их можно также записать а виде (18.46), полагая [49 †!] 1>=й(д), Аналогичная ситуация возникает в задачах магннтостатики, где ф — мвгнитный потенциал, а й — величина, обратная магнитной проницаемости, которая существенно зависит от градиентов магнитного поля[52], Таким образом, а обеих задачах уравнения, по существу, одинаковы. Хотя очевидно, что термины «переменные параметры упругости», «начальные напряжения н деформации» в этих случаях не подходят, для решения можно использовать аналогичные итерационные методы (см, рвзд, 18 3). В гл.
15 [уравнение (15.14]] показано, что после дискретизвции уравнения принимают такой же вид, как и а задачах теории упругости: (ф) = [0] (ф) + (Р) = О. (18.47) Поскольку й используется при вычислении мнтрицы [(т], получаем [0] = [0((Ф))] и задача, таким образом, относится к рассмотренному в равд. 18.3 классу. Для решения можно использовать итерационный метод Ньютона, вычисляя на каждом шаге б(Ф), = — [и„] '(ф((ф),)).
(НЕ48) В этом случае, как было показано ранее, при каждой итерации приходится обращать различные матрицы. Можно также применять модифицированный метод Ньютояа — Канторовича, вычисляя б(Ф)ее> = — [Оз] ' (ф((Ф).И, (18. 49) где [Нс] — матрица, полученная нв первом шаге. Опять можно использовать различные способы ускорения сходимости [2], Анв- Глава !8 логия с методами постоянной и переменной жесткости решения задач теории упругости очевидна.
, До сих пар методы конечных элементов для подобных задач применялись сравнительна мало. Волкер [49[ получил решение задачи о иеламинарном течении жидкости в пористой среде с помощью первого из описанных методов (с переменной матри. Физически нелинейные злдсчи цей [7([). Удовлетворительные результаты получены после небольшого числа итераций, Винслоу [52[ использовал аналогич. ный метод для решения различных задач магпитостатикн. На фиг. 18.21 показаны некоторые полученные им довольна интересные полн в нелинейном материале').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
