Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Некоторая экономия достигалась за счет того, что длн решения систем уравнений использовался метод итераций и жесткость менялась в общем итерационном процессе. Метод начальных напряжений, впервые примененный для за. дач теории пластичности Зенкевичем н др. [9], по.видимому, наиболее удобен, так как любая разгрузка автоматически про.
исходит по законам теории упр>гости, что позволяет исследо. вать циклическое нагруженне. В настоящее время этот метод используется довольно широко [17]. 18.4.3. Приложения метода ка«аланык напряжений к некоторым аадачам пластичности Приспособить метод начальных напряжений к решению задач пластичности довольно просто. Трудности, возникающие при этом, связаны со следующими двумя обстоятельствами: а) Соотношение между приращениями напряжений и дефорыаций (18.25) справедливо лишь с момента достижения напряжениями поверхности текучести, т, е, при Р(о)= О.
Если г (а) (О, то материал продолжает вести себя упруже. б) Соотношение для приращений (18.25) справедливо лишь прн бесконечно малом увеличении деформации. Прн увеличении на конечную величину напряжения могу| выйти за пределы поверхности текучести. Для предотвращения этого после каждой итерации надо изменять напряжения так, чтобы вылолнялоса условие текучести. Метод, с помощью которого решены приведенные ниже примеры, состоит в следующем: а) Для приращения нагрузки вычисляются приращения упругих напряжений я деформайий.
б) Для полученных полных напряжений вычисляется величина 1л([о]). Если г ( О, то поведение материала упруго и дополнительных итераций пе требуется, Если Р ) О, то вычисляется значение г" в начале интервала и путем интерполяции определяются приращения упругих деформаций и напряжений в окрестности точки на поверхности текучести. С помощью соотношения (18.25) находится приращение упруго-пластического напряжения, соответствующее определенному таким образом упругому напряжению'). Напряжение в момент начала текучести после добавления упомянутого выше приращения сравнивается с определенными ранее полными напряжениями, а разность используется в качестве начально~о (поправочного) напряжения.
в) Далее вычисляют невязки сил и получа|от упругое решение, да|ошее новую величину полного напряжения. Если невнзки снл меньше некоторого значения, то процесс заканчивается. В противном случае: г) повторяются этапы «б» и «в» и т. д. На каждом этапе полные напряжения должны соответствовать поверхности текучести.
Упруго-пластическая матрица определяется по значениям напряжений, при которых Р = О, или изменяегся в процессе итераций. Во всех приведенных примерах описанный итерационный процесс использовался без ускорения сходимостн При этом наблюдалась довольно быстрая сходимость (5 — 15 циклов), Медленная или плохая сходимость является обычно приливном критического состояния конструкции. Полученная ранее упруго-пластическая матрица относится к общем> случаю трехмерной сплошной среды. Для двумерных состояний необходимо привести ее к специальному виду.
Например, для плоского напряженного состояния это достигается простым вычеркиванием в (18.24) столбцов, соответствующих нулевым компонентам напряжений. В случае плоской деформациы должны учитываться все напряжения, но обращаются в нуль соответствующие компоненты деформаций. В работе [9] выполнены соответствующие преобразования и приведены явные выражения для матриц.
Интересно отметить, что в этих случаях даже при идеальной пластичности диагональный член, соответствующий А, о~личен от нуля. Пластина с отнерстием из упрочняющегося и неупрочняющегося материала. На фнг 18.4 показаны форма пластины и простые треугольные элементы. Получено решение задачи в предположении плоского напряженного состояния как для идеально пластического, так и для упрочияющегося материалов, Использовался критерий Мизеса с линейным упрочнением [по- '1 Паскальку врзрзщевве нагрузки казачка, вазиажяа, чта аарзхслскяыз с ваиащью формулы (|вжэ» вр>твс взвряжсяяя булут ксскалька превышать арслсл тскучеств. Эта проверяется, в в случае зревышсвзя предела текучести язлряжсзия уисвьшзются тзк, чтооы азя нвхалзлксь зз аавсрхвастк текучестз.
Физически метпмелнме эндачи Дд среднее У.гд 4ОО О,75 ООО о Дуб Еэ/Од Фнг !а4. Растяжение полосы с отверстием !плоское нлпряженное состояние). а — рэюк нке юне ме эшизнгм Г~зз элем т в, М узла); З-э эатнче*кэ они шя Рзэ «НМХ а:ШШ ННА а /зк Д Ээ Нз ПЛЭ тнЧНОСГЬ, К З,Ю 20" !!УМ". Ч 0,2. 0 =2,22 !УН)мч е-го жв, ч а э С, ко длэ у роч хшщегщ» мэ ер э. П стояннме у нэклан и'гг 0022; э-кэ руэкз 092 арыожвк за адзв зтэп, упрочняющкзся матер ээ. стоянное Н' в (1831)].
Зоны пластичности при различных нагрузках показаны на фнг. )8.4, б и е. Хотя соотношение пластичности справедливо только для приращений, метод начальных напряжений при приложении всех нагрузок за один этап приводит к решениго, удовлетворяющему условиям равновесия н не превышающему напряжений текучести. Такое решение для очень большого приращения нагрузки показано на фиг, 18.4, г. Интересно отметить, что, несмотря на нарушение законов для приращений деформаций, пластические зоны практически не изменились. Фнг. !З.Ь. Плэстннэ с отверстием; упрочняюшнася мзтернзл, НУЕ 0032.
Мзкснмнльнзя деформепня в точке нечзлк текучести. Прнрещейне пнгрузнн = 02 Ус нагрузке, соответствующая началу текучести. — р л а реву.ьтэ м т охэркеэ Мэрнетоаэ !Гки О не л кэ вльзмх нэкряженнзг х метод перэменнае же ка к !гэ! ь гмшек е для д ого этапа нвгружен я в пзэсткчэска)Г аелэетн. Важно также отметить, что, как видно из фиг. 18.5, максимальные деформации в точке начала текучести почти совпадают с определенным методом приращений. Там же проведено сравнение с экспериментальными результатами и с результатами, полученными методом переменной жесткости )14]. Консольная балка — циклическое иагружение.
На фиг. 18.6 показана находящаяся в условиях плоского напряженного состояния консольная балка, для згатериала которой справедливы законы идеальной пластичности Мизеса. Нагрузки отнесены к критической нагрузке, определенной по элементарной теории пластического шарнира. На фиг 18.7 показан первый цикл нагружения для иллюстрации способности метода правильно описывать упругое поведение прн разгрузке.
Заслуживают внима- Физически нелинесные задачи й1! ажщм м Фнг. !8.6 Консольнзя балка. Плоское нзпряженнае состояние, ндезльнзя плзстнчность Плзстнческне зоны для рюлнчных отношений РугР. 1Р, — крнтнчеснзл нагрузка, зычнсленнзя го бзлочной теарнн плястнчностн). шм- ' 04 а Й-ай )2 '-ав -об -ай -аг с аг ае 00 ав серемешепие е с а О ! ! О Г сеченое лд г сеченое'вв Фнг, !87 Консальнзя балка, покзззннзя нз фнг. !86 а-перл ие«пя чрп лщлплл л лплкл ллгрумо Š— рш р дллелн лепром ° й о„/ое зз рзз лч мл лллл рл тру . О пр н чл.м шучлл, Х лрл лке зллюй»отрезке; Ь лрп млплн алькой ззгрузке е ойрлтпмм зялком; О о тлточн е зпрлм нля. нин показанный на фиг,18,7, о «гистерезис» перемещения и остаточные напряжения после синтия нагрузки, обусловленные пластическим деформироаанием.
На фиг. 18.8 представлено графически изменение перемещений при возрастании нагрузки. Ло мере приближения к крвтической нагрузке требуется все большее число итераций, и при Р)Р, = 1 пропесс не сходится. Таким образом, хотя нелнвейное решение дает возможность найти нижнюю громилу критической нагрузки (путем удовлетворения условиям равновесия и текучести), метод приращений нагрузок не позволяет установить ее истинную величину. Для лучшего описания критического поведении балки проще задать некоторые перемещения в точке приложения нагрузки и затем увеличивать их, пока реак- синдтмеаю нип пия в этой точке не пере- ус ни чля станет возрастать. Этот Ю~ы~~ прием рассмотрен н следую- а.
,0,0 щем примере. л. Пластическое течение а ' й при резании металла. На по фиг. 18.9а показана идеали- " зированная схема обработ- щ с 2 ки металлической заготовки резцом, снимающим с ствительности эта задача связана с большими пере- Фнг щ.8. консальнзя балка Зззнснмешениями, решалась упроиасть переиещення от,Г масть пе еиещення от Р!Р щенная упруго-пластическая задача о поведении тела определенной формы при заданных постоянных перемещениях вертикальной поверхности На фиг. 18.9б показаны пластические зоны, распределение нагрузки и полная нагрузка иа резец. Видно, что вследствие идеальной пластичности материала при определенных перемещениях нагрузки увеличиваются до некоторых постоянных значений.
Прн этом возникает критическое состояние, соответствующее отделению стружки. В рассмотренном примере только этот заключительный этап имеет практическое значение. Материал Мора — Кулона. Туннель. Сходные с. плзстичаостью явления наблюдаются во многих материалах, таких, как почва, скальные породы, керамические материалы и бетон. В них также может происходить необратимое деформнрование при почти постоянных напряжениях. Однако поверхность текучести лля этих материалов зависит не только от девиаторных (сдан. говых) напрнжений, как в законе Мизеса, но и ог величины среднего напряжения.
Физически нелинейные эодичи Глиеи |д 412 413 зное е ь 2 ь е=д В О т = С + а„!и 3) Фиг. |8.9а. Приближеииое опвсаиие процесса обработки металла путем задавая эквязалеигимх перемещений з месте среза. д — одяоосиое напряжение текучести Форма детали и пластические зоим.
Известный критерий Мора — Кулона, определяющий максимальное сдвиговое напряжение на произвольной площадке в виде (!8.32) где С вЂ” сила сцепления, а„— нормальное напряжение и ив угол внутреннего трения, можно приближенно'записать в более удобной форме, предложенной Друкером [19[; Р = а1, + Ь) 12 — К =. 9, (! 8.33) где 1, — первый инвариант тензора напряжений 1,=а„+а„+ам 12 — второй инвариант 12 — — б [(а, — аи) +(аи — а,)'+(а, — а„)'[+т„+ч„, +чем 1 2 2 2 2 2 а и К вЂ” постоянные, зависящие от сцепления и внутреннего трения материала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
