Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ргаснсе, 5$аяу К С., 21епй|екчсх О. С., едк, %!!ау, 1968. 26. Сгосье! 3, МаКЬЙ Р. Л1., Оо Сопьщинче Ецианопв |ог у|ам о1 Ниы ТЬгоидЬ ап Е|аьнс бо|Ы, №3, У. Елу. 5я., 4, 383 — 401 (1966). 27. Вю( М А, Репка! ТЬеогу о| ТЬме О|аепяопа! Сопвойданап, У. Арр!. Рьуя, 12, 155 — 164 (1941).
28 Гпед 1, Г|о1|е Е|еееп1 Апа!уыв о| Т|ае Оерепдеп! Рьепоаепа, 1п| Ие. рог! Яи|1яаг| Оп|ч., !969 29, Сигнп М., ЧаггаИопв! Рппс|р1ев Ыг Ыоеаг Е|ая|одупагп|сз, Агой. )ог да|гола| Месй. алд Ала!уяя, 16, 34 — 5О (1969) 30 %авЬ|хи К, Чапапопа! Ме1Ьодя |и Е|аь|ея|у впд Р!зь|кну, Регхавоп Ргеяз. 1968. 31. %Иван Е. Ы, ГлоияЬ Гс %., Оупав!с Неьропяе Ьу Яер Ьу Яер Ма$гв Апа|УвЬ, 5УаР. оп 1)ье о1 Со.пРЫегь 3п Сон! Еп8., Ь|вЬап. О«$1962. 32, СЬап 5. Р., Сох Н. 1, Вепне|д %. А., Тгвпь1ел| Апа|увЬ о1 Гогсед Ч|ЬгаИапь о| Соар|ех Ягисшга|-МесЬап|са! 5уь|еея, У йоу.
Асго. 5ос., 66, 457— 460 (!962). ЗЗ, На)1.5Ье!ЬЬ гуы браггок Е М., Тгапяеп! Неа1 Сопдисноп |п а Рта|а|в 5рЬегоыа1 5о|Ы, Тгаля. АЗМЕ УУТ. 68, 33! — 333 (1966)1 есть русский ле. ревод Хаджи-И)ейх, Гиэрроу Нестаииовариая тегиапроводность в удлииенком сфероияальиом теле. Труды Американского общества иивгеиеров механиков, Серия С, Теплопередааа, 88, № 3, !956, Глава 16 17.1. Введение (! 7А) (!7.6) О =гтг 34. РагеЫг С. Д, Нпйе Е1етеп1 5о)и!1оп 5ув1егп, РЬ. О. ТЬезва Пп!ч. о1 Чрв1ев, 5папяев, 1969 35. Тау)ог С..
Рагекн С, 1., Регегь Д С., Ггапсе Р, Митег1са( Апа!у*М од ЕЬ пеаг Ггее 5т(асе 5еераае Ргошсть, Ргас Ат бос. С!ч. Еяб. (букет опуб. лаковаао) . ег- 36 НегЬег( й, йизжоп К, й., Сгоипдча1ег Г1оп 5!од!ев Ьу йсв!я(апсе Мепогкв, Сео!еслпгрие 16, 53 — 75 (1966). 37. Нептап 5. Р., цгиьегярооп Р А, Г1пне Е)егпеп! Ме№од о( Апз!ус!пай Шеаду 5еервае чню в Ггее 5иг1асе, вгасяг йезаигсея йеь., 6, № 3, бта (1970а) 38. Неитап 5. Р., Цг(!Ьегврооп Р А., Уаг1а1)опа! Рппс1р)ез 1аг Сопцпед япд 1)псопцпед Г)оя о1 Сгоипдиагег, 6гатег йешигсяз йез, 6, № 5 (1970Ь). 39.
Увчвпде( 1., ЦГНЬегзрооп Р. А., Аррьсаиап о1 же Г!и(!е Бетси( Ме(ьод 1о Тгапкеп! Г1оп )п Рогаиз Межа. бос Ре!. Епб Х., 241 — 252 (5ер(. 1968). 40. Пиит Цг., пулат!с Апа(узн о1 51гисыга1 5уз1етв Пя)пк Сотропепг Моды, ХАИА 6 (би!7.1968). 41. Оайааьег й Н., Манек й.
Н., Ердыеп1 5о!оноп Ргосевзеь!ог Ггпне Е!етепг Апа1упз о1 Тгапз!еп! Йев! Сопдисгюп, ВеИ Аегазув1етз, Вица)о, 42. 2(епЫечпсь О. С., РагсЬЬ С. д., Цг)1! ° Н 7., Тье Арр9сацоп о1 Г1пие Е!е. гпепм 1о Неа1 Сопдисноп Ргоы)етз 1пчо!ч!пя 1.а1епг Пса! (буает опубликовано). РЛАОА И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ПОЛЬгАНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ. КОЛЕБАНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В гл. 13 было показано, как задачи, в которых в направлении одной нз координат свойства не изменвются, можно упростить и что, используя ортогональпые функции, можно исключить зту координату.
Такой подход давно применяется при решении задач, содержащих в качестве одной из координат время, н фактически лежит в основе лииейаой теории колебаний. В втой главе мы будем рассматривать уравнение типа (!6.13), полученное в результате дискретизации в предыдущей главе: [К) (б)+[С) т (б)+[М) ун (б)+(Р(1))=О. (17.!) Это уравнение применимо ко всем упоминавшимся классам задач, дли чего достаточно одну нлн несколько матриц приравнять нулю. Ьгравоение связанной задачи тоже может быть приведено к такому виду. 17,2.
Динамическое уравнение прн периодическом входном сигнале Пусть член (Г», представляющий собой возмущающую силу, имеет внд (Г(10 = (Го) б", (!7.2) где (Го» не зависит от времени. Далее предположим, что решение (б) существует и имеет такую же форму: (б(1]» =(бо» е'г, (17.3) После подстановки этих выражений в (!7.1) получим ( [К) + а [С) + а' [М) ) (бо» + (Го) = О. Решение уравнения (17.4) относительно (бо» дает возможную форму реакции, если для (3» удовлетворяются начальные условия. Если о — мнимая величина, т. е, имеет вид Глава !7 ' если выполняется условие то е" = гнн = соз в! + ! з(п в1 (17.9) (!7.6) де!] [К] — ыэ[М) ]=О.
(!7.10) 17.3. Собственные частоты (П.й) ц вещественная часть выражения (17.2) соответствует периоди- ческому сигналу. В общем случае (Ре) и (6,) будем считать комплекснымн, тогда уравнение (17.4) можно рассматривать как совокупность двух уравнений, получающихся в результате приравнивания ве- щественных и мнимых частей. Таким образом, если (ре) =(ре)+е Фе), (6) =(йе)+1(йе), где есе величины с одной и двумя черточками сверху веществен- ные, то, приравнивая вещественную и мнимую части (!74), по- лучаем систему двух уравнений, которую можно записать в ма- тричном виде: — ю ]С] [К) ееэ[М]л 1 йе ~ ~ ре ~ (17.76) Уравнения (17.7) образуют систему, в которую входят только вещественные величины.
В результате решения этой системы можно определить реакцию на любой периодический сигнал. Эта система уже не является положительно определенной, хоти она по-прежнему симметрична. При периодическом сигнале решение после начального переходного периода не чувствительно к начальным условиям и поэтому найденное приближенное решение будет характеризовать установившееся поведение.
Это справедливо как для задач о ди. намическом поведении конструкций, так и для задач теплопроводности, при решении которых надо принять [М] =О. Если матрица [С] равна нулю, т, е. рассматривается динамическая задача без демпфирования, и если внешних возмущений (Р) нет, то уравнение (17,1) принимает вид [К) (6) + [М] ~ (6) = О. Это уравнение имеет вещественное периодическое решение (6) = (йе) соз ый л(иеачиееелие эедееи. Оелуеяелегеыееее иееледоганее йуй Последнее равенство возможно только при некоторых значениях ы, при которых определитель заключенной в скобки матрицы обращается в нуль.
Поскольку этот определитель имеет порядок л (при размерности матрицы « )( «), в общем случае существует «вещественных корней ы'. Они определяют собственные угловые частоты системы, а задача нх нахождения ' представляет собой типичную задачу о собственных значениях В динамических задачах о колебаниях « корней этого уравнения вещественные. Каждая частота, при которой выполняется условие (!7.9), определяет вектор (6,)„, величина компонент которого произвольна, а их отношения принимаэот заданные значения. Такие векторы называются модами системы.
На практике удобно вводить масштаб для этих векторов так, чтобы (6,), (М! (6е)е=! (единичная матрица). (17.11) Масштабированные таким образом векторы называются нормирован«вема модами (собственными функциями) системы. Еще одно важное свойство мод состоит в том, что для любых двух различных частот 1Ф ! (6,)', [М) (6,), = О. (17.12) Это свойство называется свойством оргогональности мод [1). Интересно отметить, что матрица ([К] — вэ[М)) появляется и при решении задач о поведении систем при вынужденных колебавиях [уравнения (!7.7)).
Как известно, при приближении величины в к собственной частоте реакция увеличивается и возникает явление резонанса. 17А. Решение задачи о собственных значениях 17.4.К Общие замечания Прн нахождении собственных значений редко прибегают к записи определителя (17.10) в виде полииома а, как пранило, используют другие методы. Такие методы описаны в специальных учебниках [1, 2), и сейчас многие библиотеки стандартных программ содержат соответствующие программы, 374 Глава !7 Дииимичеоиие задачи.
Полуоии*игииоеиог исследование 376 В большинстве случаев рассматривается частная задача о собсгзеннык значениях [Н](Х) =Л(Х), (17.13) где [Н] — симметричная положительно определенная матрица. Уравнение (17.9) после обращения матрицы [К] и введения обозначении х = 1(мэ можно записать в виде [К] '[М] (бо) = Д (бч), (17.! 4) однако снимет ии е сли записать матрицу[К] в виде [К] = [6] [С]' ° [К]-' =(Ц'-'[Ц-'. где [Ц вЂ” матрица с нулевыми коэффициентами иад главной диагональю, то после умножения (17.14) на [Цт будем иметь !Ц '[М](6,) =Д [С]'(6,).
Полагая [7.]г (Ч = (Х), (17.15) окончательно получим уравнение (17.!6) [Н] (Х) = Л (Х) которое совпадает с (17.13), так как матрица [Н) теперь сим. метрична и имеет вид [Н]=[Ц '[М][Ц (17.17) После определения л (всех или только нескольких наибольших значений, которые соответствуют основным тонам) находятся моды (Х), а затем с помощью (!7.15) и моды (бо), !74.2. Свободные колебания В статических задачах всегда вводится необходимое число условий закреаленая для обеспечения воэможности получения обращения [К]-', или, что то же самое, единственности решения уравнений статики (см, гл. 1).
Когда такие условия отсутствуют, как, например, при полете ракеты, произвольное задание минимального необходимого числа условий закреплении позволяет получить решение статической задачи, причем эти условия не влияют на величины напряжений. В динамических задачах задание таких условий недопустимо и часто приходится сталкиваться с задачей о свободных колебаниях, в которой матрица [К] сиигуляриа и поэтому не имеет обратной.
Использование простого искусственного приема позволяет сделать возможным применение к такой задаче общих методов, описанных в предыдущем разделе. Уравнение (17.9) записы. вается в виде [( [К] + а [М]) — (ми+ а) [М]] (бо) = О, (17.18) где а — произвольная постоянная того же порядка, что и искомая величина ы'.
Новая матрица ([К]+ а[М]) может быть об. ращеиа, и, следовательно, обычным способом можно найти (ы'+ а). Этот простой, но эффективный путь преодолении существенных трудностей предложен впервые Коксом [За]. !7.4.З. Экономичные методы определения собственных значений =© (17.19) Предположим, что перемещения 6 однозначно выражаются через перемещения 6. В соответствии с этим последние будем назы- вать главными, а первые — вспомогательными переменными Та- ким об азам, Р (6) =%(6) (!7.20) и (6) =П(6), (17.21) где [С] — матрица, характеризующая связь между этими перемещениями. Динамическое уравнение всей системы [К[(6) + [М] ~, (6) = 9 [17,22) Какой бы метод ни использовался для определения собственных значений и собственных функций системы, необходимо проделать на порядок больше вычислений, чем при решении соот.
ветствующей статической задачи. К счастью, собственные значения можно достаточно точно определить при меньшем, чем в случае статической задачи, числе степеней свободы. Если при решении статической задачи используется доста. точно мелкое разбиение, то можно сократить число степеней свободы и сосредоточить коэффициенты, учитывающие влияние массы и демпфирования, в меньшем числе узловых параметров. Этот способ предложен Айронсом [4, 5] и несколько позднее Гайяном [6]. От читателя, по-видимому, не ускользнет его сходство с описанным в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
