Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Для конечно-элементного представлении лопасти были применены изапараметрические элементы третьего порядка. Рас. пределения температур в различные моменты времени пока. заны пунктирными линиями. Глава Уй 1 д = — о. и н' и ('1 6.57) СВободнал ооаерлногож э=о г=г, Трехмерная задача теплопроводности. Одна восьмая часть эллнпсоида вращения грубо аппроксимируется тремя квадратичными изопараметрическимн элементамн. На фиг. 16,5 показаны эти элементы и изменение температуры в центре эллнпсоида, г,о 0,2 О,Я о,а 0,8 г,о ю/ц Фщ..
нг. 16.6. Иэмененпе температуры ао времени н нмткнутом эллкпсокде нраще- нкн прн к р л О (Ы=6,026 0). — нна нтнчченае Эемеане: Ь Эеменне методом «онечанч элем нтон, Ь Гто т, М.,га полученное аналитически и методом конечных элементов, На. блюдается хорошее совпадение результатов. 16.6. Различные нестациоиариые задачи. Фильтрацив со свободной поверхностью Специальный класс нестационарных задач образуют задачи о течении грунтовых вод, в которых не учитывается сжимаемость жидкости, но происходит непрерывное изменение ее свободной поверхности.
Определяющее уравнение таких задач является стационарным [уравнение (15.26)]. Свободная поверхность фильтрующейся жидкости есть поверхность нулевого давления (см. гл. 15), но она не составлена иэ линий тока в неустановившемся течении. Если решение за. дано в лгобой момент времени прн известном положении свобод- Несгацоонарнма к днномаческае подача ной поверхности, то может быть найдена нормальная составляющая о, скорости фильтрации для этой свободной поверхности.
Когда жидкость покидает поры, нормальная составляющая 6„ скорости движения свободной поверхности может быть определена как Для следующего интервала времени Ы может быть установлено новое положение свободной поверхности и произведено повторное вычисление на основе шаговой схемы решения. Очевидно, что сетка конечных элементов должна выбираться так, чтобы она соответствовала новому положению свободной поверхности на каждом шаге вычислений, Здесь особенно поденны нзоппраметрическне криволинейные конечные элементы, Фкг. 166 Фнльтрадконный поток прн наличии свободной поверхности. Дла каждого момента нремепк натоматнческн устанаалнааетсн сетка элементов н накодктса скорость саободной поаеркноста. Глаза !б эо,э 555 зэ,й е57Р бд М,7 !о с-с 5 /О, УО О О 5ОВ Ю/О 75Р4 РОЗГ 25б ЗОЕВ Фиг !б.7.
о формл свобойюй асюркиости р и коме г «рси в дл задача оиг. гель — — — юллоговое решение, — ров»вес »модо» ксвсчиси еле»виток гйг=[осй Несгаэионарише и динамические задачи Фиг. !б7 (иродолженне). б- измсоекве о срмзиш свсЮКкой ио ерх вити Мшолвк«й лссвости сшмлетрии его ом св ч й бмстрои сиуеке и дкости. — з злотою решевве; о ре «иве м д йр »стром имк з смытое. которые были использованы для решения двумерных и трехмерных задач ]34, 36]. На фиг. 166 и 16.7 иллюстрируется применение изложенного метода к простому примеру дренажа через две симметрично выполненные траншеи и проводится сравнение с аналоговым решением этой задачи [36]. Подобное решение широко применяется на практике и позволяет получить количественные оценки в таких задачах, как быстрый спуск жидкости и т, д. Другие по.
пытки рассмотрения нестацяонарной задачи этого типа перечисляются в работах [37 — 39], 16.7. Заключительные замечания В настоящей главе были кратко рассмотрены некоторые типы иестационарных задач и дано изложение основных методов их решения. Подобным образом могут быть поставлены н решены многочисленные задачи, имеющие важное практическое значение. Решйния, полученные методом конечиыхэлемеитов,обладают некоторыми р орыми преимуществами по сравнению с соответствующими ами. О- решениями, полученными конечно-разностными методами. дйако остаются трудности, связанные с устойчивостью таких решений, хотя неявная схема рекуррентных зависимостей, полученных в равд. 16,3, обычно является достаточно надежной, При решении задач с помощью рекуррентного соотношения, типичная форма которого задана уравнеииеи [16.60], появляется 8$8 Глава Уб Местациоиариые и димами«есхис зада«и необходимость вычисления матриц большого порядка на каждом шаге по времени.
Если шаги по времени одинаковые и матрицы не зависят от времени, то на каждом шаге вычисления применяются одни и те же матрицы. В результате использования частичного обращения время, необходимое для вычисления на последующих шагах, может быть значительно уменьшено по сравнению с временем, затраченным на первом шаге (6). ДаЛЬНЕйШУЮ ЭКОНОМИЮ ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЯ МажНО ПОЛУЧНт|ь уменьшая число пространственных переменных, используя эффективный метод, подобный описанному в гл. )7 (подразд. )7.4.3), или применяя анализ Хэрти (40, 43).
К сожалению, это ие относится к случаю существенно нелинейных задач, таких, как задача о свободной поверхности (равд. 16.6) и другие задачи подобного характера. В гл 16 бу. дет рассмотрено несколько таких нелинейных задач. Специальная задача, относящаяся к этой группе задач, решена недавно в работе (42), где рассматривается уравнение нестационарной теплопроводности с учетом фазового превращения (затвердевания). Подробное обсуждение этой задачи и других задач подобного рода выходит за рамки этой каиги, 33ИТЕРАТУРЛ 1, Сгапдап 5., Епяшеепаб Апа1уяь, МсСгая-НЩ, !956.
2 Сага!ом Н. 5., Уведет 3. Сч Сопдисноп о1 Неа| |п Зонда, 2пд ед., Глагевдоп Ргевя, 1959; есть русский перевод: Карслоу Г., Егер Д., Теплолроводвость твердых тел, нзд-во «Наука», 1964. 3, УЬяег %., А Нп!|е Е1сееп| Мещод 1ог (йе Ое(вал|па!юп Ы Мап 5|ано. пату Теарега|иге ОЬ(НЬиноп апд ТЬегеа| Ре!огеаноп, Ргос.
Сап|. оп Машх Мещ. |и 51гис1. Ме«Ь., Л|г Гогсе |па|. о$ ТесЬпо|аКу, %г|КЫ Ра|- $егьоп А. Г, Вазе, ОЫо, 1965 4. 23елй|емкх О. С., Сзеапн У. К., Тье Г|пне Е|ееещ Мещод |и 5|гисшга| апд Соонпщап Месзапкз, !я! ед., МсСгаи .1ИИ. 1967. 5. %няоп Е 1-, Ьдсйен К. Е., Лрр1|са1юп о1 Нине Е|еееп1 Мещод |о Неа1 Сопдиснаа дна|уз!ь, Мис|еаг Епх. апд Ось!2п, 4, 3 — 11 (1966), 6.
23епыея|сх О. С., Рагекь С 3., Тгапяеп1 Неш РгоЫепгв — Тмо апд Тьгее Оьпепя|опа1 Аль|уз|в Ьу |ворагагле1г|с Гене Е|егпелЬ, Ул$. У. Мив. Ме|Л. !л Елу., 2, 61 — 71 (1970) . 7. ТегхЬая| К., Реей И. В., 5он МесЬап|с* |п Епщпеег|пй Ргас!|се, %псу, 1948. 8 Тодд Р. К«Сгоипд %в|ег Нудго|оду, %31еу, 3959. 9 Лг!ен Р С., Взйгап| А. К., 23епыеы|сх О. С., Аррнсаноп о1 Нине Е!ел~во|в (о !Ье бо!и|юп о( Не!еьо1х'з Ецианоп, Ргос. УЕЕ, !15, 1762 — 1766 (1968), 1О. Тау|ог С., Ращ В. 5., 21епк|еы|ст О С., НагЬоиг Овсшаноп: а Миеег|са! Тгеа1ееп| 1ог Опдагпред Машгь! Модев. Ргос Улз(. СЬ Елу., 43, 14!в 156 (1969). 31. 2|евыечлсх О. С., Мам!оп И.
Е., Соир!ед ШЬганопя |п а ягис1иге 5иЬпи.гКы1 ю а Соаргеяв|Ь|е Г|вд,!п!. 5угпр. оп Нице Е|еаеп( Тесьп|Чаев, 5!ин. наг!, !969. 12 ЛгсЬег 3. 5., Соляз|еп1 Мае Ма(г1х |ог Оайг|ЬЫед Зув1егпв, Ргос. Авег. 5ос. Сго. Елу., 89, 5Т4, 361 (!963). 13 Ьесые Г А., 33лдьегб С. М, Тье Е(Ьс1 о| Скаред Рагаве!егь оп Веае Ггейиепслек ТЛе А его.
С)иаыег|у, 14, 234 (1963) . $4. Ъелй|еы|сь О. С, СЬеиоя У К., Тйе Г|пце Е|еаеп1 Ме|Ьод (ог Апа|уяя о( Е|ав|гс 1ю(гарк апд Ог(ьо1гор|с 5|аЬь, Ргос, Уюг. СЬ. Елу., 28, 473 (1964). 15. 2|епЫемгсх О. С., 1гопь В., Маж В., Ма|ига| Ггсциепс|еь о$ Совр)ех, Ггее ог 5иЬеегдед 5|пгсшгез Ьу (нс Нине Е|егаеп| Мещод, гп 5уврояигп оп ЧгЬганоп |п С|Ы1 Епк|пееггпк, |.опдоп, Арп3 3965 (Винегвог|Ь, 3966). !6. Раме О. 3, А НпИе Е|евеп( АррговсЬ |о Р1а!е ЬИЬганоп РгоЫевя, У. Месь. Еиу.
5сг., 7, 28 (3965). 17. Сиуап Ц. 3, Огь|г|ьи|ед Мае Ма|пх (ог Р|а|е Е!свел|я а Вепд!пд, УАУАА, 3, 567 (3965). есть русский ееревод: Гайав, Матрииа распределенной мас сы элемента ллвстииы лри изгибе, Ракеглав гсхкиха и космонавтика, 3. № 3 (1965) 18. Вахе!еу С. Р, СЬеипк У. К., |гопз В. М, 2|епыек |ох О. С, Тга|пки|аг Е!е- еепЬ гп Р|а|е Вепшпй — Гюп1оге|пя зпд Моп-Соп1опи|пн бо1иноп, Ргое, Соп1 оп Ма|г!х Меж, !п 5|гас!.
МесЬ, Л|г Гагсе |пз1. о1 ТесЬпо|ойу, %пкы Ранегвоп Л Г. Виве, ОЫо, 1965. 39. Апдегьоп И. С, 1гопв В М., |Мепыеыкт О С., Ч|Ьга|юп апд 5|вЬИИу о1 Р1а!ез Ояпд Г|пне Е|ееепв, Улг. У. 5о|Ыз 5|гисг., 4, 1031 — 1055, 1968. 20 Апдегяе К С, ТЬе Арр|каноп о| Ше Мол.Соа(оге(пя Тпапхи1аг Р|а!е Вепд|пд Е|еееп1 1а Р|а(е вМЬганоп РгоЫегпв, М. 5с. ТЬеяя, 1)пы, о( %а. 1еь, бмапвеа, 3966 21. Тцепмем|ся О, С., О!зеив|оп о| «Еагщциайе Вепаыоиг о1 йевячо|г-Ряв 5чв|ееья Ьу Сьорга А. К, Ргсс Авег 5ас Сго.
Елу., 95, ЕМЗ 801 — 803 ($969). 22. 21епк|ем|сх О. С., Меж|оп К Е., Соир|ед тдЬгацопь о1 а ягис|иге 5иЬ|легКед гп а СоаргеьяЫе Г1иы, Ргос !п1. 5уер ап Нпнс Е!евеп! ТесЬпй|иеь, Яиниаг(, 1969. 23. Васк Р. А. А., Сзвзеи А. С., Оипдаг К, 5ечегп Гс Т., Тйе 5е|ье|с ЗЬдУ о| а ОоиЫе Сигча1иге Оае., Рюс, Уляс СЬ Елу., 43, 217 — 248 (1969). 24. 5апдйи И. 5., %паол Е 1., Нине Е|еееп| Апа|уяя о1 Зеераке |п Е|аяИс Межа, Ргас. Ая. 5ос. С|о Елу., 95, ЕМЗ, 641 — 651 (1969) 25. 5ега$!е 3. Ш СЬ. 3 |п: Цосй МесЬап|сь апд Епб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
