Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

На фиг. 15.8 показано установившееся распределение температуры в сосуде высокого давления ядерного реактора (1] при равномерном нагреве изнутри. Гидродинамическое давление иа движущейся поверхности. Если погруженная в жидкость поверхность движется с задан- Глава 15 Фиг. 15.7.

Фильтрапна под плотвиоа в сально неоднородном и искривленном основании. ным ускорением н с малой амплитудой перемещения, то можно показать [12], что избыточное давление удовлетворяет уравнению Лапласа Ч р=О. На движущихся (или неподвижных) границах граничное усло. вне типа «б» [см. (15.3)] врнинмает внд а роет ар (15.27) где р — плотность жидкости н а„— нормальная компонента ускорения границы.

На свободных поверхностях краевое условие записывается как р=б. (15.25) Таким образом, совершенно ясно, что задача принадлежит к ка. тегории аадач, уже рассмотренных в этой главе. В качестве примера рассмотрим движение вертикальной стенки резервуара (фиг. 15.9) н найдем распределение давления на стенке н дне резервуара при произвольном законе движения граничных точек 1 — 7.

Область была разбита на 42 четырех- Фиг. 158. Установившееск распределеаие температур в осесимметриеном со- суде высокого лаелениа. л(а.уаг с О(6 ! 4 1 1 14 21 28 26 4 угптеееиие ье ыемгимьг Фиг. 15,9, Задача о горюовтальиам двимеивн сынки в резервуаре. Задана о стациоиарнык аоллх 332 Глава И =И (15.30) Рт Рн Рп Ргв Рвв (15.29) о о.г р(,на, ОЛ п,в о,в Е Ллстоолт н~о ллы о о Таблица !б,! о 0 0,1743 0,0840 0,3644 0,1744 0,5954 0,2804 0,9292 0,4210 1,5669 0,6489 1,2977 1,1459 О 0,39Я 0,4210 0,7329 1,3203 0,9292 0,8420 0 0 0,3685 0,2466 0,9715 0,5643 02648 1,! 459 0,4210 0,7329 0,3644 0,5954 0,3488 О,Б607 0 0,7249 0,3685 0,2466 0,1963 0,1744 0,1Б80 ка 1) равно я, то 1,0285 О,Б429 0,6793 0,3710 О,ЗБ57 О,!9!8 0,1661 0,0863 0,0699 0,0362 0,029! 00151 0,0259 0,0134 0,5260 0,7548 0,4171 0,5573 0,2519 0,3187 0,3! 96 О, Нги 0,0350 0,0626 0,0213 0,0261 0,0193 0,0232 0,1617 О,! 365 0,0879 0,0431 0,0186 0,0078 0,0069 0,3332 0;2754 0,3731 0,0838 0,0359 0,0150 0,0134 (15.3!) ,О !1,=Н(6) угольных элемента.

Для того чтобы результаты можно было применить для любых ускорений, решены семь задач. В каждой из иих на части границы, примыкающей к рассматриваемой точке, задано единичное ускорение, что дает в точках 1 — 7 нагрузки р'(,Е, Р(.. . РЕ, р'/в(.. Давления з точках 1 — 56 при произвольном профиле ускорений можно представить в виде матрицы, зависящей от ускорений точек 1 — 7. Таким образом, Матрица М имеет вид, показанный в табл, 15.1, 1 2 3 4 б 6 7 !м! = р— Н 34 2 28 36 42 49 56 Следовательно, можно найти давление при любом распределении усхореиий.

Например, если ускорение и постоянно, то давление можно вычислить, принимая Распределение давления на стенке и дне резервуара показано на фиг. 15ЛО. Значения полученных давлений на стенке Фиг, 1Б.!О. Распределение давления на движущейся стенке н днв резервуара отличаются от хорошо известного точного решения Вестергаарда не более чем на 1в(о.

Аналогично можно получить распределение давления при любом другом законе движения стенки. Например. если стенка шарнирно соединена с основанием и совершает колебания вокруг точки занреплення так, что ускорение верхней точки (точ- Распределение давления, полученное с помощью выражения (15.29), показано на фиг, 15.10. у рггу ЗЗ4 Глана Ув Ленво по ьстомт ность лс = [А][Мр] ° = — [Мо] (Ь), Яу (1]р) = (15.33) в=о а РВН При решении задачи о колебаниях очень важно иметь такую матрицу влияния, Если стенка колеблется, то в общем случае се ускорения неизвестны. Используя верхнюю часть матрицы [Щ в соотношении (15.29), которую обозначим через [Мау, давления в точках 1 — 7 можно записать в виде ! рс ~л, =[М]1 =[Ма](б).

(15.32) Этим давлениям соответствуют следующие узловые силы: где [А] — матрица, характеризующая нагрузки, а (Ь] — матрица, определяющая ускорения узловых точек стенки. Это уравнение может быть добавлено к динамическим уравнениям движения стенки. Эта н родственные ей задачи будут подробно рассмотрены в гл. 16. На фиг.

15.!1 показаны рез>льтаты расчета аналогичной трехмерной задачи [4) Использовались простые тетраэдральные элементы. Точность полученных результатов достаточно высока. Задачи алектростатики. На фиг. !5.12 прнвелено решение трехмерного уравнения Лапласа [4]. В данном случае оно моделирует электростатическое поле около изолятора. На фнг.

!5.!3 представлены результаты решения более сложной двумерной задачи о распределении магнитного поля [6], Безвихревое течение жидкости со свободной поверхность!о [13 — 19]. Уравнение Лапласа, овисывающее течение вязкой жидкости в задачах фильтрации, снраведливо также для безиихревого течения жидкости за пределами пограничного слоя, обус. ловленного вязкостью. Приведенные ранее примеры применения метода можно использовать н для иллюстрации таких задач.

Другие примеры рассмотрены в работе Мартина [14). Заслужи. вают внимания задачи о течении жидкости с априори неизвестной свободной поверхностью. Для этого класса задач типичны два примера — задача о струйном водосливе (фиг. 15.14, а) н задача о фильтрации через земляную плотину (фиг. 15.14,б). В обоих случаях свободная граница представляет собой линию тока; она априори неизвест«а н должна быть определена таким образом, чтобы на ней удовлетворялось некоторое дополнительное условие, Если, на. Фну. 15.!!.

Давление пе ускорявшейся паверлпоств перемычкн в яесжнывемом потоке. — реыснне, валуне ае нюодам «онст т лсмснтов; — — — решенно, ллрдевюе с всвольсо лмм» т тр нтнюслол вимм, рс-нлвмтовюе дь пенне; н' -от есвтельное уснаренле; р — Нлотнасте, Глоео гд фиг. 1йнз.

Поле иегиите (по Виислсу [З)1 ь Фаг. !5.12. Трехиернсе распрелеление электростатического потенциала около фарфорового изоляторе. пример, вторая задача сформулирована через потенциал [т, то определяющим является уравнение (15.25). Так квк свободная граница представляет собой линию тока, то на ней должно выполняться условие — =О. дН дл (15.34) Кроме того, поскольку эта граница связана с атмосферой, дав- ление ии ией должно быть равно нулю, Так как (15.35) где у — удельный пес жидкости, р — давление н у — расстояние от некоторого горизонтального уровня, на свободной поверхно.

сти должно выполняться условие Фнг. 15.14 Типичные злдечи со сеойолной гренпцей (линией тока, ил которой давление равно нулю). И- струйный ьонсслив; О-фильтрации через ььилииую лготииу. (15 36) ззй Глава /5 Зодасн о сгозионлрныл полях Решение задачи можно получить итерационным методом. Полагая свободную поверхность известной, решаем стационарную задачу. Далее прогшводим проверку, удовлетвориется ли условие (15.36), н если нет, то из условия равенства Н только что найденному значению у находим новую поверхность. Несколько таких итераций показывают, что сходимость достаточно быстрая.

Этот метод использовался Тэйлором н Брауном [19[. Другой возможный метод решения описан в гл, ! б. Задачи теории смазки. Расчет вкладыша подшипника сво. днтся к решению двумерной задачи, которая описывается уравнением Пуассона. В случае, когда плотность н вязкость смазочного вещества постоянны, должно быть решено уравне. ние Рейнольдса [20[ !гй д )+ д (Ь д )=бр)г д, (15.37) где 6 — толщина пленки, Р— возникающее давление, и — вязкость и )г — скорость движения вкладыша в направлении х. На фнг.

15.15 показано распределение давления во вклады- х я = гамм гл,лм Фнг !5.!5. Вкладыш с уступом. Распределение давления. Лнввя уровней рд[гарИ. ше ступенчатого подшипника [2![. В качестве краевого условия используется условие равенства давления нулю. Интересно заметить, что благодаря наличию уступа вкладыша при интегрировании правой части уравнения (!5.37) появляется условна эквивалентная нагрузка, распределенная по липш1, Ясно, что можно рассмотреть и более общие случаи задач о смазке с учетом нертнкального движения вкладыша (увлотнение пленки) и сжимаемостн. Этому вопросу посвящено много недавно опубликованных работ[22 — 24[.

Число различных задач, относящихся к рассмотренному классу, настолько велико, что рассмотреть нх все практически невозможно. 15.6. Задачи, описываемые бигармоиическим уравнением. Вязкое течение До снх пор прн решении квазнгармоннческих задач минимизируемый функционал рассматривался как формальное математическое выражение, и не делалось никаких попыток определить его физический смысл. В частном случае вязкого течения жидкости в пористой среде нетрудно установить, что он нредставляет собой скорость днсснпации энергии. Распределение скоростей, получаемое в результате решения, минимизирует эту диссипацию, как н следует ожидать из универсального принципа минимума действия.

Для задач о фильтрации эта интерпретация была установлена Зенкевнчем н др.[3). Принцип минимума энергии днсснпации известен в механике жидкости с конца прошлого века, и поэтому интересно рассмотреть его применение к решению задач о вязком течении. В гл. 3 в качестве примера применения метода взвешенных невязок рассматривалось уравнение Навье — Стокса без инерционных членов, Это уравнение справедливо дли медленного течения жидкости.

Характеристики

Список файлов книги