Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Несмотря на то что эти различные по характеру задачи обычно принято рассматривать раздельно, классифицируя их иногда по математической структуре как параболические или гиперболические [!], мы объединим их в один класс, чтобы показать тождественность постановки задач. В первой части этой главы на основе простого обобщения методов, использованных ранее, мы запишем матричные дифференциальные уравнения, характеризующие указанные задачи, для различных физических ситуаций.
При этом конечно-элементная дискретизация будет использована лишь для пространственных переменных. Далее будут рассмотрены различные методы решения, показывающие возможность непосредственного включения временного измерения в конечно-элементную дискретизацию. !6.2. Непосредственная дискретизация нестацнанарных задач !6.2.!. Квазигармоническое уравнение для нестационарных задач Во многих физических задачах квазигармоническое уравнение, подробно рассмотренное в предыдущей главе, содержит производные от неизвестной функции ф по времени. Д.гя трек- Все коэффициенты этого уравнения, вообще говоря, являются заданными функцицми времени: й„=й»(!), !4=Я(!) и т. д.
В некоторый фиксированный момент времени производные от ф по времени и все коэффициенты могут рассматриваться как заданные функции координат. Дчя этого момента задача совершенно аналогична рассмотренной в предыдущей главе (равд. 15.2) при условии, что выражение в последней скобке уравнения (16.!) трактуется как величина О уравнения (15.!). Конечно-элементная дискретизация этого уравнения для пространственных переменных уже подробно обсуждалась, и при заданной для каждого элемента величине ф= [А!(х, у, з)] (ф) (16.2) была получена обычная форма определяющего уравнения: [уу] (ф) + (Р) = 6. (16.3) Вклад каждого элемента в приведенные выше матрицы определяется соотношениями (15.12) и (15.13), которые здесь не приводятся, за исключением слагаемого «нагрузки», обуслов.
ленного величиной 9. Уравнение (! 5.13) дает Р[ ~ ЦА! д)/ (Р)о ~ у[У]гдГ г' У' Заменяя теперь Я последним слагаемым в уравнении (16.1)', получаем (Р)'= — ][Аг]г((]- з — р Зе)д)'. (!6,4) ив Однако из уравнения (!6.2) видно, что ф аппроксимируется с помощью узловых параметров (ф]о. Подстановка этой аппрокси. Глава тб Неагаэаонарныв и балаинчаанна валата мацин дает (р)к ~ [у]г()д)г ! [~ ~ [у]г [у]д)г) б [ф)а [ и' кк' +(~ [У]гр[У]д ) —,",. (ф)'. (16.5) 'к тв Записывая (16.3) в окончательной форме определяющих уравнений, получаем следующее матричное дифференциальное уравнение: [Н](ф) +[С] — бг (ф) + [а! — бгв (ф)+ [р) =О, (16.6) в котором все матрицы составляются по стандартноыу правилу из подматриц [Пг и (Р)' для каждого элемента, заданных соот- ношениями (16.12) н (!6.13), н с,' = ~ УшУгдУ, (16.7) д[,= ~ У~рУгдУ.
, ° (16.8) Как видно нз приведенных выше соотношений, этн матрицы симметричны. Граничные условия задаются в каждый момент времени, так же как в предыдущей главе. Физических задач, описываемых урапненнем (16.1), настолько много, что подробное нх обсуждение невозможно в рамках этой книги. Здесь будет приведено тольно несколько типичных примеров. Прн р = О уравнение (16.1) является обычным уравнением нестацнонарной теплопроводностн [1, 2], которое было рассмотрено некоторымн авторамн с позиций конечных элементов [3 †]. Это же уравнение описывает н другие фнзнчеснне явления, например консолидацию грунта, связанную с разновидностями не- стационарной фильтрации[81 При р = 0 уравнение (16.1) превращается в известное волновое уравнение, описывающее обширную область физических явлений.
Электромагнитные волны [9), поверхностные волны в жидкости [10] н волны расширения — сжатия [11] представляют собой лишь несколько явлений, к которым был применен метод конечных элементов. При р Ф 0 и р Ф 0 уравнение (16.1), будучи волновым уран.
пением с демпфнрованием, обладает широкой областью приме. нимостн и имеет важное значение для некоторых волновых яв- лений в механике жидкости и газа. 1б.2.2. Динамическое поведение упругих конструкций с линей. ным демпфировпнием ') В предыдупгем раздече была рассмотрена чисто математическая задача; рассуждение подобного рода может быть непосредственно применено к широкому классу задач о динамическом поведении упругих конструнций в точном соответствии с общнмн положениями гл. 2. Перемещения упругого тела во времени обусловлены иалн.
чнем двух систем дополнительных снл. Первую нз ннх составляют силы инерции, которые характеризуют ускорение дфдр(]) и, согласно хорошо известному принципу Даламбера, могут быть заменены нх статическим эквивалентом бр ()' бв (16.9) (Здесь (11 является обобщенным перемещением, определенным в гл. 2.) Эти силы совпадают по направлению с перемещениями (1) н обычно отнесены к единице объема, а р — масса единицы объема.
Вторая система сил обусловлена сопротивлением движению (силы трения). Этн силы могут быть вызваны перемещением микроструктуры, сопротивлением воздуха н т, дл в общем случае онн связаны нелинейной зависимостью со скоростью перемещения д/д([[). Однако для простоты изложения будет учтено только линей. ное сопротивление вязкого типа, которое статически эквнва.
лентно силе, отнесенной к единице объема — р — бг ([). (!6.10) Здесь и — некоторый коэффициент. Эквивалентная статнческаи задача в. каждый момент вре. мены дискретизнруется теперь в соответствии с изложенным в гл. 2, причем распределенная сила [р) заменяется эквивалентом б а (Р) -Р-3)г([) - и б, ([). (16.11) '1 Дли простоты ыы рвссмотриы толька эффекты раалрвбаланныл сил инердин н деыпфираввнии; сосредоточеииыв массовые и демпфирующив снлы получаются предельным пврвходои.
Глче«тб (16.12) [тл ]г ~ [У,]г,[У ]лу ч г Матрица [яггг] известив как матрица масс элемента, а матрица ансамбля [М] — как матрица масс системы. Интересно заметить, что в ранних попытках исследования динамических задач такого типа масса элементов обычно предполагалась произвольно сконцентрированной в узлах, что при. водило всегда к диагональной матрице, даже если не существовало сосредоточенных масс.
Тот факт, что подобяая процедура в действительности не нужна и приводит к плохой аппроксимации, был установлен в 1963 г. Арчером [! 2] и независимо от него Ленки и Линдбергом [13]. Общее выражение (16.15) получено Зеикевичем и Ченгом [14]. Для матрицы распределенных масс элемента был введен термин «согласованная матрица масс»; зта матрица является единственно допустимой матрицей, используемой при расчете. (16.15) Узловые силы элемента, заданные уравнением (2.11), принимают теперь вид (Р)г= — ~ [У]'(Р)б =(Р)', + ~ №Р — „, ([) Л'+ в ,г + ~ [У]'р д, ([) т((г тг Здесь первый член совпадает с силой, обусловленной внешней распределенной нагрузкой (см.
гл. 2), и поэтому не будет далее рассматриваться. Аппроксимация перемещений дается соотношением (2.1): ([] = [У](б)'. Подставив выражение (!6.12) в общее урзвнеиие равновесия, окончательно получим следующее матричное дифференциальное уравнение; [К](Ь) + [С] щ (Ь) + [М] — др (б) +(Р) =О, (16.13) где [К] и (Р] — матрицы жесткости и сил ансамбля, полученные обычным суммированием коэффициентов жесткости и сил элементов, вызванных заданными внешними нагрузками, начальными напряжениями и т. д, Новые матрицы [С] и [М] составляются по обычному правилу из подматриц элементов, задаваемых в виде [сц]' ~ [Уг]т р [Уг] г(Р (16 14) ,г Неге«Ч«ачарныв и динамические ч«дачи Матрицы [Сгт] и [С] по аналогии могут быть названы содлаговаяяыми матрицами делтфироэаиия.
Следует отметить, что иногда для описания сил инерции нужно использовать функции формы, отличные от функций, задающих перемещения (]). Например, в задачах о пластинах н балках (гл. 10) полное деформированное состояние было задано с помощью только поперечного перемещения ш, так как были введены дополнительные гипотезы об изгибе пластины. Однако при учете сил,инерции следует рассматривать не только силу инерции поперечного перемещения дгы р др (где р представляет собой массу, отнесенную к единице площади пластины), но и моменты сил инерции типа и т.
д. Теперь яеремеи(ение (]] необходимо записать в более общем виде; ды д дч дб где [У] непосредственно следует из определения матрицы (У], которая задается только компонентой ш. Соотношения, подобные уравнению (15.!4), по-прежнему справедливы, если только заменить [У] на [лг] и подставить вместо р матрицу р 0 0- ртг 0 0 !в Однако подобный подход применяется редко. !б.2.8. Матрицы масс и демпфирования некоторых типичных элементов Представить в явном виде все матрицы масс различных элементов, исследованных в предыдущих главах, практически невозможно, и здесь будут рассмотрены лишь некоторые частные примеры.
Глава гб 1 0:О 0:[О 0 0![='О 0!'О 0 !Лс! = [1Лс! ей!/ Ый] =~' '1 где О О!1 О!О О О 0[0 1[0 О з аг (16.20) а +Ьв+сб 2Ь О 0:.О О!1 0 0 0'0 0,:0 1 н т. д., [сл] р! ~~[Л!]г[Лс),(хл [гл„)' = р! [1) ~ ~ Лсейг: ссх с(у. (16.16) (16.17) (16.18) Таким образом, при получаем матрицу масс ! ! ! ! ! — О! — 0:; — 0 2!4)4 0 †!Π†!О ! 1:: ! 214.:4 )е е э (16.!9) Плоское напряженное состояние и плоская деформацяя. При использовании треугольных элементов, описанных в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
