Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Т записать и . ак, если то получим матрицу производных, аналогичную ма иц жений (2.!7) гл.2. ри е напря. Ясно, что Вычисление этих градиентов часто имеет опрелеленный л и. ческий смысл, так ак как в некоторых задачах они характерйзуют скорости потока.
Поскольку в функционал входят лишь первые производные от ф, то при выборе функций формы требуется удовлетворить только условиям непрерывности функции ф. Кроме того, л ункво нйе ц ф рмы должны быть такими, чтобы любые пе вые д принимали внутри элемента постоянные значения прн соответствующем задании узловых величин (7)а. Поэтому при решении практических задач можно испольэовать " н , р мотренные в гл. 7, и соответствующие элементы. Кроме того, можно применять все криволинейные элементы, рассмотренные в гл. 8. 15.3,3. Неоднородность и пннзотропия Интересно отметить, что в минимизируемый функционал не входят производные от коэффициентов теплопроводнос ,).
оэтому приведенные выше соотношения в равной ти степени сп в справедливы и для постоянных и для переменных коэф !! Зах, мз Глава !З Задала о пояионарнмх полях а минимизируемый функционал а, + Ьтх+ е,р А!! = ял (11 (Й)ч = — — ~1). е Яч 3 1 (15.22) 11 ° фициентое. Они могут скачкообразно изменяться от элемента к элементу илн даже принимать различные значения внутри элемента, причем это изменение должно учитыазться в процессе интегрирования при вычаслении матриц элемента. Однако для анизотрапного материала дифференциальное уравнение (15.1) справедливо только в том случае, если оси х, у и г совпадают с главными направлениями аннзотропии. Фиг.
!К!. Анизотропныа материал. Локальные координаты совпадают е глав- иымн нвпрввленнями слоев. При решении задачи длн слоистого материала моткет возникнуть ситуация, когда это условие не будет выполняться (фиг. 15.1). В таких случаях характеристики элемента следует записывать в локальных координатах х', у' и г', а вычислитель. ная программа должна давать возможность осуществлять не.
обходимые преобразования. При этом возникает одно важное отличие от расчета конструкций. Поскольку такие матрицы элемента, как, например, (ЬГ в (15.!2), связывают скалярные величины, они не зависят от ориентации локальных осей. Поэтому длв каждого элемента при желании можно использовать свою локальную систему, причем это не потребует матричных преобразований и не повлияет на стандартную процедуру составления ансамбля, 15.3.4. Двумерная задача Нетрудно записать частный вид общего уравнения (15.8) для двумерных задач, если предположить, что р не зависит от г. В этом случае уравнение принимает вид лх (й» ах ) + з (Ьа ! ) + !ь! = О, (15.18) К= Я )Ь" Я) +Ь ~ ) ) ыр1'Ь~и+ + ~ (др+ — афв) 05.
(15.19) Получить все матрицы элемента довольно легко. Например, из (15.12) находятся элементы матрицы (6): Обсуждать этот вопрос дальше, очевидно, нет необходимости. Однако, по-видимому, имеет смысл рассмотреть подробнее са- мый простой, но тем не менее очень полезный треугольный эле- мент (фиг. 15.2). Если принять как в соотношении (4.8) гл. 4, то получим матрицу жесткости в виде ч л Ь|Ь; Ь|Ь! Ь!Ь,„ о,с~ с~с! стою 1 Ь,Ь, Ь,Ь + — сто! с!с Симметрично ЬмЬ,„-( 1- Симыетричио о„,о,„ (15.2!) Также просто строятся н матрицы нагрузки; например, дая О читатель может получить очень простой (почти очевидный) ре- зультат а24 Глава !б 15.4.
Примеры. Оценка точности Фнг. !БД Кручение наза прямоугольного сечения. пасла а слсбвал-нолсс точно р мсввс сат асл а пзв нсвоаьвовввнв саган гзм!е ганы чснаа велнчвнм Егвзаб Фнг. зб2. Рззбненне двумерной области нв треугольные алементы. Уравнение (!5.8) можно записать в цнлиндрическнх координатах и использовать для решения осесимметричных задач. В этом случае дифференциальное уравнение принимает внд (йгг б )+ а ),й,г э )+гас=0.
(15.23) Соответствующим образом должен быть преобразован и функционал, но проще считать величины й,г и й,г модифицированными значениями коэффициентов теплопроводности и непосредственно использовать приведенные выше выражения. При этом интегрирование лучше всего производить численно, как в аналогичных задачах гл. 5. Легко показать, что уравнения, полученные з результате объединения выраженных в паном виде жесткостей треугольных элементов для регулярных сеток (фиг. 15.3,а), совпадают с уравнениями, полученными известнымн конечно-разностными методами (10)г Очевидно, что и решения, полученные этими ме- ! Х Фяг. !Б.З. Образцы регулярного н нерегуляраого рвзбнеянй. ззв Глава Ш годами, будут одинаковыми и иметь одинаковую степень точ. ности ').
Если используется нерегулярная сетка, изображенная на фиг. 15.3, б, то различие между двумя подходами очевидно. Оно касается в основном вектора нагр>зки Я'. При конечно-элементнбй аппроксимации значения узловых нагрузок несколько отличаются от нагрузок при конечно-разностной аппроксимации, но суммарные значения их одинаковы.
Поэтому решения, полученные этими двумя методами, будут иметь только локальные отличия, а в среднем они будут одинаковы. Нз фиг. 15.4 решение, полученное методом конечных элементов при нерегулярной сетке, сравнивается с решением конечно-разностиых уравнений наименьшего порядка аппроксимации методом релаксации. Как н следовало ожидать, оба решения дают результаты одного порядка точности. У читателя, вероятно, может возникнуть вопрос: зачем нужно было вводить другой метод, который, казв.
тось бы, повторяет результаты известного и хорошо зарекомендовавшего себя метода? Причина кроется в том, что новый метод обладает рядом несомненных преимуществ. К ним относятся: а) простота исследоваяия неоднородных и аннзотропных тел (в частности, когда направление анизотропии переменное); б) возможность использования элементов различной формы и размеров для аппроксимации произвольных гранац и для исследования областей сильного изменения неизвестных функций; в) граничные условия для градиента (условия излучения) вводятся естественным образом и с большей точностью, чем в обычных конечно-разностных методах; г) точность решения можно увеличивать за счет использования элементов более высоких порядков без усложнения граничных условий, чего нельзя добиться при использовании конечно-разностной аппроксимации более высокого порядка; д) последнее, но очень важное при широком расяространенни ЭВ~И преимущество состоит в том, что для составления ансамбля и решения систем уравнений можно использовать стандартные (предназначенные для расчета конструкций) программы.
Для демонстрации достижиыой на практике точности приводятся два более сложных примера. Первый из них — это задача о чистом кручении неоднородного стержня (фиг. !5.5). Основное дифференциальное уравнение имеет вид г г т и о т Р Ф о 3 В 3 ьс з тча в )+в гчо ад)+26=0, (1524) ') В случае, когда на границе заданы значения неизвестной (гунмпш. Злдачи а ггаяиоларнык поляк ыы ы о, ы о а ма н н ыы о ы ы и 3 н о. 6» о* н ы и он ир и л о о ы о т н о.
и ы ы о 3 где р — функция напряжений, 6 — модуль сдвига и  — утоп закручивания на единицу длины стержня. При решении методом конечных элементов внутренняя полость заменялась материалом с модулем б, на трн ворядка меньшим модулей материалов стержня'). Эти результаты хорошо согласуются с точным решением методом конечных раз.
ностей(1!]. Нз фиг. 15.6 приведен пример расчета задачи о фильтрации жидкости через анизотропное пористое основание. Уравнение, описывающее эту задачу, имеет вид где йк и йа — коэффициенты проницаемости в направлении главных (наклонных к границе основания) осей. Результаты сравниваются с результатами точного решения, показанными пунктирными линиями. На этом примере особенно наглядно видна возможность использования элементов разных размеров.
15.57 Некоторые практические задачи Аннзотропная фильтрация. Первая задача связана с нсследованнем течения жидкости через сильно неоднородные анизотропные искривленные слои грунта. Основное уравнение опять имеет вид (!5.25). Однако программу следует модифицировать с тем, чтобы получить возможность изменять направление главных осей х' и д' при переходе от элемента к элементу. Никаких трудностей при решении не встречается.
Расчетная схема и некоторые результаты приведены на фиг. 15.7 Осесимметричный тепловой поток. Уравнение для осесимметричного теплового потока можно записать в стандартной форме — (гй — )+ — (гй — ) =О, (! 5.26) ') Это было сделано, чтобы избежать трудностей, еознннаюшил нз-за миогоснязиосги области, н тем самым получить еозможность использовать стандартную программу. если отсутствует теплообразование. Здесь Т вЂ” температура, а й — коэффициент теплопроводности. Координаты х и у заменены на координаты в радиальном и осевом направлениях гни.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
