Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В этих выражениях бГ[ и т. д.— Фнг. !31 Сведение задачи о арнэиэтнческои брусе к набору двумерных конечно-элементныл задач. (скалярные) функции формы, соответствующие используемому элементу. Если. как показано на фиг. 13.1, применяются тре. угольники,тофункцииформы задаются соотношением (4.8) гл.4. Однако могут использоваться также более точные элементы, описанные в гл..у (с использовависм преобразований гл. 6 илн без них).
Разложение (13.13) обеспечивает равенство нулю перемещений и и о и осевых напряжений на концах бруса. Нагрузку тоже можно представить в виде рядов Фурье, тогда для компонент в плоскости л, у имеем (р) =(р) ып —. (13. 14) Если задача существенно трехмерная, то выражение для деформации должно содержать все шесть компонент. Такое выраже- Полуаналитачсскад метод колечиэск элементов ние приведено в гл.
6 [см, соотношения (6.9) — (6.11)). После подстановки функции формы (13.13) для типичного члена матрицы [В[ получим где у = !ля/и. Удобна представить это' выражение в виде суммы [В1 — [В1мп +[Вт1соз . (13.16) Во всех приведенных соотношениях полагалось, что параметры располагаются в обычном порядке: а оси координат направлены, как показано на фиг. 13.1. Матрица жесткости вычисляется обычным образом, если принять во внимание, что Ь!гХ= ~ ~ ~ГВт1" [В[[Вэ1длдуВа.
(13.18) Это соотношение после подстановки в него выражения (13.16), перемножения и использования (13.12) принимает вид [йт[7= — ' ~ ~ КВТ[ВЯВтт1+ Ы1'[П[[В3длау, (!3.19) л' где ! = 1, 2..... Интегрирование теперь производится по площади элемента '). Члены, обусловленные распределенной нагрузкой, на'! Следует отметить, что теперь даже в смучве вростото треугольннив интегрирование иетрнвнвльно, тэе нвк в (8) влолет некоторые лннсаные членЫ.
Г!иэо 1З Р'„, ! Ри, 51п — г(г = [Р ) —, а 2' ! Ры (13.20) чальными напряжениями и т. д., имеют вид (13.14). Сосредото- ченные вдоль линий нагрузКи представляются непосредственно в виде узловых сил где (г) — интенсивности на единицу длины. Граничные условия, которым удовлетворя!от использованные выражения, соответствуют условиям свободного опмрання бру. фнг. !З.й Сведение расчета коробчатого моста к двумерной задаче с нсполь. эовапнем нэопараметрнческнх элементов второго порядка. са. С помощью аналогичных разложений можно удовлетворять другим граничным условиям.
Рассмотренный метод может быть применен ко многим практическим задачам, в частности к расчету бетонного моста, воказанного на фиг. !3.2. Здесь особенно удобны криволинейные элементы снрендипова семейства второго или третьего порядка, описанные в гл. 7 и 8. Отметвм, что удвоение числа параметров и запись рядов в виде двух сумм с с ([) =- ~ М(х, у) соэ — ' — (б") + 2 М (к у) зш — (б"') (!3.21) 1 ! 1 ! 7)олуилллигический метод конечлыл элемеюоэ 281 позволяют устранить некоторые ограничения на функции формы, определенные выражениями (13.!) или (13.13). Параметры (б"') н (бн') являются независимыми, и для каждой компоненты перемещений необходимо определять два значения и составлять два уравнения.
Другой вариант описанного выше приема состоит в представлении функции в виде ([) =,» [М (х, у) е! !'"-"!! (б') ', где [М[ н (б) являются комплексными величинами. Тождественность этого выражения выражению (13.21) легко устанавливается, если учесть, что еа = соз 8 + ! з)п 8. Для оперирования с комплексными величинами имеются стандартные программы. 13.3, Коробчатая конструкция В предыдущем разделе трехмерная задача сводилась к двумерной. Здесь же показано, что аналогичная задача может быть решена с использованием одномерных элементов (фнг.
13.3). фаг !З.з Расчет «мембранной» коробчатой конструкинн с помощэго одно- мерных элементов. Коробчатая конструкция выполнена из тонких листов, способных воспринимать нагрузку только в своей плоскости. Как и в предыдущем случае, в каждой точке необходимо рассматривать три перемещения, для каждого из которых можно задать одинаковый закон изменения.
Однако типичный элемент !) является одномерным в том смысле, что интегрирование надо производить только вдоль линии !1 и напряжения учитываются 264 глаза гз Е= 2, Я~соя(В, ди дг (13.24) до д е, Т=Ет"! 10 1 и ! дв — + —— к г да ео угз (13.26) (е) = ди до — +— дз дг Угз 1 ди дв в — — + — —— г да дг г 1 до дв — — +— г да дз В этом случае, кроме радиального (и) и осевого (о) перемещений (как в гл. 5), следует рассматривать и тангенциальную компоненту ш, соответствующую направлению угла 0 (фиг. 13.5). Именно в этом направлении геометрия н свойства материала постоянны, поэтому его следует исключить. В целях упрощения рассмотрим отдельно симметричные н антиснмметричиые относительно осн 0 =0 компоненты нагрузки. Используя только выражения для узловых сил (выражения Фнг. 16,6. Ссесзмметрзчггое тело. Координаты н зеремещеннн. для объемных сил, краевых условий, начальных деформаций и т.
д. аналогичны), запишем силы на единицу длины по окружности (фиг.!3.6,а) в виде )т = ~. )тг' соэ(0, по осям координат для симметричной нагрузки. Для Т используется несимметричное разложение по синусам, чтобы сохранить в направлении Т симметрию при В м и. Компоненты перемещений снова описываются двумерными (ггг) функциями формы, соответствующими используемому типу элемента; вследствие симметрии они имеют аналогичный Лолуана гитическид ме~од конечном злгмгнтоз фнг. 16.6. симметричные (а) з знтнсзмметрнчные (б) комзоненты зеремеще- ннй н нагрузок з осеснмметрнчном тете. выражению (13.13) вид и' = [М[, йгз, ...[ сон 10 (и )', о'=[У(, бган, ...[соз10 (о')', (13.25) в'=[йг[, йгз, ...[э!п10 (го )'.
В дальнейшем необходимо использовать общее выражение деформации в цилиндрических координатах для трехмерного случая (см.[5)) 286 Глава !д дмс' — 83 дг 0 ВМ вЂ” 18 дл мг — сов ТВ г 1У; — с сов 18 Г (в~) = (13.27) дсч, — сов!8 д" дЦ вЂ” 83 дГ Г ( „— ", )81п18 1М'с — — 51П 18 Г 1РГГ' — — з1п18 г дл,' — з1п РВ ди ,„( )(' ПО (.,~=~ ~~-, ....,.=.
~ Т' з!из 18 )7 г а' при 1=1, 2„. Т (13.28) ~АГГ1 =2я[ Хс ~ при 1=0 [0~ зв узо Х (в) =- [гг~) =и 2~ Хв (13.29) Т (13.30) Как и прежде, матрицу жесткости и другие величины можно вычислить для каждой гармоники в отдельности, Подставляя формулы (13.25) в (13.26) н группируя переменные, как это сделано в (13.17), получаем Остальные соотношения выводятся обычным путем, н читатель может получить их в качестве упражнения.
Для антиснмметричного нагружения, показанного на фнг. 136,б, в соотношениях (1324) и (1325) просто заменим снн с на косинус и наоборот. еличнны усилий для каждой гармоники получим из выражения для виртуальной работы. Для симметричного случая Аналогично для антнсимметричного случая 01 1 при 1 1, 2, ..., =1 О 1 при 1=0. 1Т! Отсюда н из выражения для [йг видно, что при 1= 0, как н ожидалось, задача сводится к двумерной, а прн симметричном нагружении становится, кроме того, н осеснмметричной.
При антнсимметричной нагрузке, когда 1= О, остается только одна система уравнений относительно переменной ю. Это Полуаяалитичесииб метод иолсчиью зли.ииигов соответствует действию постоянных таигенциальных усилий и эквивалентно задаче о кручении валов (фиг. 13.7). Последняя решается классическими методами с использованием функции напряжений [6] н для сравнения была исследована методом конечных элементов [7]. Рассмотренный здесь подход более естествен. К расчету осесимметричных тел изложенный подход впервые был применен Вильсоном [8).
Фнг. 18.7. Кручинна стержня переменного саченвя. На фнг. 13.8а и 13.8б приведен простой пример, иллюстрирующий влияние различаых гармоник. 13.6. Осесимметричиые оболочки при несимметричном иагружеиии С помощью описанного подхода изложенный в гл.
12 метод расчета осесимметричных оболочек легко распространить на случай несимметричного нагружения. Однако теперь следует честь трн компоненты перемещений н усилий (фиг. 13.9). удем рассматривать три мембранные н трн нзгибные кампо. ненты н, обобщая формулу (12.1), определим деформацию как [9] ') ди а 1 до 1 — — +(ш сов ф+ из!и ф)— 1 ди до . ! — — + — — асбп ф— г дВ дз д'ис дзз ! д'и до саз а мид дм + г' дзл дз Ги Г дз 1 д'ш з!па дш саид до ыпдсазд 2! — — — + — — + — — — —, о) Г дз ОВ Гз дз Г дз ') Па причине существования мвожвствз творнз оболочек можно неволь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
