Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 36
Текст из файла (страница 36)
ределсчня жесгкосгн, Ракетная техника и касмакаегиха, 1, № 1О, сгр. 129- 136 (1963) 2 Рароч Е. !'., Реп«|ел /., (м 2. А., Р!пце Е1егпсп| 5о1иноп 1аг Ах|-Бувве|- пс Бье!1«, Ргог. АБСЕ, ЕМ, П9 — 145 (1964). 3 Запев Н. Е., 51гове О. и., О|тес| БИ!!пезз Ме|Ьод о1 Апа!уэн о1 5ье|Ы о| Неча!»иоп чи!Из|ля Сигчед Е!евеп(а. /А!АА, 4, Щ|9 — !о26 (1966); есть русский перевод: Джонс, Сгроуы, Расчет оболочек вращения нряиыи метадон жесткостей с помощью криволинейных зтеыенгов, Ракетная чеклаки и космонавтика, 4, № 9, сгр. 20 (1966) 4 Регсу /.
Н., Р!ап Т. Н Н., К|с|а Б., На»ага(па О. К., Аррнсабоп о| Ма|. г|х ОМР1асепэеп| Мейод 1о Ыпеаг Е|аз1ю Лпа!уз!з Ы БЬе!1з о1 Неча|анап, 1) Очевидно, чга можне было бы включить эту новую функцию фарии в общее выражение, «аракгерпэуюшее форму элемента, но практически это не дала бы болыпих преимуществ, так как кубнчяый закан пгыволяег достаточно точно воспронэвесгн любую реальную форму. /А/АА 3 2138 †21 (!965); есть русский переводг Перев, Пная, Клейн, Наварагна, Првлаженве матричного метода к лвнейноиу упруюиу анализу оболочек вращения, Рахггнал техника и когмокаегика, 3, № 11, сгр.
199 †2 (1965) 5. К!е!и 5., А Ясду о| Ве Ма1г!х Ожр!зсевеп1 Л1ейадз аз Аррнед 1о Я«сиз о1 Нечо|ииоп, Ргас. Сап|. оп Магг|к Мейад в Ягис|ига| МесЬ., А|г Рагсе 1иэ|. о| Тесин., Югибы Ранегюп А Р. Вазе, ОЫа, Ос|. 1965. 6. /опез Н. Е., 51гогпе О, Н, А 5»гчеу о1 дна|ужа о! БЬенз Ьу йе О)эр)асевеп( Мейод, Ргои Сап|, оп Ма!г|х Мейодь щ Ягисйга! Месь., А!г Рогсе |пз!. о1 ТесЬп., Юпи№ Раиегзоп А. Р. Вазе, ОЫо, Ос|. 1965. 7. Б|пс!«|в /., Кача«а|па О. Н., Р'.ап Т. Н. Н, 1вргачевеп(з !и йе Апа1уыв о| Бье|Ы о| Не»они|оп Ьу Ма|пх О!эр1асевеп( Мейод (Сигчед Е|евепй), А!АА !л!., 4, 2069 — 2072 (1966); есть русский перевод; Стрвклин, Наварагна, Пнан, Усовершенствование расчета оболочек вращения ыагрячныи ыегодои переиещений, Рахсглсл ге«лика и космонавтика,4, № 1!.
стр. 252— 254 (1966). 8. Кьо)аз(ей-Ваиы М, Лпа!уыз о| Е|авис-Р|азнс БЬепз о| йечо|иноп !/идет Ах|.5»папе|по ! оад|пН Ьу йе Явие Е!егпеп| Мейод, Оер|. С|ч, Епя. Ип(ч. а| Са|погп|а, БЕ БА 67 — 66 1967. 9. Ос|рай и., А«55)мгле(пс чИЬгаиоп о1 5Ьеиэ о1 Нечайн|ап Ьу Ве Мине Е!сгпеп! Мейод, М 5с. ТЬежэ, Оп(ч.
о| Юа!ез, Б» апзеа, 1967, 10. О!аппв| Л!., Миеэ О. А, А Сиг~ед Е|евеп1 Арргох!ванов !п йе Апа1уэ!э о1 АхЬБупнпе1пс ТЫп Бьеиз, !и| /. Миги, Л1ей. ги Блл., 2, 459 — 476 (1970). 11. ЮеЬь(ег /. /., Ргее ТВЬга!юи а| яэеиз о| Неча|анап Из(пе Н(па Е|епгепьь /л/. / Месй, Бег., 9, 559 (1967). 12. Новожилов В. В, Теория говкнх оболочен, Сулироыгиз, 1951. 13 Паидег Ю. Е„Яг!сю|п /. А., Н!Н!д Воду Оыр!асевеп|э о! Сигчед Е1евепй |и йе Апа1умз о| Бйеиз Ьу 1Ье Ма|г1х ОМР1асегпеп| Ме1Ьод, /А/АА, 5, !525 †!527 (1967); есть русский перевал Хейслер, Сгрнклнн, Переие. щения недефаринруеиых крнволниейных элементов в расчете оболочек матричным иегадом перемещений, Ракс«лая техника и космонавтика, 5, № 8, сгр 207 †2 (1967)г — ГЛАВА 13 виде произведения тгю 13.1.
Введение О ~г~ а. (Р )' = ~ ~ ~ [М ]т(у) е(хс(ус(г. (! Злб)' ПОЛУЛНЛЛИТИЧЕСКИР( МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИР( С помощью обычного метода конечных элементов можно решать любые двумерные н трехмерные (или даже четырехмерные) задачи'). Однако добавление каждого нового измерения увеличивает необходимое для расчета время, и иногда решение задачи выходит за рамки возможностей машины. Поэтому желательно искать нуги сокращения объема вычислений. Ниже бу. дет рассмотрен один класс таких методов, имеющих широкое применение.
Во многих физических задачах геометрия и соодстна материала не зависят от одной из координат. Однако нагрузка в этом направлении может быть переменной, что мешает непа. средственному переходу от трехмерной задачи к двумерной задаче о плоском деформированном состоянии. В таких случаях все же можно рассматривать упрощенную задачу меньшей размерности (без координаты, вдоль которой свойства не изменяются) и полное решение составить из набора упрощенных решений. Излагаемый здесь метод носит достаточно общий характер, и, разумеется, его применение не ограничивается только задачами строительной механики.
Однако удобно использовать терминологию строительной механики и применить теорему о минимуме потенциальной энергии. Итак, рассмотрим задачу минимизации квадратичного функционала, описанного в гл. 2 и 3. Пусть х, у, г — координаты в некоторой области (не обязательно декартовы). Вдоль координаты г геометрия н свойства материала не изменяются, а значения этой координаты заключены в интервале Предположим, что функции формы ([), определяющие закон изменения перемещений [равенство (2.1)], можно записать в '1 См. гл.
1б, поспнщенную применению конечных элемешон о нестнпнонернык задачак. Полуонолнтнческня метод конечнэсе эленентоо зуб [[) = [М (х, у, г)1(б)' =- с =) ([М(х, уЯсоз — +[М(х, у)]з(п — ~(б)'. (13.1) Прн этом мы не ограничиваем общности, ибо с помощью рядов Фурье можно представить любую непрерывную функцию внутри заданной области (прн условии, естественно, что функции формы М и М в области определения х, у удовлетворяют тем же самым требованиям). Аналогично и для нагрузки получаем (р) = — 2 [(рЧ(х, у)) соз — '+ (р,(х, у)) з)п — 1, (13.2) причем это выражение справедливо как для массовых так и для поверхностных нагрузок (см. гл. 2). Начальные деформации или напряженна, если оии суще. ствуют, можно представить в таком же виде. Применяя стандартные приемы гл. 2 для определения вяла.
да элемента в уравнение, минимизирующее потенциальную энергию, и рассматривая только вклад (р), можно записать —,,',"„, = [й]' + . (13.3) В этом выражении, чтобы избавиться от знака суммы, в векто- ры [б)е включены компоненты для каждого значения 1. Теперь типичная подматрица [й): будет иметь вид [й 1 = ~ ~ ~ [В'1 [)21[В ]дте(уе(г (13.4) а типичная компонента вектора силы Ясно, что матрица, определяемая соотношением (13.4), содержит в качестве множителей при различных подматрнцах сле- Глава !Э дующие интегралы; Глг тлг 1~ = ~ з!п — соз — дг, а а Глг .
тлг 12= ~ з1п — ' з(п — йг, в а а (!3.6) Глг тлг 1г = ~ сов — сов — йг а в а вид [Кп) [К"] + = 0 (!3.8) [Ксс[ и ловкая система уравнений разбивается на В отдельных лод. систем [ц "[ (б') + (г') = О, [йт11= ~ ~ ()[В[1 [П) [ВИй. йуйг (13.9) где (13.10) т Из соотношений (135) и (!32) следует, что вследствие свойства ортогональности (!3.6) типичное выражение для компоненты нагрузки принимает вид Ж = ~ ~ ~ [М'[г(р')йхйуйг. (13.!1) Отсюда видно, что 1.я гармоника нагрузки входит только в 1-ю подсистему (13.9) и не влияет на остальные уравнения.
Это крайне важное свойс~во имеет большое практическое значение, Эти интегралы появляются при перемножевии производных, входящих в выражение для [В) и благодаря известному свойству ортогональности 1,=1,=0 для ! Фш (13.7) при ! = 1, 2,... и т = 1, 2,.... Интеграл 1~ равен нулю, только когда ! и ш одновременно четные или нечетные, Однако в большинстве практических случаев член, содержащий 1ь пропадает.
Это означает, что матрица [йг становится диаговальной, уравнения для ансамбля имеют Пвэуанаватннеекнй метай каненниг элементов 277 з1п — соз — йг=О, когда 1=0, 1, Ьтг Глг а а а в а а . 2Глг Г э пи в з!и' — йг= ) соз' — 'дг= —, когда 1=1, 2, а 2' а (13.12) 13.2. Призматическяй брус Рассмотрим призматический брус, показанный на фиг. 13.1, который при я = 0 и г= а закреплен так, что исключаются какие-либо перемещения в плоскости х, у, а в направлении г брус перемещается свободно. Задача существенно трехмерная, поэтому должны быть рассмотрены три компоненты перемеще. пнй и, о и ш, поскольку оно означает, что если разложение нагрузки в ряд содерясит только один член, то необходимо решать лишь одну подсистему уравнений. С уменьшением размеров разбиения лишь в области х, у решение будет стремиться к точному.
В итоге трехмерная задача сводится к двумерной, что приводит к сокращению затрат машинного времени. Очевидно, что аналогичным образом можно свести двумерные задачи к одномерным и т. д., причем это относится не только к задачам теории упругости. К любой физической задаче, сводящейся к минимизации квадратичного функционала (гл.3), можно применить этот подход, который в том или ином аиде использовался в строительной механике с незапамятных времен.
Следует обращать особое внимание на граничные условия, накладываемые на ([). Для полного разделения задачи гранич. ным условиям должен удовлетворять каждый член ряда (13.1). Задание нулевых перемещенкй в упрощенной задаче фактически означает задание нулевых перемещений вдоль осн г. Поэтому составление окончательной матрицы довольно затруднительно. Это несколько ограничивает возможности применения описан. ного метода.
Когда нагруженне таково, что требуется учитывать большое число фурье-компонент, преимущества изложенного метода уменьшаются и иногда бывает экономичнее решать исходную задачу. Очевидно, что возможны видоизменения основного соотношения (!3.1). Так, например, с каждым из тригонометрических членов можно связывать свою независимую систему параметров (Ь)е. Кроме того, можно использовать другие ортогональные функции.
Так как особенно часто применяются тригонометрические функции, напомним читателю следующие соотношения; вув 579 Глпеа Гд ди', — 5!п У дл дЦ вЂ” 51п у ду — бу, — в!п у , гл а [в[1= (13.16) дн,. — 'в!пу д.с ду, — в!ну ду ди,'. — СО5 У ду дн, — соз у дк , тл б
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
