Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Решение изложенным в этой главе методом значительно экономичнее решения методом, изложенным в гл. 11. Криволинейная плотияа. Все предыдущие примеры относились к тонким оболочкам и демонстрировали применимость метода к решению именно таких задач. Б качестве примера другого типа этим методом была рассчитана плотина двойной кривизны, рассмотренная в гл.
9 (фиг. 98). Использовалось точно такое же разбиение, и результаты почти и точности совпали с реэульгагали решения трехжерной задачи [3). Такое хорошее совпадение получено при значительном сокращении числа степеней свободы и затрат машинного времени. Очевидно, что область применения элементов такого типа очень широка. 1. ЛЬщаб 5., !гола В. М., 3«епменнсг О. С., Спгчеб Тыс«г 5Ьен апб Мещьгапе Е«ес«епш ЫИЬ Рагпсл!аг йе1егепсе 1о Ах«-бупппе!пс РгоЫещв, Ргос. 2пб Соп«.
Ма!пх Мей. 5!гпс« МесЬ, Чгг!ХЫ Ранегьоп А. Р Ваье. ОЫо, 1963 2. Льтаб 5., Спгтеб Р«пне Е!ещеп!я «п (Ье Апа1уяы о« бо«нй 5Ьен апб Р1а«е Шгас1пгев, РЬ. О. Тьеь!ь, 1«пм. о( В«а«ея, 5 нягыев, 1969. 3. АЬщаб 5, 1гопв В. М., 7«спыевдсх О С., Апа1уть о1 ТЫсх апб ТЫп 5Ьен 51гпс!лгеь Ьу Спгрсб Е!егпелм, «л!. 7 Мат. Меы. Елн., 2, 419 — 461 (!970) 4 2!ель«ею«т О. С., Тоо 3., Тау1ог й. Ы, йебпсеб!п1егда1«оп ТесЬпщае «п Оепега! Лпа1уыь о! Р«а!ев апб 5Ьепь, !и!. А Лат.
Ме!Л бахо 8, 27Б — 290 (!971). 5 Кеу 5 %, Вем;пбег К Е.. ТЬе Апа1уыь о! ТЫп 5Ьепь чЛ!Ь Тгагощегье 5Ьеаг Яга« ° Ьу Ше Р1пне Е1еп«еп1 Мс!Ьоб, Ргос, 2пб Соп!. Ма«г1х Ме1Ь 5!п«с«. МесЬ., А«г Рогов 1п*1. ТесЬп., ВгпКЫ Ранегьап А. Г Ване, Оыо, 1968 6 Чгсщрпег О. А, Обеп «Т., Кровя О Л., Шине Е«етеп1 Апа1увы о1 ТЫп 5Ьепь, Ргос Лт бос. С!о Нлв, 94, ЕМ6. 1273 — 1294 (1968). 7 5ЬЧсЫ«л «. А., Намнет % Е., Т!ьба«е Р.
й, Оапбегв«оп й. А йаРЫ1у Соптенбпб Тйапхп1аг Р«а!е Е«ещеп1, «Л!ЛЛ, 7, 180 — 181 (19Б9); есть РУсскнб перевод Стрнклнв, Хадслер, Тнсда9л, Гундерсон, Элемент в Форме резко сужающейся треугольной пластлны, Ракетная техника и космонавт ка, М 1, стр. 219 (1969). 8.
Рама!ау, Оер1, о1 гмглс(лга« МссЬап!ся, РЬ. О ТЬеяЬ, !!пш. о! Сан1огп!а, Веще«еу, 1970. 9. 5согбеня А. С., 1.о К. 5., Сщпршег Апа1уыв о« Сунпбпса! 3Ьенв, А Лт. Солсг. !аг!о 81, 639 — 661 (1969). З17 Задачи о ггаяионарньи полях ГЛЛВЛ 1В ЗЛДЛЧИ О СТЛЦИОНЛРНЫХ ПОЛЯХ (теплопроводность, ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ, ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ДР.) 15.1. Введение Хотя в предыдущих главах подробно рассматривались в основном задачи для упругой сплошной среды, описанный общий метод можно применить к решению самых разнообразных физи. ческих задач. В гл. 3 уже упоминалось о некоторых таких задачах, здесь же будет подробно рассмотрен один нз широких классов подобных задач.
Остановимся сначала на задачах, описываемых нвазигармоннческнм уравнением общего вида, частными случаями которого являютсн известные уравнения Лапласа и Пуассона [1 — 6]. Круг физических задач, описываемых этими уравнениями, весьма ши. рок. В инженерной практике чаще всего встречаются задачи, в которых рассматриваются: теплопроводность; фильтрация сквозь пористую среду; безвихревое течение идеальной жидкости; распределение элентрического (нли магнитного) потенциала; кручение призматических стержней; изгиб призматических балок н дрн смазка опорньж поверхностей.
Соотношения, приведенные в этой главе, в равной степени применимы ко всем указанным задачам, поэтому реальные фнзичесние величины будут использоваться редко. Рассматриваются как изотропные, так и анизотропные тела. В первой части главы обсуждаются двумерные задачи. Далее они обобщаются на трехмерные. При решении используются те жс функции формы, что н для двумерных и трехмерных задач теории упругости.
Основное отличие состоит в том, что теперь с каждой точкой пространства связана тольно одна неизвестная скалярная величина (неизвестная функция), тогда как раньше находили несколько неазвестных, состаиляющих вектор перемещения. Дискретизация на конечные элементы достигаетсн с помощью вариацнонного метода (см. гл, 3) с использованием функционала, математически эквивалентного дифференциальному уравнению Этот функционал в приложениях можно физи.
чески интерпретировать, связывая его, нак правило, с понятием диссипацин энергии. Те же самые соотношения можно получить с помощью метода взвешенных невязок илн метода Галеркина, и читателю рекомендуется сделать это в соответствии с указаниями гл. 3. Помимо нескольких простых задач, описываемых квазигармоническим уравнением, будут рассмотрены некоторые задачи о вязком течении, описываемые уравнениями более высоких порядков [7]. При этом будет упомянута другая постановка неко.
торых задач теории упругости [8), ! 5,2. Экстремальная проблема Квазнгармоничесное уравнение, описываюпгее поведение некоторой неизвестной физической величины ф, в общем виде можно записать следующим образом: —,', (й. В+4(й,%+4(й. В+с? =О, (15.1) б) на границе выполняется условие йх эх 1» + йх а (а + й* ах 1*+ и + аф = О, (15,3) где 1„, 1„н 1, — направляющие косинусы внешней нормали к граничной поверхности. Если А„, йи и й, равны между собой, а д и ц равны нулю, то последнее условие сводится к известному условию непроницае- где ф — неизвестная однозначная в рассматриваемой области фуннция, а й„, йм й, и Я вЂ” известные функции координат х, у и я. Читатель, знаномый, например, с задачами теории теплопроводности, отождествит функции Й„, йи и й, с коэффициентами теплопроводности анизотропного материала, функцию Π— со скоростью теплообразования, а неизвестную функцию ф — с тем.
пературой (прн условии, что главные направления анизотропии материала совпадают с осями координат). В задачах электротехники эти величины можно свивать соответственно с коэффициентами проводимости, плотностью тока н потенциалом, Независимо от того, какие физические величины рассматриваются, математически задача остается одной и той же. Физические особенности частных задач накладывают определенные граничные условия. Чаще всего встречаются случаи, когда; а) на границе заданы значения неизвестной функции ф: ф=ф,, П5.2) Яадаии о стационарных нилах Глава 15 8)8 мости границы дф — =О. до (15 А) ф !8)т.
ту) " ) = (87) (ф) (15.9) ~(тф+ 2 ф) (!5.8) (15.!!) В задачах теплопроводности д представляет собой поток (тепла) через поверхность единичной площади, а иф — потери тепла путем конвскции. Уравнение (15.!) вместе с граничными условиями однознач. но определяет задачу. Однако возможна н вариационная формулировка задачи. Согласно известной теореме Эйлера, для того чтобы в некоторой области У интеграл Х(и)=~ ~ ~((х, у, з' ф' д ' * д )Ихйрйа (!55) и принимал минимальное значение, необходимо и достаточно, чтобы неизвестная функция ф(х, у, а) удовлетворяла дифференциальному уравнению ) — — = 0 (15.5) дх (д(дф)дх)) + дУ (д!дф)ду') ) д» (д(дфуд ) ) дф в той тке области при условии, что ф в обетах случаях удовлетворяет одинаковым граничным условиям.
Можно убедиться, что уравнение (15.1) эквивалентно требованию минимизации интеграла ') х =- ~ ~ ~ ~-,' (й. ( — „'„')'+й,( —",„)'+ й. (=„)') — е]й йуй (1 5.7) по всей области при тех же граничных >словиях для ф. Однако при подборе функций формы нецелесообразно требовать удовлетворения обоим граничным условиям «а» н «б», Хотя условию «а» удовлетворить легко, выполнение условия «б» привело бы к значительным трудностям.
Поэтому лучше не накладывать никаких ограничсняй на значения функций на тех частях границы, где должно быть удовлетворено условие «б», а добавить к функционалу (15.5) поверхностный интеграл по границе, который после минимизации обеспечивает выполнение этого граничного условия. В общем случае указанный интеграл в уравнении Эйлера имеет пид ') На свмом деле (!55) является необходвмым условвем существования аистремаля фуяяцвонала 1!55).— Прим. ред.
где 3 — поверхность, на которой задано условие «б». Если интеграл (15.8) добавить к выражению (15.5) или (15.7) для функционала уа то после минимизации граничное условие (15.3) будет выполняться автоматически, Читатель, интересующийсн подробностями вывода >раввсиия Эйлера в этой довольно общей форме, найдет все необходимые сведения в приложении б. 15.3. Конечно-элементная дискретизация 15.5.1, Общий трехмерный случай Если неизвестная функция ф определена для каждого элемента в обычной форме: где ф, и т.
д. — узловые параметры, то функционал можно минимизировать приближенно. Следуя обычному порядку, вычислим вклад каждого элемента, используя соотношения (15.7) — (15.9). Дифференцируя (15.7) н (15.8), для произвольного узла запишем дф д ( дф ) й дф ~ 1 ( 1 ~ ( дф ф дф ) ~о е (15.10) Второй интеграл появляется только для элементов у внешней гравицы, на которой заданы условия типа «б».
Замечая, что дф Г да'т дуг дх 1. дх ' дх ' ''~(ф) дф —,— =ту и т. д., де~ для всего элемента (см. гл. 3) получаем стх (й)е(ф)е ! (р)е Глава !д Ззп лаваш а гтачаааараых аалхх 32! дФ дх дФ дз дФ дх (15.16) дн! дх дн! дд дУ~ дх где Ны= 2.3[т, Р,=2'.Р[ %)= (15. 17) 15.3.2. Условия сходимости [й[~ = („а![го [Аг) ДЯ, (15.15) где матрица жесткости [й[' г! дн, дЦ дн, дн, д.Ч,И,1 ) 1 да дх дх +да дн д + да дх д ~!(ха(у!(х (!5 12) строится с помощью соотношений (15.9) и (15.10) и Р,' = — ~ ОАГ! и"т' + ~ пЛт~ !(3 + ( ~ [)У] а)У~ г(3) (ф)' (15.13) а 5 с учетом того, что а(т' = г(ха(а!(г. Минимизирующая система уравнений для всей области составляетси по общим правилам.
В результате получаем = 0 = [Н[(ф) + (Р), (15.14) и суммирование, как обычно, производится по всем элементам. Поскольку не известна лишь одна функция, в приведенных соотношениях фигурируют только скалярные величины. Если интерпретировать соответствующие вечичины как жесткости и силы, то можно провести аналогию с расчетом конструкций. Анализируя структуру соотношения (15.13) для сил, легко заметить, что первый член соответствует объемным силам в задачах теории упругости. Второй член представляет собой вклад только от границ, на которых задан поток д. В теории упругости ему соответствует поверхностная нагрузка.
Если границы непроницаемые [т. е. граничное условие имеет вид (!5.4)), то имеет место точное соответствие со случаем свободной границы. Последний член соотношения (15.13) отражает новое качество, Соответствующая ему «граничная» сила пропорциональна перемещениям на границе н, следовательно, (ф)'. Поэтому этот член эквивалентен некоторой присоединенной внешней жесткости элемента представляемой в виде интеграла по границе. К дополнительной жесткости приводят, в частности, граничные условия для потерь тепла излучением или конвекцией (в задачах теплопроводностн). Так как получена полная аналогия с задачами расчета кон. струкцнй, далее могут быть нроведены стандартные операции, На заключительной стадии расчетов можно вычислить не только значения функции ф (соответствующие перемещениям), но и ее производных (соответствующие напряжениям).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
