Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 50
Текст из файла (страница 50)
7 способом построения сложных элементов. Пусть все степени свободы (6) разделены на две части. Глава 17 878 17.5.1. Колебания пластин дх (К.)(д) ! (д()(д) б д (6) (17.24) 26 ы 64 (17,25) -л май 638 ЮВВ 4293 4369 и мсй 266 М57 6456 6578 (Киб) =~,",~©, (17.26) получаем (К)' (б) + (К) (б) = О, — л май 870 12055 15813 16585 (б) = — (К)-'(К) (д) (Ч = — (К)-'(К) . (17.27) или должно быть записано с учетом ограничения на деформации, налагаемого соотношением (!721). Новое уравнение лучше всего получить, минимизируя полную потенциальную энергию системы по уменьшенному числу параметров В гл. 2 показано, что, используя принцип Даламбера для динамических сил, потенциальную энергию можно записать и виде Х=(б) (К)(б)+((М) —,, (б)) (б) (17,28) После некоторых преобразований получаем где матрицы 1 1г 17~ дт соответствуют меньшему числу степеней свободы, связанных с (6,).
Выражения (17.28) можно получить непосредственно, используя правила рассмотренного в гл, 1 контрградиентного преобразования, если выражение (17.21) принять за определение матрицы этого преобразования Важно установить связь между вспомогательными и главными перемещениями. При этом уместно сделать приемлемое с инженерной точки зрения предположение, что картина деформации не изменится, если вместо нагрузок задать перемещения (61, В соответствии с этим, записывая по аналогии с (!7.!9) со- отношение поскольку вспомогательные узлы не нагружены, и Приложения этого метода хорошо описаны в литературе [7, 8) и будут рассмотрены на приведенных ниже примерах, Двнаммчсскае задачи.
Долданалнтвческое нсслсдованве 877 !7.8. Некоторые примеры определения собственных значений Приведен лишь несколько примеров из множества решенных практических задач. На фиг. 17.1 представлены результаты расчета колебаний прямоугольной консольной пластины, полученпые.при использо- Фвг. 17.
И Моды консольной пластины. иск лыс лавнме длв расчета кри раьбиенин иа я греус ль ых элеменга: в=2 мин нумэ. 1 и25 м, с=н,ю м, э 2,м см, ч ь,э. Р у,м 1м иунч числа абаэиачамч час сгм а гера х, лалученнме сри кс ал э вин: )Ясачнйг ременин 101;21 нес гласов иваго» ре угямьннкв; 21 сагласаа н ага чр угальннка а равачвай Фучкнней о0581 н 41 согласовав нага треугольника с ао раиачкай Функцией П0.203 Глава !7 ванин всего лишь четырех треугольных элементов. Результаты сравниваютсн с результатами сложных расчетов Бартона [91. Видно, что использование несогласованного треугольника приводит к лучшим результатам, чем использование уточненных со.
отношений. Точность определения и частот и собственных функций вполне удовлетворительна. Более полно результаты, полученные при использовании несогласованных треугольников, для различных разбиений приведены в табл. 17.1[71 Раскат с учепвзм беех гтепеней ебо бады (уп) уеключены степени ебпбадву уллоб, не оппкеченных кружками. Число-агнооных переметении (чоп) =бр таблица 77.! Сравнение теоретических н вкевврвмевтвпьныв результатов определенна чветог првмоугопьыой ыьнеольной пнветнны поетовввой топпшны (данна а, тврввв а/2) 171 Уеключеууы бее опепени геибоды кромепеаеречных перемет ние обменных «рунеквми углаа з(!'П)рпа Мр. вз чоп "Уэ Исключены Еее етепени свободы кроме колере рных перел ещений ебееденных кружками уэлод 3,47 3,42 ') 14,93 14,52 ') 3,39 15,30 21,16 49,47 67,46 иоп =д 21,26 48,71 20,86 46,90 93,99 94,49 !7лйд.
Колебания оболочек '1 Результаты, зк ррчвчвррвзнн ч Взрчрнри ррзз ч езв з с пррзчлзнвимв р »т зззч мз. Вучвзнн (ч! й !в) рвоззччьнн чнммчтр чвич звз змн«зрн «м нзкн, Решение подобной задачи иллюстрируется на фиг. 17.2. При решении проверяяась зффективность экономичного метода определения собственных значений. Видно, что при сокращении числа степеней свободы с 90 до 6 первые четыре частоты изме. нйются очень мало, ! В дитературе так много примеров расчета колебаний пла. у 'стин, что пх невозможно перечислить. ! 2 3 5 6 7 8 9 !О 11 12 3,51 14,50 21,70 48,10 60,50 92,30 92,80 118,70 125,10 154,00 176,00 196,00 3,44 14,76 21,60 48,28 60,56 88,84 92,24 117,72 ! 18,96 3,44(с) 14,77 (в) 21,50 (е) 48,19 (в) 60,54(е) 91,79 (с) 92,78 (в) 119,34(е) 124,23 (с) 153,тй(в) 174А6 (е) 199,61 (е] Динамичеекие валави. Полуаналиуичеекое иеелвдованив 379 Фнг. 17.2, Исквнненпе степеней свободы прв определенна еобственвык частот кввдрвчной консольной вввстнны. 77.6.2.
Плоская задача о колебаниях На фиг. 17.3а и 17.36 приведены результаты расчета Клуха н Чопры [101 колебаний сечения земляной дамбы. При расчете использовались простые треугольные элементы. Очевидно, что изложенный метод можно применить при ре. шенин любых двумерных или трехмерных задач для упругой сплошной среды. В частности, большой интерес представ.чают задачи о колебаниях оболочек. В противопояожность предыдущему простому примеру на фиг. 17.4 приведены результаты использования сложных элементов толстых ободочек, описанных в гл. !4, прн решении задачи о колебаниях турбинной лопатки [11, 12ь Показанаые нэ фиг.
1768 и 17.бб элементы такого же типа используются для динамического расчета арочной платаны. Мора я ю = 20,1 2 рор/с Р/Ей / с = 7,71 райс ййрн аае сеиание В Мсй7ю=23,75рпа/с Майю ю10,60/юа. яа иол яия сн, яи иия сйии Марал —. 10,31р а/ рйзйя = 25,95раа/ Фиг. 17.5а. Конечно-элементная идеализация земляной дамбы Мояаяю 12,52рая/с Марая ю= 23,10рая/с Фиг. !7.36.
Моды и частоты собственных колебаний земляной дамбы [103 /серлыю своение г А Фнг. 17,4 Колебания турбинной лопатки, рассчитываемой как толстая оболочка. с — вымев пзр боличюкстс ипа; б-и д и частоты, Сраансннз с зкспср м нтои.
м дз т-3-я йори а п р ч ы* о. 6»и й, Й мер па . часто а 642 Гц. Ныюслонвос зиа. чевкс Ыи Гю Мода 2-з.в Сори опер аыл козсб ний зло.з ромки. Измереиаая ча. тот 4226 Гц, ны н лепное аач еи ~692 Гц. мода а-1.к бориа крхтвльп к волебзю й. Йзизрси а члст тз 2юв Гц. и ч.
л нное юачезме 2696 Гц. Мода 4-2.я йюриа поперечник колебав й, изи рен аа частота 2640 Гц а чис синю зна сине 2794 Гя. !3 эаи. е!э Фнг. !7.5а. Сетка З7ч 3 парабслнческнх толстых оболочечных элементов, нс- польэованная для расчета колебапня арочной плотины. Фнг. г7.5б. Первая моде; часто~а ДЗО Гк. Динамические эидочи Волуолллитичесхое осследоеииие Некоторые другие примеры динамического расчета оболочек содержатся в работах [!3 — 16].
В работе [7] используются трехмерные изопараметрические элементы. 77Х4. Волновое уравнение. Задачи электромагнегизма и гидродинамики Как было показано в предыдущей главе, основное уравнение динамики (17.1) может описывать разнообразные задачи, не связанные с расчетом конструкций. В задаче о собственных значениях матрипы ыассы н жесткости могут иметь другой физический смысл. Частным случаем рассмотренных ранее общих уравнений являетсн известное волновое уравнение, которое для двумерных задач имеет внд дтз дтф ! дхе (17.28) Если граничные условия не оказывают возмущающего действия, получаем задачу о собственных значениях, встречающуюся в различных областях физики.
Сначала рассмотрим ее применительно к теорви электромагнитных полей [17]. На фиг,!7.6 показаны моды поля в задаче о волноводе. При расчете использовались простые треугольные элементы. Более сложная зада- о ча о трехмерных колебаниях г о рассмотрена в работе[17]. Аналогичное уравнение а довольно хорошо описывает 7! ~ э поверхностные волны в некотором обьече жидкости: в ! ! дтб + — 77, =О. (17.29) Фяг. !7.5. Сериовндный аолновод; моды К дгэ электромагнитного поля Л-яеэупииа хаеиетэ: Оэ' 1,Ы; э,мя! Здесь Ь вЂ” средняя глубина, з-е,эмл:, э-гг.' Ф вЂ” превышение уровня во. ды над средним и а — ускорение силы тяжести.
С помощью этого уравнения нетрудно подсчитать собственные частоты воды в гаванн [!8). На фиг. 17.7 показана форыа колебаний воды в одной из гаваней. боо Колеоггмиа ологеммл лгю мвгх бвиг 178, Колебания объема жидкости при ниле ми сваболиой поверкнсстн. Расчет трекмериой задачи с использованием параболических элементов. О вм . вту, е д» павия; СГ смена »вава Фнг. !7.7.
Колебании воды в естественгой гавани. о-нюв, а †.»а на уровней амллагуд, 13» ойавй г9 Яммл гюлммэ овйт е еилиеии — — элм ьдююглл гю мем Оное Ф согнали о о' о п,п и' гг Моде Г И»глгоюл ив~ звв Глава 17 динамические аадачи, Полданалишческое исследование Звв 17.5.5. Связанные зидичи еидродинимики Эта задача была сформулирована в предыдущей главе. В случае отсутствия возмущающей силы и демпфирования опять возникает задача о собственных значениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
