Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Иногда элемент может содержать узел, не связанный с другими элементами (например, внутреннюю степень свободы). В таких случаях соответствующую степень свободы можно исключить, а в ансамбле использовать сокращенную матрицу жесткости. б) Координатные оси можно выбирать по направлению перемещений (например, координаты, связанные с узлом, которые описаны в работе [3]), что влечет за собой необходимость преобразования матриц от узла к узлу. Применение таких координат приводит к тому, что матрицы жесткости элементов записываются в разных системах координат.
Указанный подход удобен в следующих случаях; !) при наличии узлов, в которых под некоторым углом к глобальным осям направлена одна (илн несколько) удерживающая связь, что сильно затрудняет непосредственный учет граничных условий; 2) при учете симметрии или антисимметрии с целью умень. шения общего числа уравнений; например, при исследовании '/а вместо '/4 пластины в случае двойной симметрии или при использовании неосесимметричных элементов в осесимметричных задачах [3]. 3) при исследовании оболочек двойной кривизны, когда ось г в каждом узле направляется по внешней нормали к поверхности оболочки, так что для каждого узла требуется всего лишь пять степеней свободы [4].
Пример программы. Приведенная программа строит мат. рицу жесткости размерностью 6 ЛС 6 для элемента, используемого при расчете плоской деформации, и записывает матрицу напряжений на магнитную лепту для дальнейшего использова. ния при вычислении напряжений элемента. Блок-схема программы приведена на стр. 477.
обозначения переменных е подпрограмме ЬТ!РТ2 (М) В (3,9) * Программа 20.4 6ОВВООТ!МЕ 5Т)РТ2(М) СОММОМ/СОМТВ/Т!ТСЕ(12),МР,МБ,МВ,МОР,МСМ,МСО,ММАТ, М32РД),МТ4 СОММОМ СОВР(ЦЮ2)МОР(ЯЮ4)ЛМАТ(200)ОВТ(252)МВС(25), МР)Х(25) 1,В Ц200),6К(200,40) 2, Б3Т1РМ(12,12),А(3,6),В(3,9) 1О Определение аиааай адаманта ! — МОР(М,1) Л = МОР(М,2) К вЂ” МОР(М,З) й !МАТ(М) 11 12 13 14 Обраааиаииа системы локальных каардииат АЛ = СОВВ(Д!) — СОВР(1,1) АК = СО ВО(К,!) — СОЮ(1,1) В) = СОЮ(7,2) — СОЮ(1,2) ВК = СОВО(К,2) — СОЮ(1,2) АВВА (АЛ*ВК вЂ” АК ВЛ)/2 !Р(АВЕАЛ.Е.О.) ОО ТО 2З) 15 !6 17 )а 19 20 Фармираааиие матриим сипаи деформаций с иарамащаггиями Л(1,1) ВЛ вЂ” ВК А(1,2) = О. А(1,3) = ВК Л(1,4) О.
А( 1,5) — ВЛ Л(1,6) 0 23 24 25 26 27 23 а Массивы, расиааазгаииыа а области СОММОМ. 1,Л,К АЛ, ВЛ, АК, ВК А (3,6) * ЕЬТ(РМ (12,12) * Всюду обозначает номер элемента Параметры, определяющие связи элемента; позже используются как счетчики цикла Локальные координаты треугольника Матрица, связывающая деформации с перемещениями Матрица, связывающая 'напряжения с деформациями; в дальнейшем используется прн построении матрицы жест. кости элемента; Матрица напрнжений для обратного хода лызислиггльяые методы и арогромеы 477 Глава 20 42 43 44 46 47 48 С С С С 50 51 52 53 54 ЕЗТ)РМ вЂ” матрица жесткости 55 56 57 58 59 83 64 бб 67 68 И014/21 А(2,1) = О.
А(2,2) АК вЂ” АЛ А(2,3) О. А(2,4) — АК А(2,5) = О. А(2,6) = АЛ А(3,1) = АК вЂ” АЛ А(3,2) ВЛ вЂ” ВК А(53] — АК А(З',4) - ВК А(3,5) = АЛ А(3,6) — ВЛ Формироаааие матрицы сааза напряжений с деформациями СОММ ОКТ(!.,1)/((!. + ОКТ(Ы2)) ° (1. — ОКТ(1.,2) 2)*АКЕА) езт!Рм(ьд) = сомм В. — Окт((.,2)) ЕЗТ(РМ(1,2) = СОММ ОКТ(1.,2) ЕЗТ(РМ(1,3) О. ЕЗТШМ(2,1) ЕЗТ)РМ(1,2) ЕЗТ1РМ(22) ЕЗТ!Рм(1,1) ЕЗТ!РМ(2,3) О. ЕЗТ!Рм(3,1) О. ЕЗТ(РМ(ЗД) О. ЕЗТ)РМ(3,3) ОКТ(Ы1)/(2.(1.
+ ОКТ(К2) АКЕА)  — матрица наяряжеянй для обратного хода; хранитси иа магнитной ленте ОО 205 1 1,3 ВО 205 Л 1,6 В(),Л) О. ПО 205К=1,3 2ОЗ В(1,7) = В(1,1) + ЕЗТ)РМ(1,К)/2.*А(К,Л) игК!те(нт4)м,((В(!,л),л- 1,5),1 - 1,3) ОО 210 1 1,б ОО 210 Л 1,6 ЕЗТ!РМ(1,!) Оо 210 К 1,3 ЕЗТ М ! Л) ЕЗТ!РМ(! Л) + В(К !)/2 М кетикн ' С С Выход из программы ари оывбке а задннни связей С 220 )РК!ТЕ(6,100)Ы 100 РОКМАТ(ЗЗРДЗЕКО ОК НЕОАТ)(ГЕ АКЕА ЕСЕМЕНТ НОЕХЕСОТ10М 1ТЕКМК2АТЕО) ЗТОР ЕНО 29 30 31 32 33 34 35 38 37 38 39 40 Блок-схема подпроирамжы ЬТ1РТ2 20.5. Составление ансамбля н решение уравнений В любой программе, реализующей метод конечных элементов, ключевой является подпрограмма решения систем уравнений, Выбор метода решения зависит от числа уравнений задачи и от типа,используемой вычислительной машины, 481 Г аае йд Вычпвяпгг,шчые методы и программы Кн Км Км Кш Кзз К34 Км Кы к„о б Кп г Кы Кы Кы Кгз Кы г Кзг КЗЗ К34 г т Кы Кзг Кы Кзг г К34 Кзз а 0 0 хх х х -пламенны, ве а,'яьщмчм длнФюзз хх 1В 3 ° вгз Другим преимуществом является экономное использование памяти машины, так как матрица может быть помещена в пряМОУГОЛЬИЫй МаССИВ РаЗМЕРНОСтИ й!)2тшзз КаК ПОКаэаНО Иа фиг.
20.!. Однако при этом общее число уравнений, которое может быть решено, ограничивается размерами прямоугольного массива. Ягиг. ЗЦ1. Хранение матрицы при решении уравнений методом ленточных матриц. Ленточная матрица, задаваемая формулой (20.0), особенно удобна при решении больших систем уравнений, так как в процессе исключения операции производятсн только пад Кы и по- мому только эта матрица нужна в оперативной памяти. Однако истинная эффективность достигается, если составление уравнений для ансамбля и исключение производятся параллельно, т.е.
если уравнение исключается сразу после его составления. Это легко осуществить, если в качестве первого узла каждого элемента всегда использовать узел с наименьшим номером, а эле. менты располагать так, чтобы номера их первых узлов располагались последовательно, При таком способе процесс состав. ления уравнений ансамбля будет автоматически прекращаться, как только номер первого узла станет больше номера рассматриваемого узла, После исключения К,г оставшаяся матрица сдвигается так, что первый элемент измененной матрицы Кз, за. пинает позицию (1,!), а остальные — соответствующие им места. Исключенные уравнения могут временно пересылаться в промежуточное запоминающее устройство, а затем переписываться в виде блока и накопитель до следующего вызова, Для небольпгих задач объем промежуточной памяти может оказаться достаточным для того, чтобы вместить в себя все исключенные уравнения, при этом делать пересылку нет никакой необходимости.
Новая матрица может быть вновь выражена через подматри. цы К 4, Км и Кгь после чего процесс исключения повторяется. На каждом этапе исключения требуется (т+ 1))ч(т+ 2) .ячеек памяти или при наличии симметрии — половица этого числа. С помощью этого метода можно решить практически неограниченное число уравнений при условии конечности максимальной ширины ленты. В большинстве случаев при решении задачи'методом конечных элементов точность не является проблемой. При необходимости можно решать уравнения с двойной точностью, однако при этом увеличиваются используемый объем памяти и время решения. В некоторых случаях точность можно повысить, если подставить полученные значения в первоначальную систему уравнений и вычислить невязки, а затем, используя эти ненязки в качестве новых правых частей, снова решить систему.
Сумма этих двух решений даст уточненное решение. Однако чаще эти невнзки используются для оценки ошибок округления. 20.5.2. Экономное распределение памяти дли решения ленточных систем Чтобы уменьшить используемый объем памяти вычислитель. ной машины, в программе решения больших систем ГЕ$8 (в настоящей главе не приводится) для храиерия в памяти верхней Фиг. ХОВ. Поряиоя размещения в памяти урааяепай в прпграыма РЕ55. треугольной части матрицы жесткости, необходимой при исключении самого верхнего уравнения, используется одномерный массив. Пример расположения в памяти элементон матрицы показан иа фиг. 20.2 В этом примере элементы матрицы располагаются по столбцам, так как это удобнее, чем построчное расположение В программе ГЕ88 матрицы, необходимые для обратного хода (уравнение (20.5)), хранятся в верхней части одномерного массива.
Если матрица жесткости и эти матрицы перекрывают друг друга, содержимое остатка переписывается на лепту и процесс повторяется. Такой способ достаточно эффективен, так как позволяет использовать длинные записи на ленту. В мекоторых случаях удае~ся решить уравнения без использования внешней памяти. Глава гй Вычивлвтелввые .метода и вроероммм 205.3. Итерационный метод Гаусса — Зейделл В общем случае н-е уравнение системы !т' уравнений может быть записано в виде -! и Й„,Ь, + йв„б„+ й, й„;6, = Р„. (20.7) Из этого уравнения могкно найти в †! и 6 =йи ~рв — 2 й 6 Х йв!6 ~ (208) ! ! !=вч-! Если процесс итераций таков, что в правой части нсцользуются .
последние приближения Ьь то для ш-й итерации имеем — ! и 6, ==6„-„'~Рв — Хй,ьб, — Х йч,б'."-'~. (20.9) !=! В этом заключается итерационный процесс Гаусса — Зейделя. Часто для уточнения решения используется прием, состоящий в умножении разности между двумя итерациями для 6 на некоторый коэффициент и представлении уточненной величины 6 в виде 6,, =6,", +й(6," — 6„'), (20.10) где 6~' — величина, нычисленная в соответствии с (20.9), а 8— коэффициент верхней релаксации, значение которого обычно лежит между 1 и 2. Установлено, что во многих практических случаях самым подходящим является значение, близкое к 1,8.
Итерационный метод Гаусса — Зейделя легко программируется. Матрица жесткости хранится в компактной форме без нулевых членов вместе с матрицей-указателем номеров столб. цов, в которых находятся ее элементы. Каждое уравнение итерируется в соответствии с (20.9), и найденное значение уточняется в соответствии с (20.10). Процесс повторяется столько раз, сколько необходимо для получения приемлемого реепеиия, причем сходимость обычно оценивается путем вычисления разности между двумя последовательными приближениями.
Итерационные методы удобны для регпения нелинейных задач, так как при их использовании обычно требуется решение ряда сходных задач, поэтому для вектора решения всегда есть удачное начальное приближение. Кроме того, если на промежуточных этапах ограничиться невысокой точностью решения, то число арифметических операций уменьшается, Недостатком использования итерационных методов является необходимость повторении основного цикла для всех уравнений. Поэтому при использовании для хранения уравнений внешней памяти процесс решения занимает много времени.
Однако компактное расположение матрицы жесткое~и дает возможность решать большое число уравнений с использованием только опе. ративной памяти, например 1000 дополнительных уравнений на 32К слов памяти. Главный же недостаток итерационных метеь дов состоит в том, что при решении, как правило, может быть рассмотрен только один вектор нагрузки, так как перемещения занима!от почти всю память. В приложении 20А приведены две подпрограммы: РО)(МК (формирование матрицы жесткости и соответствующей матрицы- указателя) и БОЕУЕ (решение системы уравнений итерационным методом Гаусса — Зейделя).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
