Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Одним из самых удобных способов представления результатов является построение изостат. Они могут быть построены либо во всей области, либо только н некоторой ее части, представляющей особый интерес. В простейшем случае напряжения н элементе усредняются по узловым значениям, При этом изостаты вычерчиваются в виде набора прямолинейных в каждом элементе отрезков, согласующихся с этими узловыми значениями. На фиг.
20,4 приведен пример !7!. Недостаточная гладкость кривых вызывает сомнение в правильности решения. Программы, позволяющие вычерчивать гладкие кривые иа основе. данных, полученных в отдельных точках, можно приобрести у предприятий, производящих эти самописцы. Второй способ использования самописца состоит в вычерчивании для каждого элемента в заданном масштабе векторов главных напряжений в соответствующих направлениях. Такой способ представления напряжений показан на фиг. 20.5.
Большинство применяемых в настоящее время элементов дают скачкообразно меня1ощиеся от элемента к элементу напряжения, хотя напряжения в двух соседних элементах колеблются относительно истинного. Для сглаживания разрывов напряжений при их описании (и в некоторых случаях для улучшения точности) обычно используются два способа усреднения. Первый заключается в усреднении напряжений по двум смежным элементам. Например, из двух треугольников составляется четырехугольник и в качестве напряженна в некоторой точне четырехугольника принимается среднее по этим двум треугольникам значение. При втором способе усреднения суммируются напряжения всех элементов, соединяющихся в рассматриваемом узле, н сумма делится на число этих элементов, Этот способ обычно дает совершенно гладкую кривую напряжений, достаточно точно описыва!ощую их распределение во всей области, за исключением граничных точек или областей с высоким градиентом напряжений.
Блок-схема. Пример программы. Приведенная ниже программа определения вектора напряжений представляет собой неза- Лычислигемимг .чггади и арагриллм Программа 20-8 ЕОЕЧ = 1 САЕС РСОТБ (1В!3Р,1000Д.ОЕЧ) С С Считывание масштаба С Фкг. 20Л. Лакан урависа моментов касага моста (из Ргас. )пш. С1а Еив, 821, Аии. 1967). Фнг.
2032 Автаматвчсскас вычерчивание главных напряжений падпраграмиай вычерчивания асктарав. висимуго подпрограмму считывания с перфокарт, содержащих напряжения, и вывода на печать в соответствующем масштабе векторов для каждого элемента. Все такие подпрограммы являются частью набора Са!совр сог!гап. Типичная блок-схема приведена на стр. 502. С Подпрограмма вычерчивания вектара для Са)сашр О!МЕМ$10М (В13Р(1000) С С Вывод номера барабана н апрсдслсине места ва внешней С памяти С ЕВАО(6,10) хБн1рт,хБсАСБ,УБП1рт,тнсАье 10 РОКМАТ(4Р!0.2) Вгд!ТЕ(6,11) ХБН(РТ,ХБСАЬЕ,ЧЯЕРТУБСАЬЕ г иго 1Р( ч()210 210 110 Изменение масштаба й = Х + ЯМАХ/гл51Н(АНС) Я = У + 5МАХ/2. СОБ(АВС) Р=2. Х вЂ” й 0=2. у — Я Вычерчивеняе отрезков САЕЕ РЕОТ(й,Я,З) СА~.Е РЕОТ(Р,О,З) й = Х вЂ” БМ!Ы СОЯ(АНС) Я = У+ ЯМ1Н Я!В)(АНС) Р=2.
Х вЂ” й О =2:У вЂ” Я САЕЕ РЕОТ(й,Я,З) САП. Р10Т(Р,0,2) Пезать намерз элемента СО ТО 100 Конец чертежа 2!О СОНТ1НСЕ САЕ3. Р1.0Т (0,0,999) ЯТОР ЕНО Блок-схема арогражжи )змОСт)(А)У( БТЧЕСТ 11 РОВМАТ(!ЗН) Х ЯН1РТ =,Г10.2/ 1 1ЗН Х ЯСА(.Е,Р(0.2/ 2 )ЗН У 5Н1ГТ =,Р(0.2/ 3 1ЗН У 5СА(.Е,Р!0.2) йВАО(5,15) РБСАЕЕ 15 ГОВМАТтр10.2) У/й! ТЕ(0,13) РЯСА1'.Е !б ГОВМАТ(1ЗНОР1.0Т ЯСА1.Е=,Г!0.2,9Н ПН(ТБ/)Н) С С Счнтывзнне с перфокарт координат а нзпряженн3 С С 100 йЕАО(5,20) Н,Х,У,ЯМАХ,ЯМ1Н,А."4С Жй!ТЕ(6,20) РиХ,У,5М АХ,ЯМ(Н,А/40 20 РОВМАТ(П0,2Р10.2,3Р10.3) Вььчислительнме метогы и иротриммьь Если перфокарта пустая, закончить чертеж !10 Х (Х вЂ” ХЯН!ГТ) ХЯСАЕВ У = (У вЂ” УЯН1РТ) УЯСА1.Е ЯМАХ = ЯМАХ/РЯСАЕЕ ЯМ1Н = ЯМ1Н/РЯСА1.Е АНС = АН С/573 Вычисление координат концов векторов А = Х + 0.2 В=У+0.1 ГРН=Н САУЛ.
ВОМВЕй (А,В,.!4,РРГСО.,О) Переход к стедующему элементу Гни«а 2П Винит»иге»енине иетидиг и ириграиии 20.9. Решение задачи о собственных значениях итерационным методом При исследовании колебаний и устойчивости, а также при расчете методом конечных элементов волвоводов и т.
д, можно получить систему матричных уравнений вида НХ = ЛХ, где Н вЂ” квадратная матрица известных коэффициентов, Х вЂ” вектор [х,, х„..., х„]т, а Л вЂ” скалярная величина, соответствующая собственным частотам, критической нагрузке, частотам среза и т. п. Уравтнения вида НХ = ЛХ называются уравнениями собственных значений, и в общем случае они имеют с~олько решений, т. е.
собственных значений и соответствующих собственных ВЕКТОРОВ, СКОЛЬКО СтЕПЕНЕй СВОбОдЫ Хи ПрИМЕрОМ ЧОГут СЛужатЬ задачи о свободных колебаниях, в которых Н=К 'М, (20.! 2) Наибольшее собственное значение можно определить про- стым итерационным методом: а) Задать некоторое значение вектора Х, которое в даль- нейшем называется Хии Поскольку собственный вектор харак- теризует некоторуго собственную функцию системы, нам нужны только относительные значения компонент вектора Х.
Поэтому можно считать, что одна из неизвестных (скажем, х,) всегда равна единице. б) Вычислить АХ«и в) Произведение АХ«, представляет собой вектор, который можно записать в аиде Л„Х,, где Лег — множитель, такой, что компонента х, вектора Хег опять равна единице, а остальные пе- ременные х,, хь ..., х принимают соответствующие значения.
г) Сравнить Х„г с Х„нли в общем случае Хе„с Хин+в Если они не отличаются (в предечах заданной точности) друг от друга, то полученное множество значений образует собственный вектор, а множитель представляет собой наибольшее собствен- ное значение. В противном случае снова вернуться к пункту «а» Другие собственные значения и соотнетствующне им соб. ственные векторы определяются методом «ловли льва в пу- стыне» в сочетании с итерапионным методом. При аспользова- нии этого метода матрица Н видоизменяется таким образом, чтобы свести максимальное собстпенное значение системы к нулю. В результате наибольшим собственным значением ста- новится последующее значение ~..
После этого процесс итераций повторяется. Предположим, что на некотором этапе получены собственное значение Л, и собственный вектор Хт, Используемую для нахождения Эн и Х„ матрицу можно с помощью метода «ловлн льва» видоизменить так, чтобы избавиться от т-го корня, т. е. сделать Л, равным нулю, не изменяя других собственных значений и собственных векторов. Очевидно, что после этого у видоизмененной матрицы наибольшим собственным значением будет Л,+и Пусть 2 т к ктм (20. 13) ктмк Можно записать [Н вЂ” Л,Х, — Лэйг — ... — Л,Я,]Х,= = НХ, — Л,кгХ, — Л»7»Х, — ...
— Л,7,Х, = Л,К, (К',МК,) Л»К, (КтМК,) к",мк, к',мк, Равенство (20.14) можно переписать в виде [Н вЂ” Л,к, — Лик~ — ... — Л,Х,] Х, = Л,Х, — Л,Х, = ОХ„ (20.!6) т так как Х;МХ, — скалярная величина и на нее можно сократить. Из соотношения (20.16) следует, что Х, все еще остается собственным вектором видоизмененной матрицы, но соответствующее собственное знвчение Л равно нулю, Теперь остается доказать, что другие корни системы не из. меняются в процессе «ловли льва». Полагая, что Л, и Х, — собственное значение и собственный вектор (э .» т), можно записать [Н вЂ” Л,Я, — Лгкг — ... — Л,7,]Х,= = НХ, — Л,к гкт — Л,7»Х, — ... — ЛтЯтХе Л,К,(хтМК,) ' = Л„Хи (20.17) к, мк Следовательно, 1„ остается корнем нидоизменной матрицы.
Свойство ортогональности, использованное в (20.14) и (20.!7), доказывается следующим образом, Записываем равен- ства К 'МХ,=Л,Х„ К 'МХ,=Л,Х„. (20.18) (20.!9) э.„к,(к,'мк,) ктмк, (20, 14) Используя свойство ортогональности собственных функций,' можно показать, что прп т Ф э справедливо равенство Х,МХ, =О. (20. 15) 506 Глава 76 Умножая (20.18) на Х,М, а (20.19) на Х,М и выполняя затем операцию транспоннрования в последнем уравнении (помня " о" ~ а ' ° „щваопа ° у г а ХгМ К МХ, = Л,ХГМХ„ (20.20) ХГМ К 'МХ, = Л,Х, МХ,. (20.21) Блок-схема программы ЕИЕТ) Если теперь вычесть (20.2!) из (20.20), то в результате получим (Ла — Ла) Х~ МХа = О. (20.22) Так каи в общем случае Л, Ф Л„то должно выполняться ра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
