Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 71
Текст из файла (страница 71)
— Прим. ред. где [1] — единичная матрица, все элементы которой, не стоящие па диагонали, равны нулю, а диагональные элементы равны единице. Ясно, что если уравнения не имеют решения, то обратной матрицы не существует. Сумма произведений В задачах механики часто приходится иметь дело с такими величинами, как, например, силы, которые можно представить в виде матрицы.
вектора Ч (А!.1Ц Силы в свою очередь связаны с перемещениями, определенными другим вектором, скажем б, бг (А1. 12) Известно, что работа равна сумме произведений сил на переме- щения: дч ~аб . Очевидно, что здесь целесообразно использовать операцию транспонирования и в соответствии с первым правилом умножения матриц записать б, бг Ту=[Во Р„..., Р„] =(Р)г[б)=(б) (Р).
(А!.!8) б„ Такая запись часто используется в книге. Транспонирование произведения Иногда приходится транспонировать произведение матриц. Читателю предоставляется возможность, основываясь на приве. денных определениях, доказать, что (А1. Н) ([А] [В])т [В]г [А[г ПРИЛОЖЕНИЕ 3 НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНИКА (ФИГ.
4.1) »»»»2 НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЬ! ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ ТЕТРАЭДРА (ФИГ. 6.!) Пусть треугольник в плоскости х — у определен тремя точками (х1, у1), («1, у!) и (х, у ), а начало координат находится в центре тяжести, т. е. «1 + «! + к,„д1 + а! + у Интегрируя по площади треугольника, получаем ~ хк(«4(у= ~ удх«(У=О, 1 х1 у, 1 1(ха!У= я 1 х! У! =А=площадь треутальника, х» У» 24(хбу = — '4«2+ 2-)- 12(! !»» ~ у« бх 4(у = — (у". + Уэ + у« ), хуи «'"У= 1г («1У1 + "!У1 + х»у»). Пусть тетраздр определен в системе координат х, у, г, начало которой расположено в центре тяжести, четырьмя точками (Х1, У1, 21), (Х1, У1, 21), (Хк» у гт), (Хю Ур гр) причем к +к +к +к у!+у +я +я к +к +«„,+« 4 4 4 О. Интегрируя по объему тетраэдра, получаем х! У1 г1 У! = У = объем тетраэдра. Х» У» 2» Ук При указанной иа фиг. 6.1 нумерации вершин тетраэдра спра- ведливы следующие формулы; ~ х 1(х 4(у бг = ~ у 2(х 2(У 4(г = ~ г к(х 2(у 2(г = О, «2 а!« 2!У 4(г = Ж («2+ 22 + х« + х« ), у 20 (У1 + У! У~~ + Ь)' 20 ( +21+2»+22) 1' У Ху 12« 1(У !12 = 20 (1" У1+ Х!У1 + Х У» + х»ур) Р к2 с!«1(уаг= 00 («121+«!г!+Х г +««22), и У21(х«(убг= — (У12, +у!2!+У„,ге+ У 2 ).
НРНЛОЖВННВ Б НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕ КТО Р НОЙ АЛ ГЕ Б РЫ БЭБ хг — х, сазак=Х„„= — ', и т. д., 1гг (А5.7) (А5.2) Фиг. ДБ.1. Векторное сложение. А В=(в(ьсозу=В ° А. (А5.8) (А5.4) Если А = 1а„+ )ар+ 1са„ В=1Ь„+)Ь„+НЬ„ (А5.9) 1 1=) ) =й 1с= 1, 1 ° )=) й=й 1=0 и т.д., А В=акд +орде+авЬ. Получаем (А5.10) При использовании элементов, произвольно ориентированных в пространстве, например при расчете оболочек и т. п., требуется знание и понимание основ векторной алгебры. Кратко изложим некоторые основные понятия. Векторы (с геометрической точки зрения) можно определить их компонентами по направлениям осей х, у, х').'Таким образом, вектор .Чм, показанный на фиг.
А5,1, можно представить в виде Че, = 1хс + )уг + 1сзг, (А5.1) где 1, ), й — единичные векторы в направлениях осей х, у, х. С другой стороны, этот же вектор можно записать как (хг1 ()г.,) =~у,~ эг (как вектор-матрицу), располагая его компоненты в виде столбца. Сложение и вычитание. При сложении и вычитании векторов производится сложение и вычитание нх компонент: Чм — Чо = Чиг =1(хт — х ) + 1 (у, — у ) + й (я, — э ).
(А5 3) Этот же результат можно получить, используя правила матричной алгебры, т. е. 1'х,— х, ) (1 02) (1 Ог) (1 тг) ут уг хт эг Длина вектора. Из геометрических соображений длина вектора Чм определнется выражением 1н=Ч(хт — х)т+(уе у)т 1-(хт — э,)т (А55) или в обозначениях матричной алгебры 1н =ч1(ргтт) )'((Уа) ') Здесь н Нелее предполегэется прниоугольиея денертоие система ноор. днант.
— Прим, ред. некоторое сведения ив векторное ояеедри Направляющие косинусы. Направляющие косинусы вектора определяются через длины его проекций: где а„— угол между вектором и осью х. Скалярные произведения. Сналирное произведение двух векторов определяется как произведение длины одного из векторов на длину проекции на линию его действия другого вектора. Та- ким образом, если у — угол между двумя векторамн А и В, длина которых 1, н 1ь, то то, учитывая, что в соответствии с приведенным определением При»имение 5 637 Некоторме сведения ив векториод вягвбрм В матричных обозначениях (А) = а„ (В) = ь„ (А5.11) А.
В (А)г(В) =(В)г(А). (А5.12) Векторное произведение. Векторное произведение одределяется как вектор, направленный по нормали к плоскости, задаваемой двумя векторами, и равный по величине произведению Фиг. Аб.з. Умножение векторов (векторное ороюведенне), длин этих векторов на синус угла между ними. Его направление определяется по правилу правой руки. Так, иа фиг. А5.2 показан вектор АХ В =С. (А5.13) Ясно, что АХВ= — ВХАс (А5.14) Отметим, что величина (ияи длина) вектора С равна площади показанного на фнг. А5.2 параллелограмма.
Используя представления (А5.9) и замечая, что 1Х1=) Х1=кХ к=о, )Х)=й, )Х(с=1, йХ1=), (А5.15) получаем 1 АХВг бе1 ак а„а„ ь„ь„ь, =(а»Ь, — а,Ь») 1+ (а,܄— а„Ь,) ) + (а»Ь„— а„Ь„) )с. (А5.1б) В матричной алгебре нет простого аналога векторном> произведению, однако можно использовать для вектора С следующее определение'): а„Ь, — а,ь„ (С) = А Х В = а,Ь» — а„Ь, .
(А5.17) а„܄— а„Ь„ Векторное произведение особенно полезно при построении нормали к поверхности (см. гл. 11). Элементарные площшсь н объем. Если $ и т) — некоторые криволинейные координаты, то векторы д» агд = д„с)п (А5,18) дч дк дх об=бе( 51 дч ду ду д$ с)Ч (А5.19) Аналогично в криволинейных координатах $, ть 5 трехмерною пространства элементарный объем определяется смешанным произведением дх дк дк дь дч дс ду,уу ту дь дч дв д» дк д» 51 дч 51 Л~ =б$ ° (г)т) Х с)ь) = бе1 с(5 г)п с)ь.
(А5,20) Это соотношение следует из геометрических соображений. Прп. изведение, стоящее в скобках, по определению представляет собой вектор, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах с)П и 57,. Скалярное умножение этого вектора на вектор с$ дает элементарный объем. ') 11одробнее см. в книге: Б. Е. Победрн, Лекции по тенворному анализу, Иод.во ИГУ, !974.
— 'Прим. ред. определяемые соотношениями между декартовыми и криволинейными координатами, направлены по касательным к линиям 5 = сопит и П =,сопз1. Поскольку длина вектарного произведения сев Х с)п равна площади элементарного параллелограмма, используя (А5Л7),можно записать ПРИЛОЖЕНИЕ б ТЕОРЕМА ЭИЛЕРА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Теория Эблерв еарианиоллоао исчисления где 1 — косинус угла между внешней нормалью к поверхности и осью х, Интегрируя таким же образом остальные слагаемые в (А6,3), окончательно получаем Продемонстрируем здесь относительно простой переход от вариационного соотношения к эквивалентному дифференциальному уравнению. Однако обратный процесс гораздо сложнее н его не всегда удается осуществить, поскольку зачастую не удается установить вариациониый принцип.
Рассмотрим задачу минимизации функционала здесь 1 — произвольная функция, 11„= дф(дх и т. д., с — часть границы, на которой не заданы значения функции ф. На остальной части границы (1 = фи. Рассматривая произвольную вариацию неизвестной функции 11 и ее производных, получаем ~ (де ~ + дФл ~а+ дФУ ~в+ дФа ~е) + У + ((фбф+вфбр) бЗ. с Поскольку Ьф =Ь( ~) д (ЬР) их д соотношение (А6.2) можно переписать в виде ЬХ = ~ Ы Ь р + д ~„(Ь р) + ...
) сйг + $ (гу Ь р + пф Ь ф) Ю = О. (А6.3) Величина Ьх приравнена нулю, так как в точке минимума (ста. ционзрной точке) вариация обращается в нуль. Подставляя с()г с(хс(рс(х и интегрируя второе слагаемое в первом интеграле по частям (см. формулу (3,25)], получаем д( д (г ~ д( р1 ~ д (д~) У 3 У + ~ЬУа)д+пт+1а д +(У ди +1' д 1с(З' (Аб'4) с Второй интеграл берется только по части границы С, поскольку на остальной части поверхности 5 значения ф заданы и поэтому ЬУ= О. Поскольку равенство (А6.4) должно выполняться при произвольной вариации Ьф, повсюду в области (г должно выполняться условие а на части границы С 1л де +1в дф +1,ЭФ +4+ар О.
(А6.56) др д) д) Если функция р удовлетворяет этим двум уравнениям, то она минимизирует фуикпионал ус г). В случае единственности решения постановки задач с использованием соотношений (А6.1) и (А6.5) эквивалентны. Приведенные дифференциальные уравнения известны как уравнения Эйлера. Если функционал зависит и от производных функции 1б более высокого порядка, то соответствующие этому случаю уравнения Эйлера получагогся аналогично. Точно так же можно найти систему дифференциальных уравнений Эйлера для функционала от нескольких независимых функций р, ф и т, д, и их производных. г) Прн унаааинык условиях фуикпионал имеет экстремальное значение.
Для того чтобы это экстремальное аиачеиие соответствовало мнаимуму, требуется лопалнительвое условие, полробиее смл Г. и. швлои, математический еиалие. — Прил. Уед. Содержанке СОДЕР?КАННЕ кон- 1! 26 44 Глава Глава Глава Глава Глава Глава Глава 12. Осесимметрнчные оболочки Предисловне к русскому изданию Предисловие автора Глава 1 Предааригельные сыденияг метод жесткостей расчета струкцнй и исследование сетей, Глава 2 Конечные элеыенты упругой среды Метод перемежевнй Глава 3 Обобшение понятия конечных элекектов. 4.
Плоское напряженное и плоское деформированное состоягшя . 60 б. Осеснмметричвос напряженное состояние........ 87 6. Исследоваигге трехмерного напряжеинога состояние ... !04 7. Функцнв формы элемента. Некоторые семейства этих функций Пу Глава 8. Криволинейные нзопараметрическяе элементы в численное интегрирование . . . . . . . . .
143 9. Некоторые примеры применения иэопарзметрическнх злечеятов при исследовании двумерного и трехмервого вапрвжеивых состояний 169 !0. Изгиб пластин 186 Глава 11. Оболочки как совокупность плесках элементов Глава !3. Полуаналитвческий метод конечных элементов Применение ортогональвых функций , , . . . . . . . . . .
. . , 274 Глава 14 Расчет толстостенных оболочек как частный случай исследованвя трекмерного гела . 294 Глава 1б. Звдагн а стацноварнык полях (теплопрозодяостц электрике. скнй потенциал, течение жидкости и др.) . . . , , . . . , 316 Глава 16. Постановка нестационарны» и динамических задач . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
