Арнольд В.И. - Теория катастроф (1050603), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ЕВ»ж! Рас. 84. В»тип» гуувсы Гз — ты»»чав» сс таю изь 1»»азыюп ююымтга ыирюыс а с зрюг диффсаморфиа мвогосбразщо вврегулнрвых орбит группы Нг в в»которой точас. А ам»»по, пужиаа то кга лтжит иа касатзльвой к гзодэзичэской пс поюрквости прспвх«лвиа, имеющей з лзраболвчеснсй точас кзсаииа аспмптотвческсс для поэзрхпогтк взирав»ээээ (О. П. Щербак, 1984). Не прогал»у» ва полноту, »приведу «дзсь лоскочьпо ярких работ, алторы ггстормх рассматрюжли сссбеввооти, бифуркации п катастрофы в скот»мах общего положэввв„ ювяикающвх в раалпчиых областях »кави». Каустпки жтрсчаются уже у Лсовардо да Вввчи, пава»низ мм даз Чиригаузои.
В 1654 г. Гюйгспс построил теорию вволют а ввольвент плоских крпзых, обваружмв одновременно устойчивость тот»я всзвраю яа к»у»тиках и волковых фраптах (т. е. сборок соответствующих отобрюкевяй). Пврсстровии фровтов ка иласкоств я»спецов»лись Лопат»лом (около 1700 г.) и Кала з 1868 г. Гамитьтоэ з 1837 — 1838 г. применил исследожвив ярятгчсоких точек семейств фувкцяй» ивучепяю особсинастей систем лучей з гэомэтричсской оптике, вроде иоввтсскай р»фрак!!ли к двойного лучспузломлсвэя.
Ямобя в леяцэях пс даваыикс (1866) исследовал иаустика скот»вы юожаичгоких эллипсоид», выход»щих з одвой ники, и обверужвл усюйчкэость точен возврата на каугюиках. зз Алгебревческие геометры прошлого вака хорошо ввели типичяые сссбеввсств крвзых (Плюкнер) в воверкпссзей (Сальмоа), дзойсгве«амх главкам. Ласточки« квост вод. робко описав Крокекерсм (1878)и входил а учебники алгебры (Вебер, 1898); его мошяо яайтп в каталоге пшсозых пшерхксстей (Врклтв 1892), имеющихся а «абвпшех геометрии шарых уииверситетов. Типичвыа оссбевиосги отображений позерхвостей а трехмер»оо прогтравгтзо (во«тик Уптаи, *з = хрз, полозила которого иаобрежеиа вите, вв рис.
31) пггледоваяы Кэпи з 1832 г, Кал«иаучал также жгшетрикз сиезйстаа окаидвстюы а кеустпку греховнего эллипсолда— тем самым звошелекз, пвабрвжев«ый выше, яа рпс, 39, е. Ов «впо сформулировал задачу о товалогив семейств ливвй уров«я гладкой фувкда» общею псложеавя (1888) п исследовал бифуркадил в игкотормх типвчвыч треъпа. раветрвчееких семействах функций двук перемеввмх. Алгебраические авалаге теорем траясверсалыгостк теория оссбепвостей систеыатлчеени ислслыювзлж:ь алгебраическими геомегремп, ссобеппо итзльапской школы (Г 1г , 1882 » щ .). Пуавкаре далеко развил теорию бифуркаций (включая более слсжпые, чем збпфуркацвя Хосфаз случаи) в своей диссертации и в «Новых зииодах избеспой мехаииюо (т.
1, в. 37, л. 31; т. 1П, гл. 28 л т. и.). К сожалению, беохитрсетпыэ тексты Пуаакаре трудны для матемахи»оз, всспазаплых на теории мнюкесте. Пуан«аре сзывал бы: звряыая делит плссиость аа дев полуплссмсстиз там, где савремеввые математвни шипуч простоз емвнжества зсласссв аке»вэлекхпостя дозюлиенв» Р' ' Пз к прязюй Рз ка плоск юге П', овределаеммк следующ»м огиашеиием экаивалевтпостиз две точки А, В ы Из ' Кз вчитаются эквзпжлевтвыми, если соединяющяй их отрезок АЛ ие пересекает прямую Р', состоит иа двух элемепесвь (цвтврую ло памяти иэ школьвого учебника).
В пиита вМазематичгское наследство Пуаакарез, иадаввсй Амер«капским мажыетическим обществам, лаписаво дыне, шс Пуаикаре ве зивп, что такое миогссбраеие. В дейстзвггльиости определевие (веществе»пего) гладксга мвопюбрезия з Апа!узц'91вв Пуавкаре полроб. во ивложапо. В гсвремепаых терминах о»о та»оеог ззвогообраэаем вавывается подмвоююбрачие евнлвдсае врост. равстаз, рассматриваезше с точаостью додиффеоьзорфвзма. Это простое определевпе вастолько же лучше совре. венных аксиоматическвх ксвструвций насколь»о сире.
далекие грувпм кая (рассматриваемой с точво тью до изоморфизма) группы преобразований п определеиие алгоритыа, освоавпвое иа лавой-лиую (уеиэерсальяой) мявшие Тьюривга, «о»»тасе абстрактных олределеяий. Абегравтпые определевия воавикают пра попытках обобщить авапеаыа попятил, сохрап»я их со»оазис сзоб' сгез. Теперь, когда мм внаем,что ати попытки ве приводят к реальиому расширению круга объектов (для мнсгоебрааий ето уставовил Уитаи, ллн групп — Кали, ллл алгоризъюа — Черт), ве лучпзе ли и в вреподваавва вервутъсл к зава«выме определениям) Сэм Пуанкаре подробна обсуждает методическве вреимущестее наневых овредъзекий опружвости и дроба е зНауме в методез: невозможно усвоать правило сложения »робей, ае разрезая, гота бы мыс»свпо, «блока ила лмро .
В 1931 г. А. А. Андронов выступил с обширной прс- грамчыЪ, отличающейся от совремеввой программы катастроф»шов толъка гем, что место еще ке соэдаввой к тому еремепи теории особеивоглей Упхвв эаяамвют качссгвеп«а» хвора» дифферевциальвых ураале«ий и теориа бифуркаций Пуанкаре Идеи структурной усюгйчввоств (грубости), нораемериосзтг (сгепеви пегрубсстл), бифуркациоввые диаграммы, «вавя классификация бифуркаций общего положевпя и даже жследовэпие окладои исборок глэдиих ысбражевий поверхностей вэ плосиость »вио врисутствуют а работах А. А. Алдроваза и его впюлы.
Филин« асегда испольаозаля более вли менее екваеалеаг«ые теория нахастроф построек«а вра исследовании воакретвык еадач. В теркодипвмике ати лаев систематически испольаовелись Максвеллом в особенно Гиббсом (1873). Перестройка пээтеры диаграммы вав дер Гаальса — тяп« шый пример приме»свая геаметрзга сборки. Анализ асимптотикв а окрестности крихачеокой точьи быстро приводит к покамавюо пеаависимссти шай геометрии ог точного нида )рвввевия состо«ивя — факт, хорошо известный со еремел Максвелла л упоминаемый в болыпивстпе учебников термадивамикв (вапремер, Лакдау и Лифлгкца), Предложенле Максвелла провести гориашзтальаый участок иаотермы так, чтобы площади ззуиск взд а под ввм была разию, означает переход ог одного ке двух моклурврующих зпппгмумоа потенциала к другому в момент, огда второй стаповится ниже.
Соответствующая бифурквциокаая двагрэмма в теории катжтрсф ваеывается сыр»шел Мяжлклла. зПреаило феаз Гиббса 93 доставляет тоасаогическве огрзничеаяя па стрсевие этол в подобных ей бафургзционныт диаграмм (открытие необходимости строго докэзмзвть поцобвые факты — заслуга м*:чматики ботев поел»его пераода). Гиббс также нано укаавл иэ свя»ь термодияаывкв с гесьгетриев ковтакткой структуры. Геопогишокш аряиеиеаик звал аза осьбеквссгей ука.
аввы Сярейиемакерсом (1917). В теораа етецлового еэрмвю Семенова (1929) а в работах его последователей ло теория гаревая явао ааутатл;ь лерестройки стад»оп»раях режимов лря азмеаеввв вагггаметроо, что пр задало к необходимости лсследозаив я гггладск. к сборок, а более сложных ситуаций.
В част- аоста, в работе Я. В. Эельдозача 1940 г. »роалалвзвроваяы явчаяяя, врсискаяяжле лра морсовсяой перестройаг «Ризой рвввоеесий ва ласс»ости фээазов перемезвой и авраме ра (рокгдсиаи исаях островков вла их слиянва с аововиай красой). В созремеииой матечаткчесаой теарии аватогвшый а»элиз вы»слави лишь в лослегьияе г лы. длалвз еоляавогс леля вблизи «аустяки и ее особе»- вестей привел Эири и Пирса к осциллвруаацим вятегравам, фачн ьаторых доставляет корчэльную форму склад«а и сборки соответственно.
В связи с этим стоит отметать, что иайделкые М. д, Леоатавичсм и В. Д. бгокеы всамвтопгкв лола вблизи граиицм до сих лор ве »ереваржм теориеа катастроф. В теорва улругсств Ксйтер е 1946 г. обааруглял лечу- ф ~ кубическую особеввосгь е зависимости гредельаой ва. грузли от аецевтральвести ео лрилажеваа в задаче о лро. щглкввавии арки. Сцециалисты лс теории увругоста ас. польвовалв геометрию сбории дтя выбора арсграмм испытавий упругих ноэструкцяй, ври которых ве арсис»одвт лрощелкивззия яесыотрл аа вмсоаяе в»ору»ли. Вьжасаеава в атик вослед»авилах сбычао арсзадвлвсь беэ общей теории, ав счет правильного отбрасываив» од»их члеяов р ла Т йаор а о ела друг » с болое ваагамхк Из флавиев, ссобсвва слс-еиатическв а имев» славших теорию катастроф до ее аеааиияозеиля, отлет раособо и»делать Л.
Д. Лавдау. В его руках ш,куштво отбраоывап «иесушествеивые» тлеаы рлла Тейлора, сохРаааа мель лис ло асличиае «фаз»чесли важныез члгыы, дело много включаемых в теораю катастроф реа)льтстоз. Так, в работе 1943 г. о возввкяозеиаи турбуле»тяооти Лавцау »рамо выписывает этим методом урал»саве «би- зэ фурнации Хо»фаз дла взадрата амплитуды теряющего устойчивость колебания. Теор»в фааевмх лерехсдав второго рода »о Лаллау свалите» к ее»лизу бифуркаций критнчэс»ах хочеь симметрических фуакций.
КривыоЛаядсу з заорав фей»маковских лвтегралоз, зввасящат сг параыегроз, с вх уг"той'с»вымя точазил ссазрата, включвютоя н числа есяоавых бвфуркаггиоваых д»агрзмм совремеавой теор»и катастроф. Коасчвс, совремсваал общая теория лоаволлет с меньшей аатрагой скл лсследсвать более слсгквые особе»кости. Однако лаабачьшую ирактачесггую деявость амеют» большаястзо случаев ииовва всслеловааия ааибслсе просты» и часто встречающихся особеаиостей: затрата сил вн лреодоленве техмвческвт труда»стой, стоягц»х лз лупг иссле. доэз»иа более слоягиых случаев, ис всегда оправдывается вравтической цсяностыо получаемых роаультатоз.Напро. тиа, фувдамеитальвыс работы лредшсствеяаикса теории катастроф (дав увозя»утых выше, тэк и многих другик) сохраляют эсе свое зяачевие и теперь, когда их математическая структура вполне »мясвев» тесрилм» особенно. стэй и бэфуркаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
