Арнольд В.И. - Теория катастроф (1050603), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Нарисуйте поьерчногть уз = зтхз п еров«иге извет с рис, 45 к с прелыдупгей аздачей. 52. Нарнсунтг обьедкпеаие касательных к нриоой г(1, р, Г'д н срзвлнза с «родмдупта«и аздачами. 63. Докаягкт», ч обыдакеаие касательных к прост ракотвенной «раааа общего полщкщня локально ифд фооморфоо поверхности у' = зззз а о рестносги «аждой точки, гле кручение крпоой обращается в нуль.
К разделу 9 54. Определить плпгяость аы.ывилной тяготеющей одномерной среды ип щмкнутой «рквое а фазоввй гыоеяости тюг, чтобы лри дьигкоанн часгоц зга крякал и ота плотность созрапялпсь (у к а а а н и е: криза» д' + ! ' + ) р и =- 4)27). 55. Докжать, что пря лронтаеио однщюриого потока пылеоидаоя среды, олределяюгцего оераооачально глад«ое похе скоростей, лад скопггением с коренной осабсн.
аосгью плотности (а (з, г) ж'"9 (х) -!. Ь (л, !), где а и Ь вЂ” аадавоые гладкие фукалки, а оь О, 9 (з) = О орк х щ О, 1 при х ) 0) лиле скоростей пркобретает слабую особеаность вада с(з, г) х™6 (г), гладкой заменой поре. пеплы» нозкяо свестл с к едкаицо. 56. Рассмотрим Н частиц в едиаичаом кубе н окружим каггшую иа пик шаром радиуса г. Прн каком минимальном этн шары образуют свяыгую цепь дпаыетра ецнницаз Покажите, что рзпиуь убивает кок СНУ !\ля распределеанй частиц вдоль лапай, кан СПНгз длл распредоле. ннй вдоль пооерхоостей. оак С(дчы для пространстаепюзх раьлределеаай (еычнгляемая таким спщобом зра»- мери сгь «рупзаыасгот 6«ого распределенно галактик ояаы,л ются т жащей моиз! ! и 2).
К рааделу 10 57. Нарогуйте многнесг го вегладкостп функция у (у) = лз!и (ппа (х' + у,з" -г- у,), у,) и сраввите с рве. 53. 53. Нарко!ага перестройну ливий неглалкости функ. ця Г (уп у, у ) = ш (уп у», уг -1- у ), аадааоок з треп. меряем нрострапстае-аречьои, на иаохронах Г = сонат, для функции времеви ! = у, + !й 4- у, 'п сравните с рис. 53. 59. Докаогите, что особеаоостк поверхностей уровня общего положепоя функций максимума типнчнмх параметричвсних семейсто фуакцпй талие жо, как особеннастя графиков функций мазо«мума я — 1-параметриче- гаих семейсг» общего положения (првчем мвсяюстве меаьюах еиачевий состаезствуют вас<рафикам).
В атой сигуа«»в «хоро<пас» емочевия пар«ма*ров ю, в «оторых фувнлии маясимуме меиьме факс«рова»вой «овс<автм (а <хорошие» влача«па нсвстаатм — та, »оюрыв больше мая<имума). К раеделу 11 БО. Рассмотрим уравнение й + й» ~ л = О. Определить„казас »затевая й о<вече»я сложеавым фокусам, наине — юшжеяаым у»лам я каипа — сложе»- вым седлам ла плоскости (х, В = лз -'г Лз). 61. Найти повар»вость, юиюпотячеспие лаяв«ко.
чорой обравуап лоиааьво сисюму иптегральш<х кривых сложенного фокусе (уела, седла). 62. Дакюю<те„что ватегрельиые кривые сл<вкеваого седла, сссзоетсжующне лежащим по одпу стсрсяу ст склалюз сепаратрвсам, подхояят к особой мжке с проша<о положпых старо», а явтегральвые кривые слажвпвого уела, соответствующие лежащем ис одяу сторспу <я складка «ыдюзаавым фааовым кривым уела, подходж к свобой точке с одвай егоровы.
63. Рассыотрии й-парам«граче<кое семейство юищкик зяпеп<юаорхнсоюй в в-первом линейном прсглравсзве, сиайвеявом проекцией яа я — 1-мериле повпрестраастео. Насвахько вепппюим может оказаться видимий вовтур, если проектируемая поверхность вьюуяла, а сеыейстао— общжс полсиюпииу 64. Найти число модулей ссобевяастей выпуклых оболочек тиаичаых гаадиих поверхностей в чегь<рехмервом простралсзве в твпячвых гладких подмаогоооравия' рея«ариосто 2 е плтимсриои пространстве. К равделу 12 65.
Нлжкая кривая, хвайсзвеивая и правой у = тз + + емз, двффеоморфва исход«ой «рвы<6 а деойювевиая к двффеоморфпой ей «рявой у = тз<з — пег. 66. Кривая, деойствеаиа» к твкачвсй «ривой с осабеявсотзю стого»в 5(2, выест «одобьзю в<е ссобаапость. 57. <(псле (кемялексш<х) особых мжек тмпа 7 (см. рве. 64) ве тавячпсй алгебремчесиой поверхвостя достаточно болелый степе«и б репка 24(4 — 2)(116 — 24)„ а типе Ь вЂ” бд (А — 4) (76 — 14.
1Ш 66. Когда поверхность уровня звпячиай фувгции трех перемевкых прпближаешя к поверхиости крятпче. скщо уров»», в «рыпг<еской точш всчевеют 24 (коыплексмме) то'пщ таза 7 (рис. 64). К раеделу 13 БО. Оаопыюита плоской кривой, проходящая черве ебмквоеевмую точку перегиба «ратай, юееет а ией особеииость типа 5/3. 76.
Нарисуше «вахш»«ты кубической параболы у 71. Нарисуйте график (трехвкечяой) фу»нцив времени вблизи точка кубического перегиба сграначивающей преп»тотеме кривой иа илом<ости. 72. Нарисуйте пошркяость, образованную в трехмерном про<тра«стев лв«ейных еяемв<пов яе плов«ссзм елее т, сез ол й куи ой, ебливи точки («убаческозо) перегиба атой криков. Каипа ссобюикютв имеет ата ковер»носы и какие — ее щюектароввиие аа плоскость (сопостапляющее ива<даму ливейаому вламе«ту точку его првложепяя)у 73. Рассмотрим иа поверх«соти крепятатвил фупкцвю, резкую сумме расс<ма«яя до жли (по вря ой) и рас палли» до неиоторой вачальпой то пж вдоль поверх«ости препятствия.
До«а«вюе, юо кратаоств «рвтических том« юой фувкд»н юмам. * 74. Уравнепив С вЂ”.-г )(<е Р ЛГ + В)< АГ х< -)- А«+  —— с = О, опредехяюх в пространстве с каор»ивет»ма (А„ В, С) воверхжють. Нарисуйте шу попер<вость я иоследзйте ее особенности (ока локально диффеоморфиа фрее<у аростраиствеююй »»дачи сб обходе препятствия е точке, соотвечствующей сборке гауссоаа оюбрапим<«я лучил, я ее ребра еоеарвгв степени 5/2 имеет аадуаубяческую зпчку еовврата» начале коордокат).
Н рааделу 14 75, Сиохь»о симл<с»тически»ееквивалептвых плоскостей реемериости й имеет сямпхокшческое прострая стао болыаей раююрксств) Докажвтее чзо «х число рав во целой частя Нй, 76. Не»ням флагом в амвейвом прострекотав наеьз вается в»бор ивяоследеааюль«о ваажевиых друг а друзя подпрестраяств всех ратмсрвестей. Сколько свмплектически пезиеквелепт»ых пол»ых флагов имеет сим»леитическое лрострапсхво размерности 2»1 Дока»юге, что «х гиспо рвало (2» — 1)П .= 1 ° 3 5 ... ° (2» — 1) 77. В простравство олдородимх ывогочлевов вьщтвой сте»епп от двук подоме»пых имеется симплектическаа с ругпура, явеариамтяая отпоонтельио естестнепвого девстзия группы сохраняющих пзогцади лщпйныь яреобразолапвй плоскости; отз струвтура едилстве»па (с точвостью до воиулевога множителя).
Найдяте ее веков выражевие чорез кооффвциевгы мвогочлеиов. 78. В как<дом слое леграннгеез рассгюеяпл имеется естествевпав повальная аффиввая структура (пзбраввый власе потек коорд~лат, в которых петра»жооы зкзквазевтвощи задают аффпявые преобра охаяла). 79. До»аж»те, что график преобреаоеекия Лежандра глздггой фувьп»и ивляют» фронтом (образом леже»дрова отобраягевая гладкого ложавдрове мвогообреаия), 80. Псвоьаоия перпеядпвулиров, апущеквых ггз »ачаве коордвват оа ьасахельные яоск ст» не содержащей »ачало коордккат пщ ерхвогхи в Евклвдозом прострапство, образуют поверх»сото, вааываемую яролзаод»оп (исходкая жо позерхпссть вазываетсл лервщбраавой для своев произзодвой).
До»аз»»ге, чхо особеввостп производпых гладких поверх»остей — лежавдровы (т, е, что про»аоод»за дпффеоморфиа фронту лекгвидровв отобрзжеи ля). 81 (прадозвгевпе). Докаж»хе, что особокяостп первообраз»их гладких поверхвосхей — пожаидравы. Нарисуйте первообраз»ые ел.гипса ка плескает» о зззяпсопда з трехмерном простреястве. 82. Фровтом какого легкющровв стобзаигевв я явлиотся зкевдпстапта гладкой поаерхвосто еввгнщоеом просгравствеу 83. Фровтом какого лежащгроаа отабраже»ия явияетгл П ефвк (мвогоавачвой) фу~кцив расстоввмя до даяпой л л ой и ерх .м в ввд в г ор тр 1 81. Докагкпто, что в слоях лыка»дрова ресслоепиа пыеются естесююквые структуры лопальво вроективпыт простравств (тав что ловгаидроаы аквивззеит»осев, т.
е, дяф(юоморфвзмы, сохравяивцяе воитнитвую струвчуру и с 17»туру лежапцрова раеслоедпн, ведают ив слоях прооктинкые вреобразова»ия), К разделу 51 85. Продолжи» действие группы, порождевяой отр»- »»виями плоскости в двух составляющих угол я)р зеркалах, яа помплек вую пзоскщть. Докажите, что мвогообрнзие орбггт само гомеоморфво «омплгкс»ой ллосьосгв, а миогообрааие перегуляр»ых орбгп (орб»т точек зеркал) — кривой Ю = иг' ии плоскости двух коипиоксяых перемевкых. 88.
Продотяг»м действие групщл, порожде»пой отражс клык в два~ъпалгпь х плоскостях х, х трехмерйого пространства х, р х, -';- хе -1- зг = 0 »а комплеловое прщтрапства Докажите, по мвогообразпе орби — трехмерное комплекс же простравотво, а мвогосбразве верегулврпых орбит — ко»тле»опий ласточка» хзоот 87. Пе рис. 81 пзобрюкеиа веществе»ков часть многообразия иерегупврвых арбат дейст кя группы спмыетрай икосаодра ва вомплевслом оросхрапст е. Где располагаются вощесюепвме орбптыу 88.
Преобрааовалив группы ыояодромии, заданные фтияциев х' — ех -)- уц левстнуюг ве горе беа точки. Двгзлщте, что любую замквутую весзмовересекающуюса кривую ва торе без щчкк, »в стягиваемгю ка тор, ыожпо пзрезеот» в любую другую токую «рквую преобразование» ле группы моводроыии. 89. Сколько ручек »мгвт коы»левсиая ливия яеосо. пего уровяв фувкцли а" -)- ос 1 Доказ иге, что ях число р..епа б, осси к = 2у .1. 1 ш» 21 -~- 2 К разделу 16 90. Степеил преобразовавия компвеколой »лоскосхп в себя (з, к) (оз, оп), а = е'ып, образуют групву— биларкую группу 7-угольппка. Дол(а»гггто, что все анвар»а»твко отиосителзво ахой группы мвогочлеггн вырою:ются через Х =- ье, У = ие, 2 ав о что мпагообрае орб т сов».даог с орх осью ХУ Хт ро мери ч ьоывзексвом прострапство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
