Арнольд В.И. - Теория катастроф (1050603), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Имеют ля точки сборки стобрагкепяе (л, у) (х' ф пу, ух ф Ь*)? 13. Давсжите, что кисла ~очек сборки отображспмя (обпюго псиажевия) сферы»е плоскость четко. 14. Пусть яа сфере дала фувкци», вктеграл которой па сфере равен нулю и для которой нуль — пе критическое аиачек~е, Существует ли гладкое отображевпе сферы яа плоскость, асс особенности которого — складка и которое имеет а»облаком даввую фувкпщо? 15. Докажите, что отображенве сферы ва плоскость, все крвтпческие точип которого — складни и сборки, мо.
и<ет имехь лпв»ей критичеснят точек любую (кепустую) гладкую кривую ва сфере. 13. Предположим, чж есе критические гочки гладкого етображеивя сферы па плоскость — складки и сборки и что число аблапюй иа сфере, где гггготгван отображеипя псложителеи, равна а, а где ои отрицателен — Ь, Дока. жите, что числа сборок по мекюпе, чем' 2(а — Ь(, !7. Сопоста им каждо гу вектору»ормалл к ечлипсу его коиец. Докажите, что построегп ое охображеипе цап»мира ка шгоскость имеет четыре точя» сборни. 18.
Коля эаыс~ить е еедаче 17 эллипс кесамсперосе«апгщейся кривой общего полоягепия, то число точек сборки соотеетстеуюгцего отображеии» пиппидра ва плс. скость ие меньше четырех, К раэделу 3 !9. Рассмотрим иа вял~псе фуккшпо ерасстоянпе от точк» эллипса до фиксироэапкок ложи ююсксстпп Крит»- ческве тачки талях функций образуют повсрхиосгь в трехьюр~оы мвогообрааид — прямом проиаведовик эллипсе ве плоскость. Скслыга сборок имеет проектвроеавие атой поверхности ва плоскость? Как выглядит мвожестео критических эвачевпй прооктирсэапвя? И). Рассмотрим в пространстве фу»який ва опрувглошп множество всех функций, имеющих «ратные крптиташпге а»ачеиия.
Лежит лв ага гиеарпоаерхвость в пространетве фугпкций одкоеторовве или деусторовве (т. е. можно ли ее спабдигь травсаерсаль»мм каправтекием, меняющимся вепрермеповплоть до точек самопересечеппя и граппчкьш жчек)? К рааделт 4 21. Рассмотрпч параболический цилвидр, опираа: пгпйсн обрааующей прямей иа горяэоятальвую плоскость. При каких положеамгп де»тра тяжести цвлвндра кад точкой касания»олсженпе равновесия устойчиво, а при калик — пег? Исследуйте особеииоств гравпды области устойчивости. 22.
Нарисуйте графвк фуккпия /(и, о) = ш!и (х' —, пхэ+ ех), К рааделу 5 23. При каках авачсииях лара»отрав терлет устсйчпэссть положевие раэвовескп системы Х = л(а -1- Ьх -)- -1- су), у = у(б -)- ек + /у), для которого ху ть 0? Как выглядят фаеовмс кривые при этик авачеипях параметрое? 24. Рассиотрим гладко эаеисящее ст одвог'о параметра ее»тересе поте ва прямсй. До»алеете, что гладкой аамепай параметра и гладкой ха»евой координаты ва прямой, гладко зависящей ог параметра, такое попе общего положе»ия пр»водится (е окрествости бпфурциругощей особой точки) и полю, опрелеляиппему эвалюдиовиую систему Х = л' + а -1- / (а) х', тле / — гладкая фувкция. ив параиетр (а аналитическом случае асс аамежс мажпо сделать аиалптическпми).
25. Исследуйте яонерьвость раакоеесий ааепоящего от двух параметроп семейства урапвеипй Х =- †-!. ах -'; Ь и сообе»носит ее лрсекхировавип ва плоскость параметров, Какая часть поверьвостп раввовеш й Юх саотвстыкует устойчввым положениям раввовщив? Ио. следуйте ыеведевие фазоэой точки зцы медлеввоы изме«евое «времетров а (Э), д (Г]. 20. Составьте однолараметрачесисе семействе «октареыь молей яа прямой, соотвегщкующее бифуркацилм рис.
Ий К да«делу б 22, Мягво или вгсство тернет устойчввость иал э«свис равяовесвя системы э = (гы + а) э 4- Сэ ( з (з врв вроао«где««в веществеююга ларамехрв а через куль) Сревиихо реэулжат с рис, 15. 28. Задайте формулами бкфуркнщю рис. 21 (комяовевты кеэл — ыногочлсиы степе«в 5). 20 Исследуйте вожрэз устойчиеоств цвкка з =О, ) = 1 снетеюз 1 (а — 1+ 1)2)з+ (а+ 1)Щцхщ(з.р ую)э Ю = гл'+ ы (1 — ) зэ (з) при прохозклевяи вара«стра а чере» иудь. Найдще ирибавжеияо ответеллющвйся двукратяый цикл и исследуйю агы устойчивость.
Сравюзте результаты с рвс. 22. 30. Исследуйте бвфуркацви фаэового портрета сжтеыы, оовсыеающеа рсаовавс р!9, й 'Ю 5, 1 =- ез + -~- з) з ("А ф з(') + Рты кра обходе малого коивлекс«аго эвола е зикр)х вулв (А — комплекс«ел фувнцвя общего ясложевия). Срэаюые результаты с рис, 23. 31. Исследуйю бифуркации Фазового портрета системы, евасыеэющей рево«вас 1 ." 3, Э = се + Аз ( а(з -1- зх ари обходе камилексвого паразгетра е вокруг «уия (А— комолексвсе чвсло общего иелоыеиея). 32. Исследуэпе бифуркации фа«мого портрета сищемм, ооисывающей ревованс 1 з 4, Э = щ -(-Аз(э('+уз, ври обходе «омвлексвого параметра е во«руг вуги (ва плес«осте вамплексвоео пере«сапого А «заест«с 48 облаогвй, равличающвхов цепочками бифуркаций, ио ве докаэаво даве, что число разных устойчваых цепочек «с«ечяо).
33. Йсследсвать еаыпвэаи«е «стерв устойчввоотв з скстемэ Э (з+ а) з — з(з'г+ Ь ври медиемвом изме«свми кара«строк а = Ы, Ь =. сж. К равделу 7 34. Кайте граиацу уатойч«вост« семейства удав«юг«й Г + оз .(- Ьх = 0 аа плес«осте мецщтвеяхых варвметроа (е, Ь). 35. Докааать, чю гравице устойчивости семейства ураввеэмй з + оз -'г ьэ -'- ел = 0 диффеоморфна «оверхисстя вл = я'ь-', и ~ О, « ~ О.
36. До«звать, что граница устоячиеосхэ семейства уравке«ий з ф Аз + Вз - 0 в трмэмерком пространстве (щ А 2 двффссморфва воварквоств яз иээ, и 'ы О, э~О. 32. Найти число тинов ссобевасстей гракицы устойчивости семейства общего волсжекия ливайн«к миогомервых систем, ввэксязаих ат четырех караиетров. К разделу 8 38. Исследовать особевиогли наустики (огэбчюпзезт семейства н»рызл Ь) трехоошго элтипсовда. 39. Исследовать оссбевиссти кауети«я — огкбающей семейотаа геодевяческик на еллкисоиде, выходщцих яа одной тоски.
40. Докааать, что кауствка — огибэюлюя семейства «юдеэвчгскиэ любой римавоеой метрики общего полодеяла ва сфере, выходящих ив одной точки, имеет ие мелев четырех точек заввраза. 41. Доказать, по обход«из«ве касэтельвых врямыз в кривой ИФ, гт, Зз)) двффеоморфво мвожещзу миогочлевое лз+ оз + Ьл 4-с, имеющих «ржи«с вещественные кср«в.
42. Дскьежь, что гладкая фуювюя 1 (а, Ь. с), щюкваодяал «второй ло е в начале координат откачав от куля, ярлводатсв з оярестнсств нахала «сордвват к ввду -да + совм гладкой заэгеаой воордииат, сохраюпащей лащочккв хвост вредыдувзей задачи. 43. Докеаать, чю гладкое везпоркое воле, вектор коюрого е начале к юрвкиат имеет веаулевую с-комповеиту, сриводвжя в омрествооти вэчела есордикат к полн> ~д!Ос (юдающему систему 4 =О„Ь = О, д=-'-1) глзд«ой самс«ей коордвиат, сохракякчцей лапочкин хвост двух вредыдущах задач. 44.
Пусть болыаа» каустя«а в трехмервоы щюстра«- ство-эреьзеяэ образовала теми а«ачеииями да(«метра й (бз, 9 Уэ), «Рк кстоР«х фУккЦва лз .(. Узза + л 1Щ имеет вырождевпые критичесние ~о~ка. Нарисовать перестройни мгпоаенных каусгик, получающихся при пересечении большой яаустик«иаохронзми, для функция времени ! Н .й д,. 45. Доказать, что фунт«цап «ромена общего положолия приво«атея в окрегтпостк каждой точки большой каустнкп предыдущей з дачи, лабо о анду г = д, -! сола!, лаба я вияу Г = ждз шда + сощт гохраияющим агу большую кауетнну диффеоморфозмоч пространства-вроьгави.
46. Пусть большзг~ каустиоа а четырехмерном орастрапстве-ареьжяя образована таял значениями параметра д = (дг, дз, дз, дз), лрн которых функция з .!. д,зз ф + д,з имеет оырогкдонныо крпточесиие тачки. Исследовать аерестройкп мгпоаекных наусток, палучающнхгя пра пересечении большой каустика изозронаын, для функции зреьгвап ! = д, йда ~д». 47. Нор«совать пооерхногть, абрашьанную темя знающ«яма параметрл д, пр» которых функция х'у ~ у' + .(- 9,у' + щу + щз имеет выроягдг оные критические точка, 48.
Пусть больюая коустияа а четырехмерном ыроотрщстао-кремона образааава теми ана енкямн параметра Н прн которых функции лгр ф у' + д у + д уа + .(- д„у + д,з имеез аырозкдеяаыв ггратичщаав точки. Исследовать пергстройк» мгновенных каусюгк, получающихся прн пересечении большой каустикн иаозронамн рааличаых функцай аренелл общи о положеакя. 49. 1Нрисуйте обраа плоскости (и, о) а ео разбкепоя на лрямме н = сопя! (поа аа кривые ! = солт!, где дг(да оо 0) при отображении (о, о) (я', и„ип) в трехмер«ое простралстао. Сравните ответ с рве. 46 и с рнс.
31. 50. Нарисуйте обрао поверхности общего положении с позукубнчесииы ребром оозьрата прк отображении складыьавкн трехмерного прг.сгранства (и, о, ю) (п,о, кя) (предполагая, что косатслыжя плоскость нооерхнссти а точас трансзерсального переоеченкн ребра аозарата с гыагкостью крихичгсних точек ю = О по содсржиг ваграеленпл асн я). Српвните стает е рис. 46. 5!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
