Арнольд В.И. - Теория катастроф (1050603), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Вто семейсхно опазываетсв двухмерным лаграпжевым поды»оюабраавем четырехмерного пространства всех лучей.Но в отличие ст ранее нстречеюнвхся вем лаграюцевых педмвогообразий ато лагранжева мнагсобрааве сыча имеет особевиоагн. Особеаноспг ети вроявлвнпсв там, где срмвающпйся луч — асаыптотвчесапй для позершюств препатстзип. Тепле лучи образуют робра повара«» (тына пг = уг) лаграювеаа иваго бравая срываюпршсз лучей.
Нв атом ребре воаврата есть юде особые точки, з оа!мстноств котрых мнопюбравве срывавецихсв иучей уст. росно цаа расарытый васко ~ив хвост (поверхность е чеиирехмернам пространстве мвогачлевое з' -! ахз + Ьх' + + ся + й„ обуто»авиа» многаю евана с трехаратныип параями). Вта поверх»гать встречвегс» таюае в других еадачах теории осабенвастей (ааарпмер, прв исследован»и замечания хаустиаи ребрами воаврата дввжущихс» волновых фронтов) и яеляетс», видамо, одним из основана приьгеров будущей теории лагрзюкеаых маогоабраепй с тибенвостями. В евнлидавой и в римаиовой геометрии вместя гХ ширяев теория ввешней привязные араме впутрспвпх ыюйсти исдмнсгообрзаия, определяемых его метрикой, имеются еще раахвчия в расволожююв нодмпогосбраанй е одвизиавыми внутрепяиив юомюриямв а объемлющем пространстве, В симплеатвчесиай геометрии„вак невинно дава»ез А.
В, Гивевгаль, дело обстоит вранге.' виутремняя геомег рвп (сувюнве сымплектическай структуры на множество ьасательньщ ненторав н падмпагообразию] онрецелязт ввеювюю. Иными слозаыи, пад»мог»обрезал г одияаюаой ыгртргмней згаагтригй ат пь»о игдгггдзтгз друг г друси гагдшгзмщим гилиыппыыскую п пи»туру дагууаоыарРтьиаы абъюгхющаю прасиграистт. Одеев агпрывеетсп новая глава тюрни агабепностей— исследсвюше особенностей раепааажения поцмвогоабра- зий в свмплеятвчеснаы пространстве, ва зажвсеть нато- рого обратил анима»не Р. Мельроа в ведаанвх работах па дифранции. Начало нлжсифивагши танах оссбеввостей иалучаетс», по теореме Гизевталя, е» рсзультатоз Нй Мартине и его посзецеватеией а зыртздеяаях снмплентичеспой структуры.
Например, дзухыервае подивагообразие абщеге поиожеаия з чзтырвхмерпсм сииплгнтныюзом простраасгее лаяалыю «рнводится ссзрааяющим симплентичесяую структуру преобразованием а одной иа двух аормальвых форм: рз —.— д, = О илв д, = О, р, =- Гф. Н» вечетвамераых мвсгаобрееввх ае бывает югмплептвчесвах струвгур, ва нато бываюгкоатвитиые. Банга»гав» геомюрвя «греет для антики и теорем распрострагмвия волы такую же раль, вак свмплептвчесяая для мехав»ни, Нажантаая труьиурз на ясчетвамервом многообрааив определяется выборам в касательном пространстве в каждой тсч»е пшерил юности (водпрастрюилва цорсзмервасти адни).
Дза полн гаперплосвасгей иа иногосбржии фиисврававаой раамервасти лапшино авзиваленшщ (переводятся друг в друге деффеоморфвзыои), если илько аба он абв(его наложена» вблизи изучаемых точек, Коятааииюй струьтргпй нааызаетсп иоле пшсрпласхаетей, являющеес» полем общего положе»а» вблизи каждой таили аечеююмервага многообразия. Нонтаятвым ив»астап миагаобраапе всех линейных влементае ва пласяастп. Оно трехыерао.
Новтаитаап игручтура задасто» тенг скорость движения зземепта прнвщшеягвт (гивер)плоскости поля, если скорость деиженя» тачки прплогиевия принадлежат алемевту. Точна так же определяется контактная структура в 2» — 1- первом многообразии элементов гиперплоснаатей ив любом и-мерном многообразии. Роль агграв>хсвых многообразий в контактном случае перехгщит н ггегцавлровым (интегральным подмногаабрагивм паля гвпернлосмоглей ваибсльшей возможной размерности, т. е.
Рваиервасти т в «одтаитвам многообрааив размерности 2т+ 1). Осабеппосги залповых франтов, иргобраыманвй Лежандра, а таюпе ганерповерхвсстей, рвайственвых н гаадавм,— зго лежавдрозы ссобснвосты. Вс» симвлеягвчесная георая (вкгиочая, нндрам р, теорему Гывевталя) ымезт кавтаьгные а»»логи чреевмчайао по- пов бев «ратных корней). Но пР« малой дпфоР«апнв аеособогс объекта его опсаогня ае мса ется (скат«ем, чыло морат« мпогсчлено бев кратных нораей нс мепн.
ется прл достаточно малом в»мене«в» коэффнцповтоэ). Оледовахельво, топоаогнческяе анваркантм одинаковы у д сх неогсбых объектов данного класса (напрпыер, чвсло комплексных корней всех ывогочлеаов данной сченепк бга кратных корней однпаково). Итак, остаетсп ваучпть ююслогпю од«ого веособого «омплексного объекта (»айти число «пмплекснмх ьораей одного уравнен«я беа кратных корней) *), чтобы уваать топологию всех. И«прот«э, в вещественном случае множество особых объектов деант пространство всох объектов аа часы. Наврвмер, об~ачпмй ласточмвв хвост (рнс.
34) дел»г пространство веществе«нюх м«сгочневоп х' + яхт -(- Ьв + с вв 2 части в одвсй лежат маогочлеаы с четырьмя веществевнмып коран«в, в другоВ с даумн, в третьей — беэ вещественных «ораей (сообраввте, в какой част« сколько корпев!). Рассмотрпм теперь в «ячестве объе«тов яр«лыс, аадваные па плоскоств (х, р) услоннем )(х, Р) О, где !— лавой-лабо мвогочлев фнкснрованной степени. Нанрнмер, если схепень резва 2, то веособая «рнвав будет, как вразнло, эллипсом «л» гиперболой (все другие «разве второго порядка сопхветствуют асключнхедьвым, особым случаяы). Мнюкеогво пар комплеяспых чвсел (х, у), )до летваряющнх уравнению )(х, р) О, нааываехсн комллскслой кривой. С вещественной точи« арен»я ато двумерная вовпрхнасгь в четырехмерном прсстраастве.
Как прав«сто ночтн нр» любых нпэффвднентех мяогоыепэ !) комплексная крнвая — веособая. Из предыдущкх рассуткдснпй следует, что все ноособью «рэвые данкой стппеан топологлчсовн одинаковы. Чтобы «айги топологию этих поверхностна, достаточно поэтому ваучать одну на аессобых компдексных кривых данноВ стевсвп. Ответ оказ«пастон твкнм: поверхность получается яэ гф р прад лы .нв б (и — 1)( — 2)72 румо« и вы«адын»«ием па образовавюейся наверх«пот« н точен.
Например, коыплексвая прямая (я = 1) — ато аещест. званая влосмссть (сфера беэ одной то'пж), комплекс«ля окружность — вещественный цплнпдр (сфера бев двух пыг сл р д н ы л с «сыныйюортмаа г бры, н а рсб с ур ыаа топок«| омпл сдмк рнсй. 7« точек), комвленсная крап«я схевенп 3 тапопогвчсскя устроена квк поверхность тора, проколотая в трех ыестах, С» эро той с ссср в ысм убедвтыа — олуив ыособуы крнэум с«эльмам п ае тм ма побора я пря к. Н ч с, ока. нвм, с вптстыввь* ря ых, располовавв * общю спрн см на «по зосх юч у псрю» к хсо в ( — 1)гп о кьх (р с.7И. Ры 7э Рпм а асвсрх ь совой гебраячюып рныВ «варда прямы з дастся л й ым асодвор д ыь ур всм з да Г О, гдт 1 а -1.
Ьу-с . Парввюывм с т эстет увщ прав айпи функ«нп 1. Про аноде с обращается н пуль точ. юст в рэм х 3 мев р сп д опюйсв н прям е зр ыа! О н вт с бую разую ! (» л в о) в ыл нуаюое ы вслсПря перек дс н ы клав ы* н у аынд я рямая ставенки» в.щ огоев смыл л сыью, та го нр я ! и резравае ы прв к мюынсвфм» д м абор плссностой Ны д д а Р Р Ро Р эст псрсюкавтся но то н ( а очка прв к мплсвсвф вд ак в стсютс тот«юла).
Прл ы н о пв ыс лс р стававнгс» глады«. Гглвк н у рю с т а скрытность ерсс чанов ка » ткдю1 ы бюю рю эмоюыя вс потоп к д ыа ы т к д а обраэоа *са рув тетя ыэ жытся друг дру (, кобы пслу эл с р рус ая а этрх«ость). Р напевная рех т ю» псу с в л тиучаою» тор (рлс. 751. то ю а юа аа сфер нозучыгся в)ср о ( — П ( — 1)гу ручтысю Ттт с ч пы рю нл а д о олы чес м о роев в ю сыб й « ал лы й алгтброи ск а р а ст повн ( ф ро о руюыы ваксою~ з отой кыюрунявн, ва о сыя рва н а й йогмй оет , о с с д е х в р э с с люпт, длн кр нх и лой ( а в уык н гт рос алагатьсн астап ярявщ .
*ыып 8 в пл с м). э юэ, чю пау ридн но д л р дю ч ст 1 следую, ч с и ы ( а р с «й рнтюн и оюрхвм клюв ур вл ав рги — фа о о арыыс обеты я» — р ныа тюртщ 71 Подобно теории кривыь, теория асобепнщтсй танже унрощается прэ переходе в номпленсиую область; мпсюю лвнепня, хажущнегя с вмлестеенлой тсч«и зрения соверпгенпо азгзд чными, з «оыпле«свой области получают праэрз:вог обьясвепие.
Рессмщрим, э«пример, строение прсстещпвх нрнтпчсохях то~о« «сызлеэгеьг» фунхций (т. е. «омпленспфиьзцию теории ыэхсииумав и «внимуиов). Дзя эзгдеот~гяной фунхдин «ритвчеехне точни сел;зим с нерест«ой«э«а ля«яр плг~ поверхиощей уровня. 11эпрвыор, пегяестзепвая линия уровня х ч- рз = с фувнгпи ( хз + ух пусте сря г ~ О и является окружностью прн е ) О Длл фу««цен х' — у' перестройке иная эеимитоты гисгрбггьц зз — Рэ =с по-резному соединены яств»ми этой ггпгьгб лм в азз кои«ости щ аиа«з с.
В этих примерех едивст энное «ритячеехоа значение с = О. Миогообрзз я крихячоснсго уровня — веглэвю с, пе«ратнчесього — глод«се. В хочплевспои случае ось энэчепвй фуп«ции стэне. з мсз пзосдосхью «оьгпзенспсгс переменного с. Крлти гсс«ие зяечев я лся,ет в этоп пзоскосхн ззсзнрованпа е ве долг!т ез нэ чящ«. Поэтому многообразия уровня с лра всех пе«рнг«нес«их зны слизь с устроены таполсгичесвв од«попово. Вели с, изменяясь, рехсднт через «ритвчес«ое значение, то никэзо« пгрестрсйян не происходят: иэогаобрезво грозил, правди, стэновитс» особ«и в мсмэнт прохождения с через ярптичесгссе звэчениб, но евген мг«овеяно возвращается в нервопэчольвое состояние, В эсмпле«сном случае вместо того, чтобы яро окопе через «ритичеснсе влечение, »ьжво обходить есяррг лого (прсявлепве общего принципе, согзэсво которому номплезсяыи аналогом эещестяовлога полям я э«рейх явллется «разветвленное «ззрытие>).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
