Арнольд В.И. - Теория катастроф (1050603), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Особеопоотю четвертото тина связала с теорией двфферевциэльвых ураввовпй, перозрешенвмх шяоеательво ароиаводвой, аазываемых таиже яезюшми дпу)у)ереттулпть~и~лм уроеяеяоями. Таиое уравлевхзе имеет влд Р(х, у, р) О, тде р = уущх. Геометричеох» урзопевие Р = О задает паверхпооть трехмерлам ттроетрннсхле е коордиватамл (х, у, р), Ояа оазыеаежя жюерююыаью уроотэелмш Уялозае р = буМз выделяет плоокость в наждой точке нашего трехморпшо проетрапотва. Эта плослость состоит пз вокторов, у-вамповента которых в р раэ больше хпомповеаты, тде р — коордииахв точил пряла;авва». Та- ласкость пазываетсл яэят якой. Ковта«ткал плоская и аа авлеггость н кагмдоб тачке вертикальаа (совервгпт авар иае оса р).
сс ). Все вместе кокто«тпые пзоскоста залают шле залп октяыл сл плс остей, называемое также кожвактшб струюлурой. Коитактвая структура высек«ет «а ковер ос ур хв ти аз«онпз пале ааправлеииб (с особыми тачками е тех пестах, гда оит к аятпея плоскость касаегск поверх«оста). Псверхвость ура«кепи» здесь иредволагашся глазка . та ус вке выполняется для ураваеялб общегп положен«я. В опрос о тго.
с р авив типачвыт особых тачек аеявяых «ифферегиижльвых уравнений рассматрввалсв еще в ирою. лом «еке, я кароль У)вс«яи Оскар П включил его, яарнду с проблемой трех тел, в спясак ва че мрет оопрасав вз аравию 1885 г. ) степке этого еопрсоа бича получево липгь в 1885 г. А.
А. Давыдовым в ладе ио)«гчного продукта исследовзии» абзастеб достижимости управляеммх оастем «а плес«сетя Оъгет доставляет сзедуюпгий гпксок нормальных форм (к «оторыы ураваеяпе прквадлтся локальвыы дяффеамсрфизмоы плоскости): р =- (х ф ) р) 8 В аавпсямастк от эвачекип икра«стра й алесь иоамжкяы трк уч слт «л. Особо» т~чка пав» ва лавер«паата уравпеяпя б женке мг шет окаватшя седлом, узлам или фоку(оы. абрам ст праектир авапля иаверьвоств ураввжгвя аа плоско ь (г, ) аваль аои р имеет ашозваостью скзад«у. В окрести гли тишгчвоб очка с«этаки ураьтчигге приз л ельвоб фариз Впбрари (1932), х = р'-. Все особые и «ормельво" в .
Рез льтат точи» ввточнтвчески ,юиадают яа склеп«у. Реву склазызазпв шобрвэгек па рпо. 55: ажюые ~очки иа плос(х, ) называюшя ююжеинмм седшм (у гол, фолусом гьяасть гтивештвеаво). Окьз гваетгя, «егматри иа слть узора, о ра' б завал«аго и«тегральиы«а кри ыма па плоскостп (г р, з д и ваотью до диффеоморфкэмз) адиозпачио опрелелкетса едизотвепвмм гмадулемь З (как и Фазовый портрет соответствующ ующего вектош ого паля ва пзсскостк зазвав особо« точка). Одолжив«с особые тачкм — седла, ушп, Фокусы— л тречаготс» во «вагах првлолгекпях. Рассмотрим, паи,гпмер, аск , асямю»оти*г лие ликии ва повсрхвосш в трех.
мераан просграксгво (павзрхнасть кьгеет с касательными щМ~~» «вживе «ыше первого зарядка в „,. тачке). Для поверхности общего лолах«оная сеть все«статических лилий ааиолплег ооласп, гклербоэкчвсс л, где иаверхпссть имеет отрвпательзуго криинаау (как обмквовепиое седло). Верее яаждую точку сблеогл тапер оличаостп иротадят дае асимптаткческве лили и Рье ЬЬ. Сюлмо ы тгг, Область г«пэрболячяжти ограаячена ликаед иараболкчссвпх та'ген. «е котОрой обв аок пгогпчеак«х папрввчев«в совпадают.
Вок т рествостк типично« «арабоаггчгскай тачки шпмпготк гсские лв«кв имеют голукубячеоку1а осабсвяос ь и еся сеть кх приводится к акад же караваю ой фор а у = с -~- змг, как и семебство кпшгразьвых крлеых ураакевпя Ч«брариа. ба. Озвзно в окрествссти шдезькых тачек аа л з илзе пара- ошчиоста поведение еск штаткческвх лепя« с оьв сг у росии кек к«гегрэльпыг «риьме ле «кит урв: вский вб.
пеп сложшаыт особых тпчек (рос. 55). Слолгеипые особеооашп юявз»югсл также з теа)пя ршавоациои»ых колебаиав. Пусть слете«а имеет гзку Ф* возов пространство трсхыерно. Точягг, где скарошь па«замша быстро« перемепаоп раева пулю, образуют (наобпге тазара гладкую) павнрзвость — г галуа лшгрхнжть игстемы.
Двпягеил е фаза«об точки состоит иэ пес«аль«их лро«вссов. Вкачале быатраа иеромевлаа резак а р ая яруяа, . ф ова» тачка бмстро движется па гвертявалкэ (ио взп(юозезкю оск быстрой перемевяов) и медлепваб павархпасги, затем паев«аеш» медлеваос дэижевпе вдаль втой поаерквостк. Траенторам этого дввжемыя определяютсн полем папразленай, зысекаемым ва яей полем нлоскостей, потык|тыл па вертикальное аапраалеаае (жшравленое оса быстрой переменной) а направленое еоемущеякй. Это |юле плоон|ютей определяет.
вообще говоры, ковтаяжую структуру а фазовом пространстве, н особенности медленного дэкжепня оп»сы»аютс», вообще созоря, слоя:еннымя особымп тачначк рис. 55. В нечестно последнего примера тех же особенаостей рассмотрамдвнн|еаие |атерналькойточкиа потеадяааьной яме (ялн у патеацнальпого барьера) а присутствии трепал. Обоанечям (рпс. 56) чере» з ноордааату п|чка, а через йс Рн бс.даоса ааа з Р а ам усРар се полную энергию. Проекции фасолей трдубторлгг на плоскость(л, Е) клеют пря подкоде к |рафику потелдказькой акергкк полукублческао, вообще говора, осабевнссп|.
Минимуму (какажуму) потекдаальаой онергьи отвечает особан точьа. Дт» »отепцнольаой эаергяк обп|его положена» получаютсг| эсе те же сложенные особенности Давыдова, Пркчнна, по которой ело»юакые оообенаостн нстречаютса столь чаото, состо|ю з том, что чажо встречаются нан обычпыв особенности векторно|а поля, так н складмвавил. Нео" пданаям здесь яв.|эстен люль то, что коь бнкпрозанае складмванкя с осооояноотью яе дразоды' п б, ему р эя обр зпю случаен, чем з классифкка|пш семка особенностей векторны» поле».
А яненко, рассмотрим склздываняе ьак инволюа»ю |дяффеаморфмэм, квадрат которого — тон|дестаеянсе нреобрааазаане) па нло йостгг, несу|пой векторное полее огобойточкой. Еслн лаана неподзажкыл точен ннвошоцан проходпт через аообу|о точку пола и анволюцмя яа атой папан менняг аная ||аждого вектора аоч» на протнвололожпый, то така» каэолюнки (почта всегда) перенос||ется з любую другую анзолю- Ппю танпмн саайстзамя прн помощ» дпффеоморфнэ да»гаме|его вдоль себя каждую фазану|о крнзую садня о лола. Этот (давольно пеожкдеаяый) результат пел»стоя асточанном ьсей описанной »мгле теории. т(огв ерган особенность гранады достнжнмостк поачаетса аа дауа сенаржрнс сложенпыт седел. ягод»\дал с раааых сторон н слон|сплыл узел.
Првведспназ ам|не нормальнаа форм сл е н у вол яв м писать норчальну|о форму четвертой особенности, по н здесь ае буду этого »слать. П пые ы Р р ' уоранлнемыч систем целей, лркнодящкх к укааанным особеаностпм гранады достажамостн, нзображедм яа ркс. 57, 56, бгр. На агат расуяках гюль т обозначена двойной тканей, гранина аб |оста д|к так|люк гнв Т-обратным пунктиры| (ооя|кн буксы Т обреа|сна н сторону обо астн дос.я кама,тн).
Я||лагг со с|рвлкама касаются краев конуоон допуст мыл кзлрнэлепнй а ко|адей тачке| горнаолтальпо звштрклоаапа область «полной улравлле|оста (выпуклая оболочка кндакатрасы окружает 0). 'а сматрязая рас. 57 — 59 читатель по|кот яровернть аеустрапааость особе»»остен 1 — 4. Р ..ат. бе а »ЕШ| ЭОЕРа НЩ Утлом| Гытаыюышон а аО Ю 45' Е ЮРПОЫЕЬЫ. 55 Г р с б,т н о Н ива вюв вредим мв лиани *бал Громим дес еюи а«и д лтмш' к К в ре юле * тн р н лн К бюст ве воГ уары «та и м д юр Л устина с ор «й. о пи р ес йым с т ю, нюеи Г Д бб итру ам — ю а м яа ноордиаат, аблая в еюе о обратвои а е д, рон а сммратрж щдщ. бб ойпмо о л «~ сгу бж ааащм зр ьаг ия и щрабол сг з=л~ р ог' що, г=л~*~ жн*рс з газхол з Е с . коорд ж сс лыщх тгч .
Об особеняостях области догтпжичоглн, фуакцпи лрсмепи и ап амальной сгратггии а унраалззмых системнх общего положения с фазозыи прсстраастзом больщзй размвраостп нелестно удивительно мазо — лпкгь а !бсб г. даказаао, что область лосвгжпмостя наляетсн топологическим многообразием с крнем. Одним из проке куточных зопрощв лрп «сследозании уиразлнемых систем оиазыозется вопрос об огобоаносгнх ' выиуклык оболочек гльдаит многообразий гкрггзмх, поггерх аостой, ..Оь Вмгггрл гй обоюгчксй множестве иазыезетс» пересе.
чепао зщх содержащих его пслумрострапгтя. Иядннатраса уиравлаелщй системы пожег быть не° ыпунлой. Однако оназыьзетса, что аеемпунлую нвдакатрису «ожпо заменить ео выпуклой оболочкой. Например, нндикатрисн скоростей вхгь~ при естречяом легре певыоукла двигаться зелсамк, нримен н смсжамлую стратегию, т. е. перемсгкан уча- Р .со. Оз саги данягепиа с резвы. и скор~гстяьги, ря, Г епрснадлежащими индпнатрасе. Сред- шзив а рж ння онорощь двнжеана при гмвшанпоа стратегии принадленгит мпожвстну средянт арнфмжпческит испсльзуемы» векторна индккатрисы, т. е. выпуклой оболочке. Особевпостя в»ау«лых аболоче«кривых в поверхностей общего лоло»сепия в трехмерном прастраватве исолеловаиы В.
Д. Садык и В. М. Завалю«иным. В случае ирюих с та»вас ью до гладвай замены паремеавых ХХАХ®Ф Рас. а1 Тюш асобг жв заву зы б ю х ар а сгеш х леы о ооаоч«а задасто» в а«рестлостп «выдай сеоел тачая ад«ой ие шипи формул: з)О, с>(х), зон х)х), с Ео ю1п (и Д. хие ф уи), з ) гп1а (х, у 1') (з) ш)п*(х, у, О). х г у ) О) (рис.
61). В случае поверхностей — адпой па трех формул О, з)х)х(, з)р'(х, у), юге р (х, у) — расстояние от тачая (х, у) до угла у „, с ) г) (рис. 62) 1ясло с ) О летается модулем (пвваряавтом): оболов«в, сооыатствующие рааямч с, во сводятся одна к л утаи глад»им лреобразоаапиа 3' собеапасти аыауилыт оболочея в «ростравстве бальшей разморвости мало иеучевм. Всгласва В. Д. Отдых, выну«лая оболочке общего Е-«ервого многаобразва в иростраяст.,е размервоста ьыше Е 2 имеет ьгоаули, авляющcшя фуакииями Й аеРе спеют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
