Арнольд В.И. - Теория катастроф (1050603), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Е т'пт вй рассмотри» кратчайшие аута, ведущее ив л во всевовможныа тачки у. Пути в щсорожевпые препятствие» щщи начинаются с отреввов касвющився иреиягствия аримыв. Продоткеипя стяг путй обрагуют пучок (однапараметричесвос семейсгьо) геодевическит яа яоверьности преивтщввя. Следуюпсие учасюки путей представляют собой аавые отрезки прямил, касательных к геадсаическаы; оаи масут ввкавчпввться в концевой точке у или снова васатьсл поверкпости препятствия и т. д. Рассмотрим простейтий случай пути. составигего иг пачальнога в коаечнаго атреаков приыой а отрезков геодеэичещсй между кими.
Вливкве геодевическае пучка гапслвжот ив поверхаости препячс вая некоторую область, В каждой точке втой области гьодезвческая пучке имеет авределеивое направление. В точках общего положения вто исправление ае асигппожческое. Рсиовпе касания геодевюческой пучка с асвмитотичесптс иааравггением — ета одно условие на точку поверкаости. Длв по- верхааств и пучка общего полоясеиия вто условно выполилатся на некоторой нривов иа лавер«паста (зависящей от пучка). Нв рас. 71 асимптатаческие направления иеображеаы горивоатальнмми отревквми, а кривая касания обочаачеиа буклой Н; геодевачесвие — жираме лиани.
В отдельвыв тачках (О ва рвс. 71) вта крвпая К сама будет иметь асимптотическое направление — вто тачки переаечеиия Е с правой д перегиба асимптатическик (см. п. 12). Таины обрввом воанаквет двуларамамричссвов семейсглво лувггй: один авралвтр аумеруат геодеввческне линии вучка, другой — точку срыва касатльаай, уходящей с поверхности првплтствия. Вдодь каждого 4 пути определена фупкцая вреиави (отсчитываемая от пвчвльиав точ- а кп г). Время дастижеалл «апач. вой точгт у по талому пути опроцевеао ве адвогнечио (в одну ковечвую точку мажет вещи ты«анька таков путей),п вдобавок ае вге к а К важи пути обводит препятствие.
Тсм иемевее асио, что исследование повученвой мюогоепачаой фун- „ „виа „, д . «ции времеви составаает аообга- е свив ив ттрхвотк димый этап ивучепия особенно. отей сиотемм кратчайтих путей. !'аспачожнм ва препятствием вще одну поверхность (ствияу) общего пааонсевия и рассмотрим атобралсвлие срыва паверхиоств препяжтвия вв степку, саиостввляющев кажцой точке преиятгтвли точку аересечепив срыв аюиесйся в ивй касательиой « пюдееичес«ай лучке со степкой.
Когда стенке удааяетсв аа бесиоаечаость, отобрв'ксана срыва иерсволлт и гаусса о оошдрамг ос лу ко: каждой точке поверхности вревятатвпя сопощввляется точка едивичаой аферы, в пивала «оаец «ектора длины 1, параллельного квсательаой к геодевечвской. Отобрвмто с ср гва и гаусс во отобр мтшс пучка имеют о обсялост ° г тщласти го свай л лии, вдв яаяравлвлив гсодсгитссвад оуч и омвтовшчс кс .
Этп ощбеаности опавыввются акладкнлги в общих точках в сборьавги в особыв точнаг, где паправлевве «риаой асвмятогвчвсков (О. А. Платанова]. Мпагсвначпая функция врелешг также имеет особенность и точках, соответствующих асиыдтотическаму срыву. 3 67 Прп подходящем выборе системы глвдккх «оорд«кэт фу«к йия врвмепп дряводвтся к заду Т л — р'г э окресыюсти сбпхей точки особой аоеерхпостк у О. !1«ымп слооамы, чела отметать па кюкдом срывающемся луче тожу, отвечающую пут« длиам Т, то эт«точна абраауюг лоеерхкость Р с.72.Т«се еа» сочв о Р с. 72.
Т и ч аа ммбе- ы вв 572 касател й ет б рп й фро«та с ребром воаврата, локально эадвющуеюл ураеаевпем хз уе (рпс. 72). Ааалогпчаый реаулщэг ыолучается и плоской авдаче (а атом случае фрокты павываются эвольвэатаып а имени оеобев«ость т«па лэ = у' в точках касательвой аержпба (рис. 78)).
суроят «растра«от«ем«ай задачи в особой точке(точке сборки гауссоза стсбражешж пучка) лак«лько задасто« уравнениями а п, у ое + по, э (!Збе'-Р 1Зймоэ-~- 70«е)ое, где (и, г) — параметры, (х, у, з) — крп«олвпейпые моордппаты а прострепсгае с аачалом в ае лежащей яв поверхкостм препятствия точке особого аспмпютаческого луча. Ы. СИМПЛЕНТЫЧЕОКАН В КОНТАКТНАЯ ГЬОМЕТГИВ И«отав «опросы тюря« о об пос й (е прап р, л ос«фвка«ая особе««остей лауст«к к волковых фровтов, е такжэ «сслодовоппв всеаоемежпмх ссобокпоствй о задачах ояглмлаацкк « вараапкоапого ясчкслеяпя) стааоеятся по«ятппмп тальке з рамках геометр«п спмалектаческкх п ноятакткых мпогаобреэай, ссзеягающе лепота. жей пв обыч«ые геометрам Бака«да, Лобачеаского п Рима«а.
Нач«ем с трех лрлмероа особе««остей с«вцааль«ого екд: . !. Г р э д з е в т и о е о т о б р е ж е к в е. Рвсгмотрлм в ееаладож м пространстве гладкую фуяклаю. )'радпэг тном ожображ нгмм еээывае са отобр «голле, со«оста«лающее точас звачевле град« та фуакцкп е пей. Гражгсатпые отображения — весьма спвцаальпый «паж отображений прострэпств оп«како«ой размерности. Особоапоста градиептвых ожбражеа«й общего поло«ссыпя отлачпы от об«газ особе««остей атсбрагне пй прож рапота ода«окоема реаеерпостей: пх «ме«ьпюе погоыу, чта пе всякое отобрагкеэпе можно реэлпаоэать «нк градлептаое, аа эбоэьаге» потопу, что я«пекло, пе тпп«чпое дл» общих отображе«мй, может быть гггппчаым для град«спелых. 2.
Н о р м а л ь п о в о т а б р а ж е л а е. Рассыот. рлм мпожагтно всех векторо» пормэдей к поверхности з тречмерпоы сеял«долом простроастее. Согюставпа каждому вектору его колетт (вектору р, орпаожепяоыу о точке 7, со«оставляем точку р .1- 9), Мы получаем отображееке трехмеркого мпо.ообрна«н ее«торов порыелей е трвхьюрпое прострапстао (я.ыераогс в п-мераое, если а«четь с пол;«погообрааза любой размерпост« а и-мерпом езклмаозом прострзвстэе). Зто етсбражелпе па«пасется аормллькыл олюбрэлселие» «сход«ого млогообраа«а. Особо«поста «ормааьлых атображевзй псдмаогообрззпй сбщего положе«пя со.
ставлают специальный «ласс особеявостей отабражемпй простр вето ода«а«о«ой рааыервостп. Нрлтпчвские зпачеппя порчзльпого ажбрежекая образуют «аустаку (жометркческое чело цо«тров крин«э«ы) «сход«ого подь аогообраазл: сч. рлс. ЗЗ, где походное мыогоабразке— элла«с. 3, Г а у с с е п а о т о б р еж е « м е. Рассмотрим дэустороа«юю поверхность о трехмерпоч вжсгадозом щюстрапстое. Перенесем сдал«чапе «екгсры положптельаыь аормалеп мз каждой точка псперхлостп е нечагго ж орд«аат.
Ноацы «тах зектороо лежат на сдал«гней сфере. Получек«ое отображелке поверх«осте ке сферу назыааегся ээус оэым ожобромгяаем. Гауссоеы отобр >левая составляют еще од«а спежыль«ый класс отображеппй ывогообраапй ода«а«ооой уаамеркоста (п — 1, если ыачппагь с г«аерповерх«ощп в а-мерзок прострааствв). И вот оказывается, что тияи кис огобгниоылм ол обрешехвй зс«х аюиз прел влассоо (граю«еитпых, иорз«альных в гауссопых) одмналсоы: все трв теории — частные ш«у.
чвв общей геврик лагравжевмх особеавостей е симвлектх «вской геоыетрив. Симвлекти ееиая геоыехрпя — зто геометрия фвесзагс прострапстз» (пространства координат и и«шульсоп клас сическсв ыехаваки). Оав пеклось етого» длвте«ьпого развития мекеивкв, зариациоияого исчисления я т. л. В прошлом веке эту обхаоть шоыетрвп навивали аванвтичесиой диаамишй, в Лаграпж шрдвлса, что взглал из вее чертежи. Чтобы проввквуть к свквлектпческую геометрию, пакуя длинный всторичоскый аута, проще всего воспользоваться акспсыотичосквм метопом, имеющим, как заметил В. Рассел, много прекмущсств, поцобвых преимуществам воровства перед чсстпым трудом. Сущность «того метода состоят в том, чтобы превращать тес реыы к соределеяяя. Содержатеаьиая часть теоремы шваовитсл тогда мешееироевай определения, и азгебравсты рада позышевия авторитете своей азуки ев сбмчвв опускают (повять вемотпвироваавое овределепие чеэовмокшо, ио многие ли дз пассажи(юв самолета знают, кае и почему ов иаготовлеа7).
Теор«ла Пифагора, бывп«ая в свое время выса«пи досхвжевкем математической кузьтуры, аизэедепа э созремеввом аксиаматвческом ивложевви евклидовой геометрии до малозаметного окргдел«вил« секлпдоооп авррктурой в лиаейпом пространстве пазывается линейная по каждому аргуыевху симметрическая фуввция вары зекторое (скешркое проке«ел«»ие), для которой скалярный ква««рат хюбсго вепулевого вектора положателея Определение сплллекжочгской слгруюирры в лииейвои пространства впалою«гво: зто линейная по каждому аргументу косасимметрическая функция пары вектороэ (»- сесколарпое проке««деке«), которая аевырождевэ (любой ненулевой вектор хе всем векторам косоортогоиален, т. е.
его иосескзларкое произведение с яекоторымв векторэии ненулевое). П р я и е р. Назовем косшкаляряым прсизьеделиеч двух векторов вн оряеаю«роваиаой плоскости орвентироваппую площадь параллелограмма, иатявутого к» зти векторы (т. е, спределытель из«рады, с«ютаелевпой оз компопеат вектороэ). Вто провэзодеаце — симплешяческох структура пз плоскости. 10 В трехмервом простравстве (в вообще в кечетяомераом арострэмстве) симплентическвх структур иет. Симпавктическую структуру в четырехмерном (и вообще в четпомервом) иростравстве легко вострсвть, представив врострааство в ваде суммы дзухмеряых плоскостей: вососкаляриое проачведевие раслздеетсл в сумму пхопзедей проекцлв ва этв плоскости.
Все симплектв«ескпе прострааетва фиксированной рззмерпости взоморфпы (яак в осе евклвдовы). Мы будем взвывать хососкалврпос произпедевио двух векторов «пае. щздьив яатяпутого па аит параллелсграмиа. Наждоеливейвое простраястее в евклидаэом ирсстраисгае имеет орто они ьш ооп .«к«но«, ого размериость рвала коразиерпоств походвого водпрострапсгва. В еиыплектичеоком врострвпстзе определепо коаюржого««шь«о«дололкгеие в лваейвоыу подпрострааству«оио состоят вз всех векторов, кососяаляряые щюиззедеяпя кшорых со всеми вектораыв падпрсстраястев равны пулю, Ра«мерзость коооортогоаальиого доповнепиа хакжо разов корззмерассти исходного асдпростравстза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
