Арнольд В.И. - Теория катастроф (1050603), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Итэх, рассмотрим не плес«ости хомпле«оного переменного с путь, абховвщий нрятпчсс«ое влечение. К ,хщй у е е вс гобое ио б разве уРовни, ) = с. Прн пепрормввом взмевеив» с многообрззие уровня непрерывно эевяется, оставаясь топалогичесяи таким же. Иными словзмл, мы ыог«ем сопоставить каждой точно пзчэхьпого многообразии уровня бзизную тачку блие«ого мяагаобрзз«я уронив та«, что получитсл взаимно-однозначное нщимвс-непрерывное соответствие между обоимн мвогоебраз«ями уровни. Тя«нм обрезом, мы получаем отождествление нсхаднсго многообразия уровня с многообразнем близ«ого уровня с. Прн непрерывпом изменен»и с это отождествление яепрерывпо меняется, в в конце «онцов, негде с вовврвщаетсв н исходному поланюнию, мы вслучэем отождествление походного мпагообреэяя уровни с самим собой. Вто отождествление «ахь вэетсл мс«оорои«гл.
Итви. мополромпя есть взаимно-сдноеязшое и веэпыпо-«пирер«нисе отобрвжеюге мнжообрззия несссбого Уровня нэ самосо себя. 0«аэываетсн, ото отображение— вовсе не тождественное преобразование: «отде с делает полный оборот вокруг иритнчосногс анвчения, возвращэется ва место лзюь мпогообрззпе уровня с, з вовсе пе сто отдельные тсч«н е).
Чтсбьг яояяюь что происходит прв моно«ромин с точ изми мнагосбрззин поссобого уровня, ряссмотрим прямер. ) (х Р) х + Рэ Изучим прежде всего многообразие пеощбога уровня х'-1- ут =- с, е Ф О В зегцесю севом гдучае его урез»ение определяет онрЮ«ность, лэс вге интересу т «номсяеьсная овружгюсть» — «наг«ссхзо точен (з, р) плес«ости двух ьомпле«снмх переменных, сумма иеэдратов (яомпленс«ыь) координат которых имеет фвнсировэнпое знэчен«е. Мы унсо елеем, что зтэ зоверхпость то»олог«ческм устроено нзх пилвндр в четырех- Р мерном пространст'ее. О«языкастая, мопсдрочив поворзчяьает «выдую па соствзляющвх цилиндр о«руг««остей нэ свой угон, меняющийся «еирерывво ст пуля «э одно« р« Се«СВЯ»лп До ОП Иэ Друзин, Д э — дз яя фунТз«иы образом, обз края цил«»- ц« « г' лра с~о е во о.
юга исте, в то яреме «вя поверхность переиручивнотс» «а целый оборот, тс«что. пз«риыер, обрззующзи цилнвдрв Лз Р -Р !. г Ж- дмтззсезс маго жрет«э с са з Ссэ бужт еня ес анз ею нм. в1 еревращаегсявсивраль,делающуюв» пути от одаого осло. вавка к другому пол«ый оборо вокруг ц«тиадра (риг,, гб), Чтобы повять, иа ему сто та«, исследуем иолробвсе скомплексвую округкжютю. Ураввевне ее можао аа«а. сать в ваде у = ! с — хд Иа атой формулы «ндао, что / каждому («омалексаому) саачоаию х соответствует кара свачевий у, еа вся«мига«ем к = (- р с, — каягдоыу иа этих двух ос»Осевых ааачеиий х ссответствуетедивствеааое (иулевое) ааачееие у.
Следовательно, граф«к ксжшексной швувиачаой фрак«кис у У с — хт раслростерт вад влоскостыо «омилексвой веремеввой х двулисгно, причеьг гба ласта соедвнгны только в двух точках. Сдав«о ра«делить оба листа, у!Шли« лишь эти две точки, не удасжя. В свмом деле, заставим х обойти одну иа этих точек по малому контуру, охватывающему ее один раа. Соответствующее а«аченис у, яеарерывио меляясь, верветок «е к врсжиему свачонию, а к яругому, Действ«тель«о, ив формулы цили«др. Раврее я«обращается настом цвламдре акватсрквльксй окружасстью (рис. 77). При прибхижс«ии с к «ритаческому авачевию О обе ~очки вгтвлааи» сбаижаютса Соединяющий сх огре«о« и обходящий его путь ка рамниовой поверх»ости в аределе ври с О гсчезают в ггрипгчеокой точке.
Псатому Рас. 77. Р мсвов «сверх» ть «раве» *'ф ее е ' — ' - (У'с — ) (У' васко, что пра сбхогс х вокруг одггой ца точек ~ р'с, аргу«евт одвого ле сомложителей мел«вчем на 2», а другого ае макается. Значит, аргумеат у меаяжс» лри укаесиаом обходе па я, т. е. р мекает с«ек и ерехою.г с едкого ласт» па другой. Пра двукратном обхоце х вокруг точми )ус величава у возвращается к асходиаму си»вению. Точки х -~- у с иаеываются ысткал«ытелсниа функции у )Гс — хг. Чтобы лучгве представить себе поверх«ость, аадаавую етой фувкцией, соединим обе точка ветеаевия огреевоы.
Если гочаа х гуляет воплос«ости, ие аересекал атого отрезка, то у воавр»втаегс» к первоаачахьиому ввачеввю всякий раа, »огд» т оаксывает ааккнутый иуть. Дейгтвигельао, оцкократный обход любой в« тачек ветвлеавя меняет лишь анак у, «оатому обхсЛ всего отреака не мекает анана у. ясво, что ваша поверхность х' + ус с то«олог«- чески устроева аак обьедааевле двух вкееапаяров алою кости «омалексяага переев«ного х, рвврсааваой вдаль отреааа между точи«ма ветвления, при склеива«ив верх«ест берег» разрееа на ьаждам вкасмиларс с «ижакм берогам яа другом. Тоаологическв ага воверхвжть есть «2 акваториальвый цикл »а ггиливдрс х'ф у* = с васке«юг «счссаюв!ил Ч«клем Для с ) О этот всчееающий цикл — об»чная всщественаав окружкссть.
Итак, мм рааобрались в строеааи меожествв аеособого уровяк вблиеи «рвтичеояой точки при фиксированием »вечевая фувкца«, блискои к критачесяому. Пи« функции ара етом «е еюкев, лишь бы «ритическая точка бы«» певырождевяой. Ибо все невы. раждев«ые нршкческае тачки кемплексаых фумкдмй тсиологичесви лов«лыж адиваковы в ссохветства» с обьясвеи«ым «ыше общим ариацивам (вам«левское вырождевие «вкладывает два вещесхвеваых условия). В частвости, тошшагия исчеаагощего цикла дая гв«ербслического случая (хе — р =:. с) такая же, «ав для аллиатического, «' -1.
р' == с, только а гяаерболическом случае ащееающий цикл весь легкат е иомплексасв обласхи Пусть теперь»качение с обходит во малому «оетуру вокруг критического хвачевая. Првмепвм я»ш ввалив комплексной линии уров«в фуикцаи к исслеГГанвяию моводромии. Если выкккуть маггую окрсотвасть особей тачки, то все ли«ки уровая (вещесгсевпые или коивлевс«ые), достаточао бяка«ого к кр«гвчесаому, могкко вааимио-ве. »рермв«с и ве»им«о-од«о«ватно сароектировать аа тиаию критического уровия (вке у«а«алкой окрестивши особой точки, рис. 78). Отсюда следует, что мааодромия, т. е, ашждествлсвве линий урании с, неарерывно аавжяшее ат нута, црабегаемагс ааачелвем с «рв обходе кргшвческого аваченая, кажет быть выбрана тек, чта вве уиаазааай окрестное точка лна и урапвя вернутся ва место, нагла с созер. пгит полный оборот.
О .тается разобраться. «та произойдет внутри ок есю ластл П э ри жам достатачао рассмотреть стандартагю 13е ' Ра та Ото фуянцию / =- зэ -Р РД г!гють компаансвой ливии уравя Оалаэшея внутрь онрестнооти, гоаологичесни арадатзе- ляет собой цилиндр, аба кра кжарого выходят иа грз- жпгу окрестности. В то зке время эт» часть дауд«от«а ванрывает область аа пласкоотя комллекснога перемен- ною з с зетвлеаиэм з точках -1. Р с, как ато объяснена вьпае (риг.
77). Кшда с совершает «алиый оборот вокруг нуля, от е- ао и мюкду точьамн зетвасния аавершает аал-обороте, Р в реаулгтаге чего мы возвращаемся к «режвим (хата и нересгаеиашимся) точкам ветвления. Неврерываа отож- дествлял мелгду собак возвикаюшио ао дороге коиерь- ности (так, чтобы точка нрава оставались все эремн блиэ- кимн к сносит исходному наложению), мы аолучиы а вен- це концов отображение цилиндра ва себя (монадрсмюа), устроенное следующим абрааам, Отреаои образующей цилиндра.
Обоавачевный ыа и- с нне70,1 у ', буквой 15 в срацессс отождествления верстов ри- дат е кривые, обааначеввые этой же буквой ае арамежу- тачиыз поверхностях (2, 3, С). В нанце концов мы назаре«сходному дал шжру (5), с «Р в новую крнзую с теми же «оаааыя. Летно сообразить, чта аа поверхности цилиндра эта повал «рнзая делает адин аолимн оборот вдоль заарацтяюязой окружности, как и яаабражеко на рис. 76.
Те«им обрезом,човодромиа перекручивает цилднцри- ческую честь «он«ленской тниии уров«и функции, расно- ло;кенвую вблнаи критичесной гсчкв, ролно на одна е. ц Вз лый оборот. Исчезающий цикл прн текам аерекручивання переходит э себя (гювервувшись ва я). Другие же цинлы на линии уровня яреобраауюжя в, воабше говоря, новые в«влы, А именно, вснкнй раз, когда «зной-либо цикл Ороход«л вдоль образуюгцай вашего цилиндра (т, е.
пересекал жчеааюшнй внял), перез ручвваяие изменяет прогадяший ци«з ва всчезагощий, так чта (с точаостыг да ЮЮ~ , рерывнмх деформаций) обраа нрахадяжего г1икла мРи моаодронии получается ие Орехадящега згикла добевлевиси сжлька раа взятою ясчезеющега ц«кла.
сколько рае ароьодяшай цикл (с учетом сванов) первое«ал исчезаю. огай. Бслн ато число равна нулю, то нрохаюдций цвыл жгзьгвается ортогональным всчеваюшему, з'акай цинл ирн мавадромин не менлехая. Мы амзеля, танин обрааои (дла функций двух первчеиных), зформулу Павара — Лей~цеце», оанавкуго в «амвлексаай теарн« нритвчеоких точек фуякций. При перехоке к функцняи любого числа гг переменных исчеааюяай сиял становится сферой размерности я — 1, а цн. ливдр — множеством всех его касательных зентораи. Псла число переменных л зачетна, то ыоаодромиа действует на кчассы цаилов как отражение в зеркале, гртогоаель. ком «счеаеюнгему циклу (сам оп лри мояадромнв меняет знак). Сложные «ратическве точки функций нри обШях ма. лых шевелениях расаадаютсл па црастенюие.
В результате обшего малаге шеветеаиа воавивает нескоаька нритн- ческих «аачеиий в около каждого иа ивх — по исчезающему цвклу. Обход каждого кз «ритическвх ввзчеявй определиег преобраао«авив мовадромии. Подход от некритического колод«аго заачеикя к каждому критпчесио му авачеаию по кекритичесиаму пути пере«сект пже. заюпщй цикл в многообразие исходиогс аеасебого уроввя пмпевелевней фупкции. В результате там во«пихает де. лый вабср псчевающих циклов. Наарвмер, веособая иамплексная пипия уразпя фуяк. цив зз -)- у" — вта тор бев одной точки. Малое шевеление лз — ск -(- р' имеет двз критичеоквх звачеявя (рис.
80), Ркс.пг. ис гаев пи а кзм фуагщв .(- у Падкод н нип от пеарвтвческой яомвлекспсй липеи уровняя определвет ва эхом тора даз исчезающых цикла: паРаалель п мер«диан тора. Тачка гак же и» паверхпости ура«ив фувкдии к' -)- у" .(- з' люка* дзе всчеаающих сферм, паресеяающяес» в алкай точке. Ооответстауюпгве ам преабразовквнл моводрамии — отражепиа прастрапст, з клаосав циклов в Оргагокальвыь исчеза1опгим циклам зеркалах.
Таким образам. в теории критическах ~очек фупкцпй ползюпатся группы отражевийг ана еостазляюжя преоаразазапилыи маисдромия при облаке :Ру рвт ческ к *ачвй. Теория групп отрез«ений прадстэвляет собой хармса рззрзбжзпвый отдел мате«атаки. Рассмотрим, иалрпмер, па плоскости двз зеркала. Если утоп между «веги кесапзиерим с 2п, ха число резвых иреабразазаввй, пол)- чен«ых комбпкирсваиюем атражеиий в зтвх веркалаь. бескоюечка, а если соизмерим — то «анечка. Точно так гка М к трехмерном прсстрапсгве кайдевм все рзсположеиия прокодявгих через О зеркал, парожцагопгие «оаечпое число преобразозапий; классифдкацая таких рзсполажевий известка я прв любой раамерпости пространства. Вычислеаиг групп иаяадромпй простейлгих вырождеииых вритичеокиь точек функций вскрыло глубокие связи «ежду теорияпв вритичесювк точек функдий, «аусгак п волвазых фронюв, с синод оторопи, и теорией групп, норожденимх Отражениями — о друтай.
Проявления ахай сеиаи иногда выглядит доза,гьвс веожидаипо. Раасмотрвм, павример, вздачу аб обходе препятствия, агравпчевиаго «ризой об~пего астмжопия а абыч«ай точкой перегиба аз плоскости. Линии уровпя ревени з агой зад«чав рг2 ззользсвты кривой. Этв г я зпользгаты имеют особеаноста нв кривой (порядка 3)2) и пз «нсатеггьиой лере- Угй тиба (соряяка б)2). Оказы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
