Арнольд В.И. - Теория катастроф (1050603), страница 16
Текст из файла (страница 16)
э а, а, Азж *л вакяюч«ны« Гавоты «ривосят вели о все поеык «етэстрофах. Веьь летрасеввя, ваведаепин, еарыеы, войны, о«иве«си окружают яао со «еех сторон, п вдобавок вад аюм аемиыы шаром ваеисает угроаа етрашвойпгев ив катастроф— ядеркой.
Пора аапретию, «томщю грэг«да«скую войну. Матеьюткчщлая теория катастроф сапа со себе «е предстеращаех катастрофы,падобво таму, «ак таблвцв уипо. жевия,прс всей ее велеэвости для бухгалтерского учета, ве спасает «я ог хищэаий огдевьвых лиц, вя ст вераэумвсй органиэации ековсмики в целом. Математические могшая «атастроф увааывают, однако, «екпгорые обпрю черты самых равных явлений скачщнюракаого иэмепевия режима споюмы в ответ яа плаюгое ивмепеыие анемиях условий. Напрвмер, устойчивый усткповиыпийся режим (с«вимм, рюкем рабе«э реактора, или гяологический или акаяомичесивй режим) сбмчпо погибает лабо щолквуеюя ъ с неусюйчивым (причем в момеит стал«лове«ил скорость коввергевции бескопечио велика), либо еследщвие даржтавп» (опять бесконечно быстрого) сэмополдержпваэяцпхсп колебаний.
Вто объят пает, почему так трудва борстьса с катастрофой, когда ее пригнан« сделаляеь улье ааметвымю с«орешь ее приближения иеагранвчевно мырастает по ыере приблсягепия к катастро)ю. К кэтюгрофпческсй потере устойчввсстс может при.водить атем и ция и иптевспфвкацвя. Например, для простейшей модели рыболовства оптпмпеацвв (мамсвыивацвя) «воем отлова с Ж приводят п аеуетойчиеости устэпониюпегося режима (рис. ВЬ) и кшастрофс — ухвчхожепюо по«упадал юыаюги сдучайвыив колебаниям«. Усхойчсвость пе теряется, если ввести оброюиую гюгэм шесткпл плап г вамеиить келичипсй, пропорцвовэльвсй фанткчжкк ииеющимси ресурсам (урожаюэпопулацкпэ-.).
В модеюг с обратном свявью (рвс. 86) К = ь — ке — йт оптиыальвое экаче«ис коэффндиевта й равно Пй. Прк таком выборе усш«свиток средний миотолотввй вылов Рхе. вь. кагэсцсфячее ад ко ся умов юсга прк оппеюапгви в эрестеймев еодм гыь яоэс а с учмом юекгу «два эа асму йг, = (М. Вто — такой же «ылов, «вк максвмаль«мй имсткий «лап сглока (болыпая вроиаводвтеяькость в втой сасюме «евовмоюва).
Но я ю время как пра максимальвом жестком плане система теряет устойчпвопгь п еемоупичтожаетея, вэедеяие обратной сеяэостабилющруетее и„вавример, ве. бочьшие вэмепеивя коаффигпювта й (илв ипые случайности) приведут ллшь к небольшому умавьюепяю проиэводиюльвестп, в вовсе «е к патэстрофе. Упратлевяе беа обратвай сивая всегда прмэодит к ка- 4* ээ ' г деяээюл 101 тастрофамг вюкно, чтобы лила а оргавиаацнв, аринпмаю. щае ответственные решения,лично, материально завясолв ет пшледстевй этвх решений. Агрестюры, рпэвнэывагошие войны или мегннадаональ.
вую вражду, сбычао счи~ают, что овя не будут нести личной ответюэеапостп эа погчегштвия, а боязнь лачвого Рю. ЛЗ. С еб лпзыга пра юме е «воюют лава Ср, аов связью аверно-лагерного упвюоження слуяпы аажнмм сдерткнвающнм фактором. Ученые, ассасдовавюне модели гонки жл ружевив, еше а 60-х годах нредскаеаля, что оеедепие рааделяющахся боеголовок повлечет потерю устойчивости стратегичеснего равновесна. Оая предсаааала гак ке, что села днпломатачеокам путеч удштся благополучно иппааагь зтот опасный пераод, то дальнейшее удсрожа ие аооругкевая стабилизирует ситуалню я устойчавшть микст восстало. виться.
Нынешняя иереотройка зо ьшогом объясняется тем, что качала действовать хотя бы аенсторыэ еханиаыы обратной сааза (боязнь личного унвюоткенкя). Урудпссть проблемы перестройка связана с ое иолавсйностью. Привычные методы упразэопаэ, прп которых ршуаьтеты пропордиональнм усилинм, тут ве дойглаую, а пушно аырабатмаеть специфически пелинейаузт янтупаюо, основанную па порой парадоксальных вызовах яолинейной теораи. Метэматвческая теория перестроек была создана залолго до вынешней перестройка. Вот аекоторые простейгпие качественные вгааоды на эхой теории прамоаительно к неланейной системе, находящейся в уставоввептепся устойчивом состоянии, признанномэ плахам, поскольну 1пэ в пределах виднмоств имеется лучшее, предпочтительное устойчавое ссстояаяе системы (рис. 872 1.
Постепенное двнженпе н сторону лучшего состанвия сразу же првводат к ухудшению. Скорость ухудшения прн равномерно» двюкониа к аучазему сктоянню увеавчнеается. 2. По пере лважсния от худшего состояявя к лучшему сопротавлевяе евсеевы измсаениго ее саотоявая растет. Р с. 67. В 1 с еол а о ючаа эрсана теор ереыроек 8. Максвмуи сопротвэтения достагается раныпе, чем симов плохое состояяае, через которое нужно пропга для достажеин» лучшэг сост а . После прохо,кдевиа мак самума сопротнеленин состонние продолжает ухудшагью, 4. По мере праблпагенин к самому плохому состоюгню нз пути перестройка сопротивлеаме, начиная с некоторого мо ента, аачанаст уменьшаться, н как только самое нас«ос состонвне проедено, ве только полностью исчезает сопрогавленае,по оистема начинает пржягааатьса а лучшгиу состоваиго.
5. Веаячвае ухудшения, необходимого для перехода а лучшее состояние, сраавиыа с фннлльнмм улучшение» а уеелачавается по мере соверюенотвоеания свстемга, Слабо раазптан ш схема воюет перейтп в лучшее состоявне почти без прсдаэрательного ухудшекля, в та время «ак рааватан спстеиа, в силу своей уюайчавости, на таксе посюнопаое, изпрерззвное улуюпевпе неспособна. 6. Если састему удается оразу, саваном, а ве непрерывно,пзревсста па плохого усгойчваого сосгсянаа досхатачва бзаако в хорошему, то дальше она сама собой будет еожгодионаровать в отсрову »орошего состояния.
С этими объектаенмна аанонамн фувкцяовяровавпя аалввейных снегом кельна ве счнтатшя. Выюе сформулн- рованы внщь прастойпгне «ачеатееппые выводы. Теор«я доставляет та«»се ьо. с осанна модели, во качещвен изе выводы представлнются более важвымп я в то же врем» более вележным»: онн яапа еаввезт от деталей функциопвраоанвя свезены, устройство «сгорай и часленные параметры могут быть ведаататочао павостныын, Наполеон яр«типаж» Лапласа эа зпопыжу овоств в у рзозевие дух бесконечно малюю. Математпческа« теория пере р ек ато та часть со ременного аяалнза бесканачво малых, беа которой соенательвое упрэвлевве сложными п плохо яев стпымн нелвнайвымл скотском« практнческя невозможно. Не требуется, адоако, специальной метематнчесвой теории; чтобы новать, что пренеброжевне за«свами природы я обхцеатва (будь то завоя тпгатеня», авва« стоимости пла веобхадпмасть обратной сапе«), паде«не кампетоягноств спецггалястое я отгугстене лнчвой ответствен»ест« аа пркапмаеыые рыле«па пряподяг рано ялп паздяо в катастрофе.
ЗАДАЧИ К раздел у 1 (здеаь в далее перечаввая з— компле«сная, л в у — вещественные) 1. На«вате крнтвческве кочня я крптвчеакве овачепа» озабражеввй з зй з» Н-';- ед. 2. Найдите нрнтнчеакпе гаек« м критические значения огобрюкевяй (т, у) (аз+ ау, у» -)- Ьз), б. Иссаедуйте бпфурнацва особых точен дпфферевцнальноха уравненмя Г = †+ л + а прв «вменения пара«огра а. 4, Иастелуйто бвфуркацкн осабык точек е сяатеме днфференцлальвых уравнений З ж — лхг + АХ', где А— фпксвроваввое яамвленспое число, а вомплонсвое чвело е обходят вщ.руг нуля.
б. Сколько «местов топологнчжкл раалвчных вещественных чвогочленае пята« степан« з"' +... а чехырьмп раалячиыяп вещественными кршпжевнмп значениям»у Лва много жена топсжогпчас«и од«наказы, если одна зюжво ареоратвть е другой непрерыовима в аохранпющщщ орнонтацяи замеваыя аванс«мой и неаавясвмой эеществеавых переменных. 6. Обозначим через а„ ввоза хапае мяогочлево» л'"х -(- .
„, с п раалячвымв крнтяческиыа знатен«яви (зак что атвех в предыпущей задаче будет обозвачатьс» а,) в составим ФУв«Ц«ю Р (1) Хангщл). Лопаю«те, что р (1) ща г+ гбх (так по ц, выражеютса через часле Берпуллн пря нечетных л в чарва числа Эйлера — прв че ных). 7. Р аматрв рас р ка пе вогочленов Н -)-... область, сбрааовапяую мвогочлонаыя с чеперьмя разлячвымн веществеввыыя «рязвческимя значениям«, Пкальпо компонент сняв«оста имеет эза область) 6. Предположим, что второй дпфферевцнал гладкой Функция двух веремевных в крнтвчесной точке положительно определен. До«ангите, по после вздлюкащей гладкой замены еазпсимой перепев«ой н я «оввз«с«мыл перемевпмх (х, у) функция приводптся к виду м = хэ + + уэ 9. Предположиы.
что второй диффереяцпал гладкой фуикппм л поре еппых э крпхичоекой точке — аевыраждевпая квадратичная форма. Докажите, что поело надлежащей глащюй аамевы эааисямой переменной и в и независимых леремеипых (л, у) фувкция приводятся л шду е = хг ф ., . -1- х» — ус —... — уо !с — ' 1 = и. !9. Докажите, что а крптичесьой точке аналитической фупкцив двух переменных исчезают, как яра»ало, б (яопплекспых) точек перегиба липки уровня. К рааделу 2 11. Сколько точек сбор~» емеет отображевие х Р Нег? 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
