Арнольд В.И. - Теория катастроф (1050603), страница 14
Текст из файла (страница 14)
вается, перестройкой особеавостей э«аль«сит при прохсжг1епии точки перегиба ул. Ре» Вг. Д г«р и' Рул- ям Рж ю юдра разляет группе симметрии в«ос«Одра Отсюла выводит кз ажачк з фув«кпп Р ма. сю яа«ример что рафик в е и р амтв кр функции времен» з окрестяссти точки пере пбз гладкой заменой воордпнат лриеоцитс« к кармаль«ой ферме «рсдс лааточаииога хвОста. Л иаеввс,париальпой формой является паверьвасхь мпогсчлевав з -)- агг -(- Ьзз ф с с кратпымп «орвяыа (пли паверкиасть касзтельаых к кривой (1, Р, Р), рис.
8(, О. В. Лягпиа, О. П. Щербак). 1В. МИСТИКЛ ТЕОРИИ ИЛТЛСТРОФ Есгестзеаяаватчпые прав жея ятгюрюк абе исказив исчерпывают всех направлевий теорпи катастроф: наряду о ксвкрехяыми всаледазавиямв твин работ Вимапа меются окарее фылссафские трудм математп«а Р. Тома, жгтармй первмы ассапал жеабъемлюпгий характер работ Уитни ла теории оссбевяостай (ю предгвагтвозавгвих пм работ Пуапкере и Лидроааза во теории бифуркаций), ввел торили гхеория катастроф» и завязая пгирокой аропагаидай атой теорпи. Качесююяясй особеввостью работ Тома ло теорие «ах»строф является вх сваеобраавый саклю предчувствуя папралленве будущих пссчедоваякв, Там вс располагаег ве только доаанательстввмл, во в точаымв форыулмрса.
нами овсах р эультатоь. Зима«, гсрячвй по«по«в«к зхого стиля, замечает, что смысл слов Томе станов«тол попятным лвюьпссде того, кая встаевлп, 09 свовх строк между аалщымп двумя юрекам« Тома. Чтобы читатель мог составить об ахом ст»ле собсхвеякос «редставлвляе, првпсду здесь обрввчкк вв обаора перс«октав теор«я катастроф, сделав«ого Тамаы з 0074 гл еВ фп»ософскам, метафвалческсм плакс теория каха- строф ве может привести ответе ва великие проблемы, волпующвв человека.
Но опа поощряет диалектическое, гераклитовское ввдепве Вселевяоа, звдевпе маре кая тевхра непрерывкой борьбы менчу алсгосамп», между архетвпамп. Теория кахастроф прююдвт аас к глубоко полнтеистяческому вага»яду» во всем следую рззлюга»т руку Богов. И здесь, быть мажет, теория хвтастроф зайдет пеявбежаые пределы саоой практической првмеапмсств. Ова разделы», быть может, участь лсяхсавалваа. Нег сомве«пя, что сс«оанме псвхологхшеские открытая б»рейда верам. И ясе же впав«с ажх фактов прпяесло мало врактачеспсй «аллам (пря леченая поль«чван«в ааболезаявй), Как герой Ил«злы «смог протвжятоать воле бога, спелым Поссйдова, ве опираясь па мощь другого божества, скажем Афины, так ямы пе смолям огранвчвть действие архетипа, не противопоставляя ему архетававвппо«пота в борьбе с веопределеввым «сходом.
Те самые ар«чипы, которые яам позволяют располагать кашляв ыжмшквостямя действовать е одних случаях, осуждают вас аа бессвлве з других. Вить мсжет, удастся доказать пеяабежпогть вексторых ватешроф, шар«мер болсаяей илп»мертв. Пса«авве вз сбяазтетюю будет сбеша«аем успеха плв аж«аж«ля» ово мажет веста талям х увсреввоста в нашем асрюкеавв, в пашем «оацю. Премрзс«ые результаты теорие ссобеввостей, л счасть , ае зев«опт ст ырнчна« клотика теории катастроф. Нс в в теория ссобепаостей, «зв я во всей мате«атаке„ ешь вечто шянстееппое: зтс ужшвтальпые совпадсвив в свяак мюкду далек«ма ва первый «агляд предметаып л теор«яма. Ода«я яа вримерое такого совпвдевив, оставацегшя аа»адсчвыы (хотя «оз-что л паивтс), является так лаз«- веская А,П, йчклвссвфякацкя. Ова встречаатса а талая И разных тд лах маг матин«, «ак, «апра«ар, теории критических точе« фуляцвй, злшбр Лп, ватегорпй лавейзых пр»ютрнашв, каусюш, волновых фровтов, правильных мясгагравппкоз в трехмерв м пр ггравсхве и «рыпгаллаграфвческах групп, порснщеяяых страже«ламп.
Общим во всех атвх случаях валяется требоаеявз арсгюювм, плв сюсрлисм«я зюдуюй. Простота овяачаш следующее. Кажда» «ласглфвкацвп еоть равд«елке неко. торого прсстракстла обьелтое вв квасом. Обьокт «ааы светел лрссюыл, вся« все блвакмс к «ему обьекты прпвадлежат ноле»попу веберу ялвгсав.
П р и м е р 1. Назовем два пабсра крохог»ащкх чер»з точку 0 ва плес«ос»к прамых ыюлсалпяляыли, если сд»ш ва мпх переход«т с другой арв лппойпом пресбрааазаввп (х, у) (аз -';- йу, ох+»фг). Любой пабор трех прямык прост (любой лаГюр трех раьавчвых прямых з«в«зале«- те« пабору к †.. О, у О, ю-)- у О). Любой набор чо. тырох прохачещпх через 0 прямых яе прост (докажите(!. П р п м е р 2. Ьужм «ласс«бил«ровать крвтяческве точи» (комплежпых) гладних фувнцяй, откоса фу««цап н ода« кчасс, осла оап саодятсв одна к другой гладвсй (компас«сваг) лспальпов. аамевсй переменных.
Сюлпя лрссюмл особеяносюей (ока»кем, дла фу«какй трех пере. мевпых) сссжилл ка дерк басков»алых г ркй я трех лсключилыю»пш аг бгялсапглг 1» — е + у -1- з+, йвы 1; Ю„= х'+ у'а+ а»-», й >4» Е; — — И -(- у'+ аз Е, - — - к' -!. у» + уз'* Е, х*+ уз + И П раме р 2. Ела»алов пав«застав забор тоаеп в соедввяющах ях стреле«. Вели «важой точке сопоставле. по лянейвое прошравство (точка, првмеп, плоскость,...), а жд й стрелке — зыке«оо тсбра е е (еог з тстаующего вачалу стрелки простраастза а соответствующее концу), та говорят, что эзпаяо лредсюоюгякс каыака.
Два представления паз«веются зь»кс»»жл юяылл, жлв одво переходит в другое прв лодхсдюцих ля«ейных пресбравоаапвях прсстрапгпе. Колчак ка рис. 82 слева прост, справа пепрют (сы. пример 1). яз Ояевызвется, осе союимэ простые юычаям лолуюьююя ярсизгозьией раселигноглой сюреюк на есдражгивиг яа рис. 83 диагра».яах Динкин», образующих дзс бгаюигчниг серии и юри исклюаиоельные доасралли, Простые осабеп»ости ввусгик и иолвоюах фроятов оокяге образуют две бескаве'пше серие Аг и В„в тра «сключяошьюсв согбеивостп Еэ (иачальныо члеяы серей ввобрюкепы ил рис. 34 — 43). Группм симметрий ирввальвых мпогогроивяков втрвхморвом пространстве также обреэюот две бесковечкьм у„ кс Рис, Лл.
Пкостсй я э»рсого» Р с. ЭЗ. Дозюо. ю Д емко»ем «э,оср делят щю преаще ьч. чош сорви и трв игкпючевпя (псключекия — группы шымэт. рий тетреэлрв (Е,), октввдрв (Е,) и вкасвядрв (Е,), серик — группы прввилького мвогеугсяьякка и»равялькако диздрв, т. е. деусторовяего мвогоутальвпяэ с оярэшеввыми в резвые иля одинаковые цвета грал»ик).
Кэ первый ввгляц, фувкцпи,колчекы, квустики, фроигы и празвльпые мвогокрвппвки во свлвэяы мел<»у собой. Пс сэмом целе соатветствелвые объекты ле случвйво обовпвчепы алимово»о: вопрпмер, нс к»освод)ю можно построить фуввдвю л" + у' -(- зэ, в вз иее — диаграмму Ем а также каусгяку п волковой фрсвт тако ию пмеви. Легко проверяемым свовствем адвою и» саатэвтжвующах друг другу объектов соответствуют яе абвэвтельло очевядпые своде других. То мм древо, ов еп ег ду шами А,В, Е-клвщификсцкяии яспальвуютс» дл» одковремепвого поучение всех простых объектов, ввсмотр» ив тс, что происхождение мпсгвх иэ влх (язпрпмер, связей ыежду фупкцвяив и колчсяами) овквется вессьяояеняым проввлениеы загадочного ецивства всего сущего. По оловом поет»г мвр юэюв щюю, Пелссгеосг ею Не учг ю ко»гмпе ъ взэюп— И ват е «ло о бкасэе св родстю Го у, ю м сиявхц ю оюгэ.
Н уоо, сюъ вн» «щв, Отвуд ают рз «охв ся соя Лу: и е ерши» с амп щя в щепою, И ис» вовся успехом ЛМ Опвсакво в термпвэх теория с«одев»остей было пайде- «о в 1983 г. дл» жех групп Ковелера, пероягденямх отрв- жемвяыи в евяхидовьтх ирастрввствах, вкдючая лекрпствл- ясгрофичесюю, вреде Нэ и Не Группы В„, Сг и Р, связали е краскили сгодмаюгюями фуплцпй (1978). Квтэсгрофпсты, т юкегол, все еще пе заме- тили связей теории краевых особеияостей с проотейшпяи (» вол~подавив) олучсямп твк »азы»семой шарив ияхмсэь имииил бифуркаций.
Более оложвые случая паоледней св»вовы с теорией Горювовв проектировс»вй волвых пе- ресечений, которая пал»ежи двлекмм обабщевием творе» крэевых особе»пастей. В теории Горшкове, в частвости, всключвтельпе» группо Рэ окавываатоя пода»вес»совкам целого семейства особе»пастей Р„, Д,л ь. Геоьгетрлческая ивтерпрагэцпв коуствьв Р, найдена И. Г. Щербак. Роюмагрим поверх»ость с краем в абыч- иом трепоерком евклвдююм праотреястве. Еауплиоа гю. и Рхн юли с краом мютаит по трех поверхяаотвй: фа»аль.
вою шюнюствс исходвсй яоверхяости (оброэовспкого ев цеятроми кривизны), фавольваго множества гранич»ой кривой (квлщощегося огибающей семейство парывлэяпх плогвастев) в яозерхвссти, состав»вялой яв нормалей п загадкой лсверхвостп в греявчвых точках. Дхп псверх- иостей с краем общего положена» в стдельвых точках край касается паправлевия главкой кривисяы. В оярссг- ласчя факельной точки ва нормали в гюэерхвастя, про- веденной в токой тсчке края, коустикв паверхлоогл ло- кально двф(яамарфвэ коустл»е 'группы Р (рвм 84). Ны тру»ив симметрий акоссздрн, связала г переотрой- «ами эвельвевт плоской кривой вблизи е очк ере б . В юнтгветствующей плоской ввдвче аб обходе препятагвий гробик миогозвачпой б~ункцэп времен» цяффеоморфе» мвопгобровпю яерегулврних орбит труппы Нэ~ он двф.
феоморфеп твоим объодпяеяию лвсстельвьпг н ггрввай к = К, р - д, з = Р (О. В. Ляшке, О. П. Щербак), В эо- щюе об обходе препятствия в трехвюрпсм рострвистзе В1 ю яю многообразие описыласт особзввссть ф)ювта в мв. которых точках па яозэрхиостя крсюгы»ввл. Н» — эю тру»па симы»трай праэихького 600-граквика в аэгырзхыэрвсм евклидовом вростраяопю.
Чтобы описахь итог мвогограпва», качаем с группы вращсвий васса»яр». При двулпгтиом накрытии 80(2) 80(Ч) эта группа иа 60 врзщгвпй ввкрыэастс» »бинарной грувпой писсзэдйаэ из 120 ююмсктов. Группа ВП(2) естествеюгс иэомстричва трзхьгериой сфера, и 120 ьлемзптоз биваркой труппы образуют набор »»рипа лонского правильного мвоюграниякэ в четырехмерном прастравстзз. Рассмотрим теперь задачу об сбксде прспятстви» а трэхмсряом простравствз. График (ыиоговизчиой) фуияцаи »рамена яэляэюа гппгриовтрхносгюо з чэтырвхмервом простравствэ-лрсмгаи. Дтв аздачп аб обхопз прэлж.- ствия общею положения эт» гаперпоэсрхвость локально Добазл»кис ПРВг)ЮЕСЕВЕЫВИНИ ТЕОРИг! НАУАСГтОФ С атжз жкзь, ю лмц В ° г ыва ую озж, Н «» »маза, илз» Д юяпюьыко т з! П в, с зла»спи, с з увву Эл з р з, Ео жгх с с!ы» пы о ыээы, В юк» Ыю Б з л стим», зази О», л лтсал» ра и й, Да во Ыа;г» ю »сев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
