Арнольд В.И. - Теория катастроф (1050603), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Например, кесоортогоиальпое допслпевпе к прямой аа плсскостп— сш*а зте прлмая. .*1пиейвое подврострапстпа, являющееся своам собез воааым косоортогопальвпы дапслвовкем, вавы естся лез. р«««ыглзыл лоркросшроксшоол. Его размер««шть раппа во. лоеиве ршьюриссти исходпого симплекгвчеомого пространства. Рпложыа сшрркшура ва мяогообрэзви задается вмбсрои евклидовой структуры в яростравстве, яасательво» ь чвсгоабразин п любой точке. ТочнО так же го л гашкчыкое пвууктуре ке лкогоо* ра«ып ведается выбором свмптектвчоской структуры в ш ждем его иасательпоч рострапстзе; одаака в отличив от римзвове случая вю« струитуры ае произвольаы, в сзпэааы мезкду собой, нэк это обьясвево аик«е. Рипавова структура аа ияогообрвзив позволяю иамаршь длины кривых яа вем, суммируя длил«з мал«ех вектр,оста ц кр еую.То о клее а иеская структура позволяет аамернть «площцтиз ориептироваввых дзухиерпых ловврхпостей, аежащвх в свчплэктечегком мвогсобрааии (суыикруа «площади» составлаювгех воверхвость малы» парэилелограымоз).
Дололивтельное условие, свяэывающое симплеятическпе структуры в равпых касательных врострзвствах, таково««олощаль» всей грапицы любой трехмераой фигуры равна О. В пилением сиыплентпчелкоы пространстве ишана авели структуру скыллектического многообразия, оире. денна иососкаляраое произведение лриложелпык е любой точке вектарсе как кссосналарпов произведение векторов, аалучеииьгх аэ нич лараллельвыи Оерепасач в аача ~о Погкопроверить чтаушовиесогласоваапязласьвыпалатка, Сущестзует ипата веизоыорфньгх друг другу римана вых структур в окрестности точка плоагюстл илп простржютвв большего чпсла намерений (длн раап«чена ях Римвв н ввел свою кривизну).
В отличие от ричааазых чаогообразнй вгг ги.магга «ические мм аабрш«з юиягир гт яой рзанервгг я: а оярттжюти каждой своей зияли июмср(д гы (отображаютсн друг на друга а сохрвиенпем еплошедей»). Таким образач, лаиальпо «ажлоа гимплектнчеокое маогаабраане кзомарф. ио станднртчому слмплентическочу лиисйнаму пространству. В таком лроатранотое «алчно зажги ггооржпзты (Рм ..,, Р, дг,..., д„) так, по «ососкаляркое ироигведей«е ранна ауыме ориентнрозааных плон!адой проекций н» опасности (ри д,),..., (р„, д„), Подмвогоабразие симплеьтичгского прострзясгна называется лаграяжгвмм мвгшабрижгм. есла его пасашти наи илосьость а кенгдой точье лаграажеяа.
Расслоеаие симплектпчеснаго аростраастоа па надмаогообрз зя лааывзется лаграяжеаым расслоением, если слои лзграяжевы. Вся«ое аагрзюкева расслоение локальна иаоморфао стандартному расслоению фавоаого пространстан пад новфигурациоиаым, (р, д) д (шои — пространства импульсов, д = салаг).
Копфагурааиаааое д-ирострзнстно вазизаешя базой етого ресслшния. Првдполан;им теперь, что а пространстве лвгранжеаа расслоения даао еще адис лагрван еао многообразие. Тогда возаяьаег гладкое отобран енио зтога лагранжева многообразия ла базу лшранжеез расслоения (г. е. аа калфигурациалеое пространство с координатами д,): «аг«дой точке (р, д) .тагралжева многообразия оапсстазляетсл гочка д иа ф уранао ир р,п, а. Полученное отображение мпогообраанй адннакаеай разчернасти л аааывается лагралжггмм тисбралсгнием а его особеапости — гагра згсаыми с<абшло лтми. Это — слепизльный «ласс особе«неожи гладких ота.
браженнк маагообраанй одинаковой размерности. Для зтога классе поатроеаз класспфнкзпиопная теория, аиалогачкая общей теориа асобеинасчей. Прл л = 2 лаграажеаы особенности общего положения лсчериыааются снлвдками я сборками, «ак и общие асобеиноств (нирачем, лагрпн;кева сборке имеет аза лаграижеза аеэквдзалентаых *) варианта). Огобелааста лагранжезггх отображен«й трехпарны« лаграннгввых многообразий общего положекпа угле ае асе встречаются среда обыч«ых особеаиостей общего положения. Теперь ыы покюкем, чта ради ятям, иормзльяме и гаигсозм о аб ггиссти лагрпяжгаи. 1. Пусть à — гладиая функция от а. Тогда многообразие д = др(др лшрапжсзо.
Поэтому особенности градиешяого отображения лагрняжззы. 2. Рассмотрим гладкое подмногообрааие в еззлидоаом иростраеатае. Рассмотрим ыяоже*тзо зшх иериездзкуллрных ему «е«торов (во всех его тсчяах д), Мног обраше, абрааованнае звктарамп р, прилаженными з тачках р -!- д, лагранжево. Ворзжльноо отображеаав мо н«о рассматривать как лаграамезо отображение етого млагоебразлн на базу, (Г, р — д) (р + д). 3. Рассмотрим ьшагоабразпе всех ариеатараааззих ирямыч а евллпдааои прштраегтзс. Зш многаоб),азиз спмплоктпческае, тзк кзи его можно рзссматриизть как фааааоа пространство движения гочки ио сфере (поправление пряыой оирьделяет точку Оа сфере, а точки папессе гня приыой с Оарпекдинулнриой ей «асвтельпои ллоскостью сферы — велачиау импульса).
Рассмотрим многообразие оркентярозаавых парма.гей я иопвргности а нашеи пространстве. дто псдиаогсебрааие в сииплекткчегком многообразии прямых лзгрвзжево. Гауссазо отображение можно рассматривать как лзгрзажеао атобрюквнае (атобрагкен«е араектяроиш ия иосгроониаго подмногаобрааин на сферу, являющуюся бааса аагр, насеял расслоения фнаазога иространсгаа). Та«аы образом, теории градиентных, нормальеых и гауссовых особеааостен сводя сл к морин катрана.саик г аг н а й. Вшрашнпгаяся наы я яонце симплектлческзя стрькгура мнагосбршия араеитиразацпмх прямых — не столь нслуссгвенвое обрааовалпе, кзк ага кажется нз пгрвый я' — о Ср аа ерю лыргзже» расааюнн» ш т р р д ш е р з з» е ы ую с Оуатуру во орую е пгр- 13 лезкые дкл ксследованкя особенностей в варввцааввых а а дачах. Рвспростравокке волн в спложпык среда» описываетс» сзслюлий аиаераоетрхкоызою в кожэкткам пространстве (вааывазмой также тпкоперснонвым согавошенкемь клк смиогооброзием нулей главного скмволал е пространстве «опхвктвых элементов пражрапствв-времена).
Для эола, опкслзваеыых варкацновнимв принципами с гкперболаческкми уравнвикями Эйлера — Легран'ка, указанная гапсриоэерхность, жюбще говоря, имеет асобенвостк. Многообразие особенностей световой гиперковерхяо. сти ткннчвой вараашшаиай сисшмы вмсет коразморвссть 3 в контактном пространстве. Нв трававерсальноы н многообразию асабенногтей трехьлораом иростраппве светаэан гнперпоэарююсть астеелаог след, дкфбмоморфпый квадратичному искусу и' -1- м ээ.
Особовностк световых лучей и залповых франтов юл. рехолнются ржположенаем световой шпериоввркиости па ливаюсвию к ьоктактиой структуре(лучи — это про. екцвк ее характеристик, е фрокты — се лежзпдроемл мволообраакй). Аиалив тнппчаых расиолонлеакй обнаруживает своеобразное явиепие еиуллрсаксю рагсглкил вала на неоднородностях среды. Обычао волны резных типов (скюкем, провальные к лоперечаые) распрострэаяютгя внутри среды незавпаима в ккшь нэ гравице могут порождать друг друга. Здесь иге траасфюрмацвя волн асущестелаетсв ва ввутроииит тачках среды.
Напрнмер, пра рэспрострапекин оопп в одаоморкай псстацэшлврвсй, й 4 пеоднародвой среда рессеяние в отдельные моменты времена испьпывают отдельные лучи. Саатзеталвующие хараншрпсткка в ирострвистае-вргиет вв касаются э одной тачке ра . 74). ~„,э~йщж""~~ж Кривые У д в У Ф иа этаы рксуаке — гладкнэ, с васависм первого порядка. Кажющпьае харантсристккк— ето 1 4 я У д На ткпичном валиозаы фроите, длижущсмся в трехмерном пространстве, трансформация зола происхсдит з отдельных кволироваиных точках.
За послежше годы снчплектвчтскэв и контактная геометрви папвляппса во всех отделах мачемжюю; кан у каждого лкаворонка должен появвтъся хохолок, тек всяка» область махемэтнки и конце ксицав слпшлектвэнруется. В математнке есть ряд аверацпй равных уровней: фувкцаэ действуют па числа, операторы — ка фулнцкк, фуякторы — ва операторы в т. д. Снмвлектпзациа относатся к пебальпюму числу операций самого еысюоло уровня, действующвх не па пакле-набудь мелочи (функцив, категорик, фуиктори], а на всю ивтсматиьу ораву. Кот л кээестио уиле несколько таках операций испито уровни (например, вщебракзация, бурбавизация, комплокспфа калия, су сризвцпа, скмплекткваиик), длк иак нет акююй акскаматической жарил. Гт.
КОМПЛЕКСНЫЕ ОСОБЕННОСТИ Мэтеивтикв хорюпо анают, что переход к комплекс. ным чкслам обичяо ае уохожнаьт, а улрюдает задачу. Нзвример, асыков аагебрзическае уреапгллвс степени и меж резва л кокплсзскых корней, в то крома как паха. ждовпе чпсиа жщестэопзых корней — жлегкан задвча. 11ричша втого ниловна состоит в следующем, Одао помилексксе уравнение — это два вещлч:хвевпых. Множсстж, вэдааиые двумя ураэиэиаяип (сллалым, алана х простревстас кян точки ие ллоскосюл) вааыээютсл иполксаг. хэма ксравмерноста два. Мвсялссхва эоразиори итп два ас раадсляют объгмлюигее лра.транства.
Ноэтому от любой тачка ярж:трааюва эвг ипажгетж нораэыорности даэ можно добратъся до лзабай крутой такай очка аутсм, обходящем жо мвожсстш. Рассмотрвм вростраиюиа каких тибо комплекскых обчяктов (скюкеи, мвогочлеиоа фиксированной степепн с коишлексвымк жюффмюлеллтхма). Особью объекты (скю жом, мвагочлевы с крашыми корвяык) спредсюиотая кллюлзсэгкми урввпепиеи иа казффлщионты. Слсдюытслыю, якатжшза особых об люто иигаа корезлггаг кь дса и иг дезию лрогзлреэгтоо жзз сб гюзае Напрпмгр, вомплекскыи ласточках хэост, образозанимй в пространстве ксивлсксных иногоюепоз з 1- ащ '- йх-1 с миаг лллсиами с крзтаыме кориллы, гм дели~ пространжво эсех таких много*лленоа (аелцгствсвно ллтстнигрвае). Пижаму ог любого вссаобого кожыскгпогс а(ъскта (пепркмср, ынсгочзепа бгз ирвлных коригй) к любому другому можно глорсйти сгпрсрыэпьм путем, оставаясь среди аеосабых объектов (е примере — среди мкогачзе- 77 взглвд.
Лена в тсм„что множество реюеавй любой варющиоваой задача (вли сообща множества рсюевлй уравнений Гамп»вшпп с быисироааняым еаачевием фу»зппп !'амнлзаона) образует свзшлеатичссиае мванюбреаие, очень поаеано» дла игследоваавя свойств решышй. Рассмотрим„ например, двухпарзметрпческсс семейство лучей, срывюшцихся с геодезических в» поверхности препятствпа в трехмерном прастраастпе, кап еш у»ахала и» рис. 72.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
