Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Формой проявления этой идеи служит, например, теорема Ляпунова о векторных мерах (о ней говорится дальше). А теперь сформулируем основные тезисы, касаюшнеся тех четырех тем, о которых говорилось. 'йзис вераыйг необходимые условия экстремума в эадаиак, гдв сосуществуют гладиан и выпуклая структуры, соответствуют одному общему принципу — принципу Лаграплга снятия ограничений. Принцип Лагранжа состоит в снятии ограничений с помошыо функции Лагранжа: условия экстремума в задаче с ограничениями савиадают с условиями экстремума функции Лаграндиа в задаче бвз ограничений 249 4 О. Введение 248 Глава 6. Общая теория экстремальимх задач (или с ограничениями. не включенными в функцию Лагранзка). Принципу Лагранжа посвящен 4 1 этой главы.
Тезис второй. Одной из центральных идей теории экстремума является мысль, выраженная Гамильтоном: следует рассматривать нс одну задичу, а ссмсйснзво задач, включающее данную. Такой подход предоставляет богатые возможности для исследования индивидуальной, исходной задачи. При этом, в частности, оказывается, что, если необходимые условия облалают определенной невырожлснносзью (в случае выпуклых залач, к примеру. — если множитель Лагранжа при функционале не равен нулю), то принцип Лагранжа о снятии ограничений может быль доведен до логического конца: можно так слегка видоизменить функцию Лагранжа, что она сама будет иметь минимум в задаче без ограничений (в выпуклом случае и видоизменять не нужно). Этот тезис кратко затрагивается в 4 2. Тезис третий: основным приниипом доказательства теорем существования решения экстремальных задач является принцип компактности ~1; очень широкий круг задач имеет решение, нередко, впрочем, в некоем обобщенном толковании этого понятия.
Эту мысль выразил Гильберт при формулировке двадцатой из его знаменитых проблем (см, эпиграф к б 3 этой главы). Тема»существование и расширения экстремальных задач» обсухсдается в б 3. Решения задач на экстремум делятся на две группы: получаемые с помощью необходимых условий и непосредственный минимизированном функционала. В последнем случае поиски экстремума называют прямыми. Тезис четвертый. Алгоритмы нахождения решений конечномерных экстремальных задач, применяемые в прямых методах, основываются на идеях целесообразного спуска, а также методах отсечения и штрафа.
Бесконечномерныс задачи редуцируются к последовательности конечномерных методами разумной дискретизации. Об алгоритмах говорится в э4. 45 посвящен обсуждению конкретных задач. В бб делаются заключительные замечания и ставятся проблемы. 0.2. Классы экстремальных задач Далее будут исследоваться следующие совокупности экстремальных задач: 1) Задачи математического программирования. Они формализуются так: Уа(х)- пнп; 7;(х)<0, 1<з<ш, Р(х)=0, хЕА, (Р~) П Припаяв компактности Веаерштреесь — Лебеге оолунепрермьнае снизу иь компакте функине лестн»ее» своего минимума.
где Х вЂ” линейное (векторное) пространство, Ун Х вЂ” К вЂ” функционалы на Х, Р: Х У, гле У вЂ” другое векторное пространство, А — некоторое подмножество Х. Это общая залача математического программирования, которая будет нами рассматриваться. Если Х и 1'— банаховы пространства, г, и Р— лифференцируемы, а ограничение х Е А — отсутствует, залачу (Р~) мы называем гладкой задачей с ограничениями типа равенств и неравенств. Есл и Х и У вЂ” векторные пространства, >, -- выпу пуклые функции, Р— аффннное отображение, а А — выпукчое множество, залачу (Р,) мы называем задачей выпуклого и ограммиравиния или просто еыпуклои задачей.
Если в выпукчон задаче Х и У вЂ” линейные пространства (обычно конечномерныс), функции Д вЂ” линейны, а множество А — полнэдральный конус, то задачу (,) гР з называют задачей линейного программирования. Если функционал квалратичен, а ограничения линейны, то (Р,) называют задачей квадратичного программирования. 2) Задачи вариационного исчисления и оптимального управления. Мы б дем изучать, в основном, задачи такого рола.
у В,(~) ш1Ш В,(О<О, '=1,...,ш', В(С)=0 '=ш+' " » х(1) — уз(1,х(1),и(1)) = 0 У 1 Е зх и Е С ( () () 1„1,) Š— — РС~(Д К") х РС(Ь,К") и К, зз — заданный конечный отрезок, 1гь1, Е бг, 1> Е К' (РС вЂ” пространство кусочно- непрерывных, а РС' — кусочно-непрерывно-дифференцируемых функций), В (С) = ) Ь (1 х(1) и(Ю)) Ж+ 1з(1е х(1ь) 1,,х(1 )), з = О, 1,...,т. з» » К» Переменные х Е К" называют фазовыми, переменные и Е К управлениями, функционал И, — функционалам Больна, функции Ь; интсгрантами, а — тсрминантами.
Условие х = уз называется дифференциальным ограничением или дифференциальной связью. Все функции (Ь„1,, уз) предполагаются по крайней мере непрерывными. Если ограничение на управление типа включений и Е 1> отсутствует, задачу ( з) ач (Р) называют задачей Лагранзки квассичсского вариационного исчисления (в вонтрягинсной форме), если это ограничение присутствует — задачей оптимального управления а понтрягинской форме. Часто встречаются также задачи с фазовыми ограничениями типа д(1, х(1)) = О или С(1,х(1)) < О, где д и С вЂ” непрерывные вектор-функции.
Возможны и смешанные ог(заничения д(1,х(1),в(1)) = 0 и С(1,х(1),в(1)) < О. Если интегранты не зависят от фазовых координат, время фиксировано, терминанты выпуклы по х и дифференциальная связь отсутствует, задача (Рз) называется ляпуновской. Частными случаями задачи Лагранжа является задача Больна, простейшая залача классического вариационного исчисления, задачи со старшими производными и другие задачи, подробно изученные в части !.
Глава б. Общая теория экстремалыгых задач 250 О.З. О базе теории Базой теории экстремума являются линейный и выпуклый анализ, аппаратом — дифференциальное и выпуклое исчисление. В гладком анализе важнейшую роль играет теорема об обратном отображении. Фундаментом выпуклого анализа являются теоремы отделимости. Для нас достаточной окажется теорема Люстерника, которая была доказана в первой части. Приведем ряд теорем выпуклого анализа. Подробнее см. (МИ-Т).
Теорема (Феихеля — Моро). Для того, чтобы имело место равенство р'* = у необходимо и достаточно, чтобы,Г: Х 1к О (+ос) б ыа выпукла и замкнута. Эта теорема служит основанием для теории двойственности выпуклых функций. Донааатальство. Необходимость. Если Г = г", то из определений следует, что ер!у есть пересечение надграфиков аффинных функций ((х*, ) — Т'(х ) ) х Е Х ), т.е. выпуклое и замкнутое множество. Достаточность. Если у = сю, то г = Т" следует из определений. Пусть у выпукла, замкнута и существует точка хо, где 1у(хо)1 < оо. Строго отлелим точку (хо,У(хо) — 1) от ер1г, т.е. найдем (хо,бо) такие, (хо х) + або < (хо,хо) + фЗо(р(хо) — 1) = со у(х ,„) Е е ; ~ Отсюда следует, что )зо < 0 и можно считать, что бо = — 1. Мы построили аффинную функцию ао() = (хо, ) — со, график которой расположен под графиком функции Г.
Допустим, что в некоторой точке х~ выполнено неравенство ~(х~) > У"(х~) (неравенство у" (х) < Р(х) следует из определений). Если Т(х,) < оо, то отделяем точку (хнУ"(х,)) от ер1у', как это было проделано выше, аффинной функцией а~() = (х'„) — сы и получаем, что (х'„х) — с~ < у(х) Чх, значит Г'(х',) < с| и (х;, з|) — с~ > у"(х~), т.е. (х;,х,) > ~'(х',) + ~"'(х~), что противоречит неравенству Юнга. Если же ~(х~) = со, снова отделяем точку (хи~'"(х~)) от ер!~. Если отделение происходит с помошью аффннной функции, приходим, как только что зто произошло чуть выше, к противоречию с неравенством Юнга.
Если же отделение происходит с помощью функционала й', такого, что (х„х,) > с и (х;,х) < с У(х,а) Е ер1Г, то построим семейство аффннных функций а„() = ао( )+р((хн.) -с). При достаточно большом и зта аффинная функция (которая всегда лежит под графиком Р) будет превосходить в точке х~ число у"(х~) и это приведет к противоречию с неравенством Юнга.
В О. Введение 251 Таким образом, эта теорема утверждает, что выпуклая замкнутая кция, определяемая, с одно й стороны, своим нааграфиком, является фун и ве хней гранью семейства непрерывных (в топологии а(Х,Х')) аффинных функций х (х',х) — х', х* состоит факт двойственности выпуклых функций. об ю схему построения двойственной задачи Приведем теперь шую и анство, Х' сопряженное к данной. Пусть Х вЂ” нормированное пространство, к нему и у: Х Й. Рассмотрим залачу г(х)- пнп; хбХ Пусть, далее, г и зг' — другая пара пространств и функция Р: Х х г — Й такова, что л.(х, 0) = у(х) для всех х Е Х. Каждому у Е г сопоставим задачу: Р(х,у) — пнп; х Е Х.
(Рг) их задач называется возмущением задачи (Р). Двайя) называется ственной задачей к (Р) (относительно заданного возмушенн ) задача (Р') Р'(О,у') — шах, У Е У ' х г' — Й вЂ” сопряженная функция к Р (относительно где л": Х х — — со т ьно естественной двойственности между Х х и й схемы лежит все та же двойственность выпуклых В основе этой схемы леж ачи (Р ), то согласно прсдыдушему Я(0) > Я"(0) = оцро.ег (-а'(у')). По определению 8 (у ) = з"Р((у у)з 1пГ л (х у)) = рог зцр ((х , 0)1 + (у',у)з) — Р(х, у) = Р'(О,у') хех,гет гр*) и понятно, что условия сои тем самым очевидна связь задач (Р) н ( — Мо впадения их значени могут й туг быть получены из теоремы Фенхеля — оро.
й вытекает„что значение двойственной Из приведенных рассуждени в задач ачн не превосходит значения исходной. одно следствие из теоремы Фенхеля — ро. о — Мо Приведем еше о Рокафеллара. Лусть Л: Х - Й, о = 1, 2 — выпуклые Т)тремя Меро— нк ии собственные функции и сущ существует такая тачка, в которой обе фу ц е стане о субдифферешгиале и опорной фуикиии).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
