Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ЪЬювия вгвроге пврядяа ° вариациавва исчислевви Отсюда видно, что если [[Ь1[~ с 3, то 3+Ь(С) > 0 и, значит, 1(У+Ь) > г(У), т.е. У Е влосш1п. У Покажем, что У не доставляет сильного локального экстре мума ( У мг!осшш). Рассмотрим последовательность функций Ь„(п > 1) такую, что СЕ (О, -], 16( —,-), 16 ~-,1]. гб [0,-], 16 ~-,1]. Легко понять, что Ь„Е РСе([0, 1[) и ЦЬ„Це - О при и -~ оо, Положим э„= У+ Ь„. Получим последовательность допустимых (в задаче на сильный экстремум) функций я„, э„( ) У(.) в метрике пространства С([0, 1[), для которых в силу (е) 6 4 = 3 — тБ~+ — + —- и п~/й при и — оо, т.е.
функция У не поставляет сильного локального минимума (У й жг!осш1п), более того Я„„ьаам = — оо. Ниже в п. 1.4.3 в лемме о округлении углов покажем, что фун ня класса С, С, доставляюшая абсолютный слабый экстремум, доставляет кцня и с»льный, т.е. Яамьаем л = Кюаьвамг. В нашей задаче можно было построить последовательность допустимых функций У„класса С' такую, что 1(У„) — — со, т.е. сгладить функции х„. ф 1, Простейшая задача вариввяевввгв исммлпмш 219 1,3. условий Лпшйпд2гй, Икпбгл Ввйврпггрйссй рассм грим простейшую зааачу вариационного исчисления, лля определенности задачу на минимум 2(я( )) = / Т (1, я(Г), У(1)) <П 1пГ; х(!е) = яо, я(1~) = яо (Р) Пусть У Е С'([гм 1~[) — некоторая фиксированная допустимая (У(1с) = эо, У(1Д = э~) экстремаль (т.е.
У уловлетворяет уравнению Эйлера). Далее предполагаем, что интегрант Т по меньшей мере дважды непрерывно дифференцируем в некоторой окрестности траекгории У. Возьмем функцию Ь Е Се([$е 1~[. Пусть У Е п!осш1пР, тогда функция одного переменного д(Л) = г(У() + ЛЬ(.)) = / Ь(1„У(!) + ЛЬ(1),У(1)+ ЛЬ(1)) а имеет минимум при Ь = О. Из условий, наложенных на гладкость функции Ь следует, что функция р(Л) дважды дифференцируема в ну- ле.
Поэтому по необходимому условию минимума первого порядка (по теореме Ферма) р'(0) = О, т.е. р'(О)= ~(Ха(1)Ь(Г)+Х.(1)Ь(1)) У!=0 уЬбс,'([1„1,[). (1) В главе 3 п. 1.3 было показано, что из соотношения (1) следует уравнение Эйлера — необходимое условие экстремума первого порядка. По необходимому условию минимума второго порядка для функции одной переменной 1еа(0) > О, т.е. , (0) / (у„(!)Ь'(1) + 2Х.э(1)Ь(Г)Ь(!) + Т...ЯЬ'(1)) гй > О 1 Ь б Се([1~, 1~ [). (2) Из соотношения (2) выводятся условия второго порядка дхя простейшей завачи классического вариационного исчисления.
Важную роль играет коэффициент Ьае(1) при Ь . 220 Глава 5. заловив второго порядка в вариациоином исчвслеиии Говорим, что на экстремали х выполнено условие Лежандра, если Х (С) > О У С Е [со, гс) и усиленное условие Лвлкандра, если Х о(1) > О Ч Ю б [Со, Йс ). В векторном случае х = (х с,..., х„) б С'([го, с с [, К"), (То* гол= ~ л'оан Гол у~л,о, гол= ~ Ьо.о„ 2~о л~ ° ° 2~о„л Ь... — матрицы размера п х и. Условие Хйо(с) > О означает неотрицатель- ную определенность матрицы, условие Хое(с) > О.
— - положительную определенность матрицы. Соотношение (2) можно переписать в виде' /(<Х-' >. <Х-', > (Х..; >) > а У й б Св([со~ сс)1К ) Отметим, что матрица Хл,(1) является транспонированной к матрице Х о($) и (Х ой й) — (й Х ой) (й Х й). Пусть далее Хо, Хо„Х б С'([со, сс), К" ) и выполнено усиленное условие Лежандра. д— Уравнение эйлера по й — — Хй(с) + Хо(1) = 0 для интегранта Х=Х(1, й> й): =Хол(1)йз(с)+ 2Хло(1)й(1)й(1) + Хлл(1)й~(1), т.е. уравнение - дс (Хоо(е)й(1) + Хо*(Ю)й(с)) +Х (1)й(с) + Х (з)й(1) = о называется уравнением Якоби для исходной задачи на экстремали х.
Точка т называется сонрткеннвй к точке Со, если для решения УРавнеНин Якоби й() с начальными ДаиныМи й(со)'=' О, й(со) = 1, функция й в точке т обращается в ноль (й(т) = 0). Говорят, что на й выполнено условие Якоби, если в интервале (со,сс) нет точек, сопряженных с со, и усиленное условие Якоби, если в полуинтервале (Со, 8с) нет точек, сопряженных с со. Уравнение Якоби .— линейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое (из-за усиленного условия Лежандра) можно разрешить относительно второй производной. Для вектор-функций х = (х„...,х„) ищется фусщаментальная система решений уравнения Якоби — матрица Н(1) = (й'(1) ... й"(1)) = е 1. проесайшая задача вариациояного исчислеаия 221 й[(с) " йтМ с начальными условиями Н(со) = О (нулевая мат- й„с(С),, йп(1) рица), Й(Со) = 2 (единичная матрица) нли десН(со) ф О.
Вексор-столбцы (й! ~ с й' =,. — решения системы уравнений Якоби. ~4 Пусть У: К" -+ К вЂ” дифференцируемая функция и переменных. Функцию Е(х,х'): = Х(х') — Т(х) — У(х)( ' - ') назовем функцией Вейврштрасса функции'у. Гейметрический смысл Е таков; Е(х,х') — разность в точке х' между значением у и значением аффинной функции„.касательной к графику.у в., точке, х, Отсюда ясно; что если у' выпукла, то Е(х,х') > О; Можно показать, что верно и обратное.
') — Дх) — Г'(х)(х' — х) х)(х' — х) Рис. 11. Пусть 1 — интегрант функционала 2 простейшей задачи классического вариационного исчисления.Функция Е(с,х,х,а): = г (С,х,и) — Ь(с,х,х) — Ь (С,х,х)(и — х) называется функцией Ввйерштрасса интегранта Ь. Таким образом, Е(йх,х,а) — функция Вейерштрасса функции х — Щ,х,х), где с,х играют роль параметров.
Говорят, по на экстремали й выполнено условие Явйврииярасса, если Е(1 й й а) = Ь(1 й и) — 4(1 й й) — Хо(С)(а — х) > О У а Е К". Ч 1 6 [3о, Гс[. Геометрический смысл условия Вейерштрасса на экстремали х: для любого фиксированного с б [со, 1~] график функции ь = ь(х) = Ь(олх(1),й) (как функции от х) лежит выше касательной к кривой Ь в точке й(1).
22З При малых Л > 0 222 Глава 5. »словца второго порядка в аариациоином исчислевии 1.4. Необходимые и достаточные условия слабого и сильного экстремуме Рассмотрим простейшую задачу классического варнационного исчи слепня для вектор-функций х = (х„..., х„) (для определенности задачу на минимум) 1(х(.)) = ~й(С,х(С),х(С)) дС вЂ” !пГ; х(Се) = хв, х(С~) = хь (Р) 1.4.1. Игольчатые вариации. 1члоаие Вейерштрасса Понятие сильного экстремума ввел в вариационное исчисление Вейерштрасс.
Для доказательства необходимого условия сильного минимума Вейерштрасс употребил специальные вариации экстремальной функции х вида хл(С) = Е(С) + пл(С), где Л > О, СЛ+ (С - тМ С Е [т — Л, т], СЛ вЂ” (С вЂ” т)~ГЛ, Сб[т т+Д] ЫбК). Рис. 12, Производная вариации Сгл(С) имеет внп, изображенный на рис. (для удобства изображения взято и = 1, с > О). Она несколько напоминает иголку, в связи с чем подобные вариации называют «игольчатыми». Такие вариации приспособлены к исследованию задач на сильный экстремум. Игольчатые вариации несколько иного вида использовались при доказательстве принципа максимума Понтрягина. Очевидно, что хл(.) — х() в метрике пространства С(]Се, С,],К") приЛ- О. б!.
Простейшая задача вариациоииого исчисления игольчатых вариаций докажем условие ВейерпгграсС помощью игольча и гейшей задаче — необходимое условие сильного минимума в преете ше зад са гл нх нкций. вари ационного исчисления на классе кусочно- апк фу Теорема. Пусть функция х б С ([Се, С~ ], К") доставляет сильныЙ лоярерывно дифференцируен в некоторой окрестности расширенного графика Гсл = ((С,Е(С),Е(С)) [С б [Св, С~]) (й б С'(О(ГЫ)) ). Тсвда на У выполняется условие Вейерттрасса Е (т, е(т), х(т), х(т) + (): = й (т, й(т ), х(т) + б) — й (т, Е(т), Е(т) )— — ай« (т, й(т), й(т)) > 0 'Ф б б К", 'Ф т Е [Сс, С~] Нетрудно видеть, что выписанное условие Вейерштрасса является тем же самым, что и в п. 1лп Е(С,х(С),х(С),я) = й(С,х(С),х) — й(С,Е(С),х(С)) — й»(С)(в — х(С)) > 0 'т' я б К", 1Г С Е [Сс, С~], где С = т, я = х(т) + с.
Докваатхльстло. Для простоты записи проведем доказательство лля я = 1. Возьмем точку т Е (Се, С~) (случаи т = Се,С~ доказываются предельными переходами т — Св, т — С~ ). Рассмотрим выписанную выше игольчатую вариацию хл(С) = х(С) + Ьх(С) функции х. При достаточно малых Л > 0 функция хл допустима в задаче (Р): хл Е РС'([Сд, С~]), хл(СС) = Е(С,) + С»„(С») = х;, С = О, 1. Отметим, что ИССА(')Нс!!ьА!! Л]6 ]Ьл(С)] = ГЛ[6 ~ С б (т, т+ ГЛ). Поскольку функции х(С) и хх(С) совпадают при С Е [Сс, т — Л] и С Е ]т, С!], то, разбивая отрезок интегрирования [Се, С,] на три отрезка, имеем 1(хл) - 1(Е) = / (й(С, х,(С), Е(С)+ 1) — й(С,Е(С),Е(С))) ЙС+ т-Х + (й(С,х,(С),хл(С)) — й(С,У(С),Е(С))) дС =: 1, + 1,. Л(й(т й(т),й(т)+4) — й(т,х(т),й(т))) + а(Л)- 224 Глава 5.
Условия второге порядка в варнаинонном исчислении Поскольку прн й Е (г, г +»IЛ) по теореме о среднем Х(й х + й»» х + й») Х (й х й) — Х (й х й)й»» + Х е(й й й)$»» +о(](й»~,й» )[) = Хй»„+Хй»„+ о( »Л) то б 1. Простейшая задача варианионного исчисления 225 Доказательство. Формализуем задачу (Р) как задачу оптимального управления Х(й,х,и)дй — !пГ; й = и, х(йо) = хо х(й,) = хь (Р') »»» Х, = г~ Я,й»»+ Хе[»»+ о(чгЛ)) дй = / Х,й»»дй+ / Хл дй»»+ о(Л) Интегрируя по частям и пользуясь тем, что функция х удовлетворяс.- уравнению Эйлера, получим лог» д— гох» Х, = / [ - — Хе+Х.)й»дй+Х.(й)й»(й)! -~-о(Л) =-ЛХХ.(т)+о(Л) т Отсюда 1(х») — 1(й) = Л(Х [т, х(т),й(т) +Х) — Цг) — ХХ (т)) + о(Л). Так как х Е !оспин Р, то 1(х») — 1(х) > О.
Деля на Л и устремляя Л к +О. получим Х,(т,х(г),х(т) + Х) — Х(т) — ХХ»(т) > О. Условие Вейерштрасса доказано. В задаче на максимум условие Вейерштрасса меняет свой знак. В следующем пункте условие Вейерштрасса будет выведено иэ принципа максимума Понтрягина. 1.4.2. Необходимые условия сильного экстремума. Теорема 1. Пусть функция х Е С'([йо, й,],К") доставляет силоныи локальный минимум в задаче (Р) (х Е огг!ос»гппР), и интегрант Х. непрерывно дифференцируем в некоторой окрестности расширенного графика Го. (Х Е С'(су(Гее))).
Тогда на х выполняется уривнение Эйлера и удовлетворяется условие Вейерштрасса Е(йх хи) = Цйхи) — Х(ййх) — Хо(й)(и — х) > О»й и 6 К", Уй 6 [йой1! если пРи этом сУществУет Х е(й)»г й е [йо, й,], то выаалнаетса таклг ' условие Лелгандра: Хее(й) > О У й Е [йо 1<]. Условие Ю 6 мг1оспппР равносильно тому, что пара (х,й), где й(й) = х(й), является оптимальным процессом в задаче оптимального управления (Р'). Поэтому согласно принципу максимума Понтрягина найдутся множители Лагранжа Ло, ЛнЛ» и р() Е РС ([йо, й~]) не все равные нулю и такие, что для функции Лагранжа задачи (Р') й = / (ЛоХ(й,х, и) + р(й)(х — и)) дй + Л~(х(йо) — хо) + Л»(х(йь) — х~) выполняются условия: »й а) уравнение Эйяера: — — р(й) + ЛоХ (й) = 0»й й Е [йо, й~]; дй Ь) трансверсальности по х р(йо) = Л, р(й,) = — Лэ с) оптимальности по и: ппп (ЛоХ(й,й(й),и) — р(й)и) = ЛоХ(й,й(й),2(й)) — р(й)х(й) Если Ло — — О, то иэ с) (поскольку минимум конечен и равен — р(й)к(й)) вытекает, что р(й) г— в О, а из Ь) — что все множители Лагранжа нули.
Значит, Ло ф О. Полагаем Ло —— 1. Тогда иэ с) следует, что Хл(й) = р(й) (необходимое условие 1 порядка минимума функции Х (й, й(й), и) — р(й)и) и Хе,(й) > О У й Е [йо, й~] (необходимое условие 1! порядка). Подставляя р = Х, в условие стационарности по х, получаем уравнение Эйлера. Условие оптимальности по и при Ло = 1 и р = Хо Цй,й(й),и) — Х,(й)и > Х(й,й(й),й(й)) — Х~(й)х»(й) У и Е К", У й Е [йо, й~] есть не что иное, как условие Вейерштрасса. 1.4.3. Лемма о округлении углов Лемма. Пусть функция й Е РС'([йо, й~], К ), интегрант Х 6 С(К "ы'.. Тогда существует последовательность гладких функций (х„)„>~ С~([йо,й~],К"). хо(йо) = й(йо), х„(й~) = й(й~), такая, что х„() — х(.) в метрике пространства С([йо,й~]), и 1пп 1(х„) = 1(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
