Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 33
Текст из файла (страница 33)
За время ги этот пояс «вытеснит» объем ог' = 2ягй е~й, где 2ягАг — площадь Агг. При этом слой столкнется с 79 = ддг = д~2ягдгео» частицами, где р — плотность среды. Предположим, что участок Аа наклонен к оси г под углом г». Тогда одна частица, ударившись о слой получит приращение импульса, равное т(6з — 6,) = — 2тессжу й, (е~! = )Щ = е, й — единичный вектор нормали к АЕ. По третьему закону Ньютона, тело получит приращение импульса 2»па соя у»й.
За время Ж таких приращений будет йГ, а так как в силу симметрии компоненты й, вектора — й, т.е. ортогональные оси вращения, сократятся, то суммарное приращение импульса будет направлено вдоль оси х и модуль его будет равен 2ря «'е Аг Л 2 2 2 7У2тесозЗ»соху= 2тисоа р=4ряе гсоа уй Ж. В силу второго закона Ньютона зто при~ашение равно АРФ, следовательно АР = 4г»хе~гсоа~з»Аг, где 7» = 4ри я. Просуммировав АР по всем поясам АЕ (т.е. по всем элементам Аг), получим ( Р» 2 ~ »г 2 ( )2 Т,(С,и) = — з Р" Рис. 10. (, йт(,))' 1 + йт(т) (2) Функция Лагранжа Лог ЛС Глава 4. Задачи оптимального управления Таким образом, заменив т на С и СС на То, получаем экстремальнук, задачу: го Сйг т1п; х(0) = О, х(То) = с.
1 + хт о Очевидно, что нижняя грань интеграла равна О. Действительна -,— 4 > 0 при С б (О, То), и выбрав ломаную х(С) так, чтобы !х(С)( бьщ очень большим, получим сколь угодно малый интеграл. Получается противоречие, т.е. чем более зазубрен профиль на теле, тем меньше сопротивление. Дело в там, что в формализации неявно использовалась монотонность профиля, так как только в этом случае частица сталкивается с телом один раз.
Таким образом к условию задачи нужно добавить требование х > О. Форма тела вращения задается функцией х(С) такой, что х(0) = О, х(То) = б (С вЂ” заданное число). Для тога, чтобы столкновение частицы срелы учитывать только один раз, налагаем условие в > О. Формализованно задача оптимального управления выписывается следующим образам: Сйг пнп' х = а, в > О, х(0) = О, х(Т) — ( 1+ из о Л = ( з + Р(х — в)) йС + Л~х(0) + Лтх(То).
Г ЛС о Необходимые условия: а) система уравнений Эйлера: — р = 0 (оо р = солса); Ь) трансверсальность по х: р(0) = Лн р(То) = — Лтт с) оптимальность по и; д) неатрицательностгл Ло > О. Если Ло = О, то р ~ 0 (если р = О, та из Ь) следует, что Л~ = Лт = 0— все множители Лагранжа — нули).
Минимум в соотношении с) конечен только, если р < О, при этом й = О, т.е. й = О. Из условия х(0) = 0 вытекает, что й = О, тогда с = О. Пусть Ло Р О. Положим Ло — — 1. Тогда лля достижения минимума в с) необходимо, чтобы р < 0 (если р > О, то функция Ь(С, а): = — ри ! + ит 5 3. Избраияме задачи оптамальиоти управленвя монотонно убывает с возрастанием и и не достигает минимума). Если й(С) > О, то Т„= О. И из с) управление й(С) должно находиться из уравнения Момент излома управления т характеризуется уравнениями (второе уравнение в (2) .й(т — 0,0) = 4 (т,й(т)) — условие совпадения минимумов в точке т).
Подставив р из первого уравнения соотношения (2) во второе, находим, что йт(т) = 1. Отсюда й(т) = 1 (нбо й > 0), и тогда снова из первого уравнения (2) получаем равенство т = -2р. После излома оптимальное решение удовлетворяет соотношению (1), нз которого следует, что С =--( — +ги+а)1. р((11+ тот)з р г 1 2и 2 а йх йх Юх йС йС р г 1 Но — = и ~ — = — — = в — = — — ( — — + 2в + Зв ) . Интетрируя зй йС Йи йС йа йи 2 в это соотношение с учетом равенства й(т) = О, й(т) = 1, получаем параметрические уравнения искомой оптимальной кривой: й РС'1 + т+ 4)+ р С вЂ” — ( — +2и+и), Р<0. Константа р определяется из начального условия х(То) = с. Эту кривую называют кривой Нмолгояа. 209 208 — рх(1) > — рх(1). 1+ хз(1) ВР ВС = 18 х = х(1) ~ ВР = тх, СР = ВС + ВР = (х + 1)т . функция Лагранжа: р| Т~»г + «'»~ = 0 с) оптимальность по и Глава 4.
Задачи вппомальиого управления Покажем, что х доставляет абсолютный минимум в задаче. В сиз оптимальности по и для любой допустимой функции х Е РС'((О, Той х(0) = О, х(7о) = », т. т, Интегрируя зто соотношение и учитывая, что 1 х(1) ~И = ) б(1) Ж = 4, о о и т, получаем ( —,'— .'з > ) — т. Значит, й Е аЬопнп, о о н а !.~о Сопоставим полученное решение с решением, полученным Ньюто- ном. Обозначим МйГ = 1, ВМ = х, ВС = т, угол ВСР = 1о. Тогда из построения Ньютона имеем Таким образом, нз пропорции Ньютона М1«' СРз 3(хз + 1)ЗР х1 СР 4ВРВСз (хт+ 1)Ьпт 4тхтз (хо+ 1)г 4 Но это — не что иное, как соотношение (1), в которое подставлено значение ро = — -'. Отметим еще, что «затупленность» кривой и условие 2' на скачок в точке С = т (угол там равен 135') были по существу прелусмотрены Ньютоном в его «Поучении» об усеченном конусе. б 3.
Избранные зааачи оптимальиогв управления З.З. Примеры задач оптимального управления Пример 1. х 41 — елгг; 1х( ( 2, х(О) = х(0) = х(2) = О. о Решение. Эту задачу можно свести к задаче оптимального управления, вводя вместо функции х вектор-функцию (хцхз) и управление и и обозначения: х, = х, хз = х, и = х. Тогда наша задача сведется к задаче оптимального управления: х~<П вЂ” ехгг; х, =хм хз =и, о и Е ( — 2, 2), х~(0) = х,(0) = хз(2) = О. Л = / (Лох ) + р1(1)(х, — хз) + рт(1)(хз — и)) оп+ Л~ х~(0) + Лзхт(0) + Лзхз(2).
о Необходимые условия: а) система уравнений Эйлера для лагранжиана Х = Лох~ + р1(1)к (х~ — хз) + рз(1)(хг — и) +Л,=О. ~р(1)=Ло1+С, | — р, = О ( р (1) = — Л вЂ” — Ст+ С; Ь) трансверсальность по х для терминанта 1 = Л~х1(0) + Лзхз(0) + Лзхз(2) б«,(0) =1*,1о1, Т»з(2) = — 1»йз1 4=:» р~(0) = Ли р|(2) =О, Ео,(0) = 1„1о1, ХМ(2) = — 1«,(з) с=» рг(0) = Лн рг(2) = — Лз,' ( 2ъпуп рз(1), рз(1) Ф О, ~о1-~ ~1( Р ) ) любое из [ — 2, 2), р~(1) = 0; д) неотрицательность Ло > 0 в задаче на минимум, Ло < 0 в задаче на максимум.
210 211 1 — 2, О<1<т, (2, т <1<2 1 — 21+Си О<1< -, ), 21 + Съ т < 1 < 2. имеем 3 2 Л 1 — 2$, 0<8<~, !2Ф вЂ” 4, т <1~<2. Таким образом, У б аЬятпп. Прн зтом 3 2 -12+С3, О <1<1, 1~ — 41 + Сз, 1 < 1 < 2. =( -' — 12, 0<1<1, 1~ — 41 + 2, 1 < 1 < 2. =( -' Глава 4. Задачи оптималыюго управления Если Ле — — О, то из а) следует, что р, = С и из Ь) р3 = О.
Поэтому нз а) рз = С' р' О, иначе все множители Лагранжа оказались бы нулями. Значат нз с) й = 2 илн й = — 2, т.е. и = 2 илн У = — 2, откуда х = 1~ + д 1+ д з 2 нли я = — 1 + В31+ Вз. В обоих случаях не существует функции такого вида, удовлетворяющей условиям на концах я(0) = й(0) = й(2) = О, Полагаем Ла — — 1 в задаче на минимум. Тогда из а) р3(1) = !+С и изЬ) р3(1) = 1 — 2, далее из а) следует, что рз(1) = — 1':-1- + С". Получили, что рз(1) — парабола с ветвями, направленными вниз и вершиной на оси 1 = 2, следовательно, рз(1) или не меняет свой знак на отрезке (О, 21.
или меняет его с минуса на плюс в некоторой точке т б (О, 2). И, значит, из с) оптимальное управление й на всем отрезке тождественно равняется двум или минус двум или меняет свое значение с минус двух на плюс два в некоторой точке т. Но как мы уже выяснили в первых двух случаях функций, удовлетворяющих начальным условиям нет. Осталось рассмотреть случай Интегрируя зто равенство, находим, что Из условий на концах й(0) = й(2) = 0 Поскольку функция должна быть непрерывной в точке т, то — 2т = 2т-4 откуда т = 1. Интегрируя еще раз, получаем Из начального условия х(0) = 0 еь С, = 0 и условия непрерывноспг в точке т = 1: — 1 = 1 — 4+Сз са Сз = 2 находим допустимую зкстремааь б 3. Избранные залачи оптимального управления докажем с помощью непосредственной проверки, что функция й лес га с3авляет абсолютный минимум в задаче.
Возьмем функцию Ь б рСз((0,2]) такую, чтобы й+ Ь была допустимой в задаче. Для зтого адо взять функцию Ь, для которой !У+ Ь! < 2, Ь(0) = Ь(0) = Ь(2) = О. надо вз 3 Имеем для функционала 1(я( )) = ) х3И о з 2 г г 1(й+ Ь) - 1(й) = З~(я+ Ь) 3И - ~ й 3И = ~ Ь гИ = — ~ Р 13 от = — ~ Ь ДРз. о а а а о Интегрируя по частям дважды с учетом условий Ь(0) = !3(О) = й(2) = О, рз(2) = О, получим 32 1(й+Ь) — 1(й) = ~М 3И вЂ” ЬР,~ = ~'ЫРз = ~а а о з з = Ьрз~ / ггрз3и = ~йрг3и. Разбивая отрезок интегрирования на два и учитывая, что Ь)0, 0<1<1, /рз<0, 0<1<1, (-.. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
