Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Но тогпа (1 Ка = ( ) (К ') Оа,) = К ) () Оеч = О з=! з=! з=! з=! — противоречие с центрированностью системы. Значит, пересечение всех множеств системы П К, зе !Е). аЕА По лемме о центрированной системе все множества К(т,о) имеют непустое пересечение. Значит, существуют ненулевой вектор Л = (ЛО,...,Л ) и функция р 6 РС((Ь,К") такие, что выполняются утверждения теоремы а)-Г) с условием оптимальности, выполняющимся для любых т б Т, о Е ЕТ. Замечание.
Принцип максимума доказан нами в пространстве РС!(дь, К") х РС(гЛ, К') х Кг. Небольшие изменения доказательства позволяют обосновать его в пространстве И~' (ьь, К") х Еч«(дг, К') х К 194 ИнтегРиРуя, получаем Х 4. Пример -!+С, О<!<2 ! — — 2!+С2, 2<!<4 0<!<2, !2 — — 21+ 1, 2 ~ (! < 4.
Функция Лагранжа: 4( — — В + Х, = О с=о -р + Ло = О; с) оптимальность по а пнп (Лоа — ра) = Лоб — РО; ио(-1Л! 4() неотрицательность Ло > 0 в задаче на минимум, Ло < 0 в задаче на максимум. в(й+ и) — в(б» / и м > о, о 0 — все множители иза) р=! иизЬ) О<!<2, 2 < ! < 4. Глава 4.
Задачи оптималыиие управления 4 В(х(')) > (х + х) 4(! е; [х[ < 1, х(0) — О о Решение. Приведем задачу к виду задач оптимального управления, введя управление а; (а +х)4Ы- ексг; х =а, об [-1, 1], х(0) =О. о Ь = / (Ло(аз + х) + р(х — а)) вй + Л,х(0). о Необходимые условия: а) уравнение Эйлера для лагранжиана Х = Ло(аз + х) + р(х — а) Ь) трансверсальность по * для терминанта ! = Л1х(0) Х,в(0) = !МО>, Ва(4) = — !в(4> 4=Ь Р(0) = Л1, Р(4) = 0; Если Ло = О, то из а) р = 0 и из Ь) р = Л1 = Лагранжа оказались нулями.
В залаче на минимум положим Ло = 1. Тогда р = ! — 4. Из условия с) следует, что 41. Приияив максимума Паитряпща в общем случае 195 Из начального условия х(0) = 0 выводим, что С1 = О, а из условия непрерывности в точке ! = 2 имеем -2 = 1 — 4+ С2 со С2 — — 1. Таким образом, Докажем с помощью непосредственной проверки, что функция х поставляет абсолютный минимум в задаче. Возьмем функцию И б РС'([О, 4[) такую, чтобы х+ И была допустимой в задаче. Для зтого иапо взять функцию И, дпя которой [х + И[ < 1, И(0) = О.
Имеем 4 в(О+и) — в(й) = /((2+и)'+ь+ь) и — /(й'+й) и= о о 4 4 4 4 4 = 2 / хИ М + / И 4(! + / И2 М > 2 / хг(И + „( И ей о о о о о Интегрируя по частям в первом интеграле с учетом условий И(0) = О, й(4) = О, получим о о Пшютавпяя в последний интеграл найденную функцию х и разбивая отрезок интегрирования на два, имеем вбо И(!) > 0 при ! б [О, 2[, так как И(0) = О, и Ь > 0 при ! б [О, 2[ (т е функция И возрастает на отрезке [О, 2[ и, следовательно, неотрица- тельна) Итак, й б аьогп!и.
4 2 .=в1в1=11ввв1а-11~-цв~Х ((--в) + — -м+1) а- / [,~2 о о 2 19б 197 пнп ( — и — ри) = — й — рй з з ьо! — Ь 1! следует, что р(С) !. С.(С) — р(С)фь(С) = О Ч С б Т (2) с краевым условием В(к+Сг) — В(й) < О, р(С,) = — ф'(й(С,)). (3) т. е. х = С Е аЬошах: ][ й(С), С Д [т — а,т), (о, СЕ [т — а,т), Глава 4. Задачи оптимального управления Сз = (С- 2)] + /[ — — 4!+3) дС=2-2+( — — 2С'+3С)! =-4-. В задаче на максимум положим Ло = — 1. Тогда из а) р = — 1 и из Ь) р = 4 — С. Из условия с) й = й = огйп р = о!8п (4 — С) = 1, 0 < С < 4.
Интегрируя, получаем х = С+ С. Из начального условия х(0) = 0 вьггекает, что С = О. Таким образом, х = С. докажем с помошью непосредственной проверки, что функция х доставляет абсолютный максимум в задаче. Возьмем функцию й Е РС'([О, 4]) такую, чтобы х+Сг была допустимой в задаче. Для этого надо взять функцию Сг, для которой [к+Ц < 1 (оо ]! + Ь] < 1 оо — 2 < Сз < 0), Сг(0) = О. Как и при проверке экстремали на минимум имеем 4 о 4 о 4 В(й+ Л) — В(х) = 2 [ йСьйС+ [ Сг~ дС+ / ДдС = [ (2+ Сь)СгйС+ / СгйС о о о о о Оба интеграла неположительны, поскольку в первом интегСхзле Сг < О, а 2+ й > О, а во втором интеграле Ь < О, так как й(0) = 0 и Сг < 0 (т.е. функция Сь убывает). Следовательно, Ячпч —— В(й()) = /(х +х)дС = ~(! -! С)дС = [С-1- — ) ~ = 4+ 8 = 12 2 о То, что й = С Е абзшах можно было бы получить и без непосредственной проверки из условия самой задачи.
Разобьем исходный функционал на два интеграла. Максимум ] х~ дС при ]х! < 1 достигается о 4 на [х[ = 1, а максимум / хой при ]х] < 1, х(0) = О, досппвется при о наибольшем возрастании функции х, т. е, при й = ! (оо й = С). $2. Принялв максимума в частном случае ф 2.
Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом Приведем формулировку и доказательство принпипа максимума !3онтрягина для следуюшего частного случая задачи оптимальною управления — задачи со свободным концом и закрепленным временем: В(х(.) и()) = / Т(С х(С) и(С)) йС+ ф(х(С,)) — ппп (Р) й(С) - уг(С,х(С) и(С)) =0 Ъ С б Т, в(С) б П Ч С Е [Со, С~], х(Со) =хм де гг С К" — произвольное множество, Т С [Со С~] — множество точек непрерывности управления и( ). Теорема. Пусть (й(),й(.)) — оптимальный процесс в задаче оптимального управления (Р).
Функции у,Оз и их частные производные но х непрерывны в некоторой окрестности мнозкества ((С, й(С)) ] С Е [Со, С~]), декартово умнозкенного на П, а функция ф непрерывно дифференцируема в некоторои окрестности точки х(С~) (условие гладкости). Тогда выполняется условие оптимальности ио и: Т(С,х(С),и) — р(С)~р(С,х(С),и) > г(С) — р(С)ф(С) У С 6 Т, У и Е П, (1) где р — единственное решение дифференциального уравнения Отметим, что принцип оптимальности (!) с условиями (2)-(3) может быть выведен из необходимых условий оптимальности в обшей задаче оптимального управления, множитель Лагранжа Ло при функционале В оказывается равным единице, а условие трансверсальности по х(Со) не существенно.
Доказательство. Единственность решения уравнения (2) с краевым Условием (3) следует из теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейных систем [АТФ, с. 191]. А) Игольчатые вариации. Зафиксируем точку т й Т, элемент е Е П и такое малое число а > О, что отрезок [т — а, т[ С Т. Управление 198 у(1) = фа(1)у(г)» 1 Е [т, 11] О Т (4) с начальным условием у(т) = (р(т, й(т), ») — ф(т) .
(5) Глава 4. Задачи оптимального управления назовем элементарной июльчатай вариацией управления й. Пусть ха()— решение уравнения х(1) = (р(1, х(1), в (1)) с начальным условием х(1е) = хе. По локальной теореме сушествовання [АТФ, с. 186-189] функция х определена при малых о в некоторой окрестности точки зе, но нз леммы 1, формулируемой ниже, следует, что на самом деле вектор- функция х, определяется единственным образом на всем отрезке [1е, 1(], Функция х называется элементарной игольчатой вариацией функции й, а пара (х,в ) — элементарной игольчатой вариацией процесса (х, 0) Тройку (т,»,а), определяюшую эту вариацию, будем называть элементарной июлкай. В) Лемма 1 (о свойствах элементарной игольчатой вариации). Пусть в элементарной иголке (т, », а) точка т Е Т и управление» Е У фиксированы.
Тогда суи(ествует число е > 0 такое, чта длл лн(дага о Е [О, е] отрезок [т — о, т] С Т, а функция х — игольчатая вариация функции— У определена на всем отрезке [1е, 1(]; при этом нри а — +О 1) функция х (.) — ~ У( ) в метрике пространства С([1е, 1(], В"); х:() -й() 2) функция — у( ) в метрике врастранства С([т, 1(], Ка), а где функция у кусочно диффергнцируеиа на отрезке [т, 1(] и удовлетворяет дифференциальному уравнению Доказательство леммы следует из двух основополагаюших фактов теории обыкновенных дифференциальных уравнений; локальной теоремы существования и теоремы о непрерывной дифференцируемости решения по начальным данным. Мы не приводим их здесь, отсылая к книге АТФ, с.
89 — 91. С) Лемма 2 (о прирашении функционала). Пусть в элементарной июлкв (т,е,а) точка т Е Т и управление» Е У фиксированы, В(а): = В[х (),» ()). Тогда функция В дифференцирувма справа в нуле и В'(+0) = г (т, й( г), ») — [(т) — р(т) ((р(т, й (т), ») — ф(т) ) . Докааатвпьогво лваивы 2. Используя теорему о среднем длв определенных интегралов, правило перехода к пределу под знаком инте(рала, дифференцируемость по Фреше и лемму 1, получим В(п) — В(0), В(х, ка) — В(й, й) В(+0) = 1нп = 1ип а +е а а +О а б 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
