Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поскольку якобиан отображения Р не равен нулю как определитель елиннчной матрицы (6"(0) = (61в(х, Л,)),. = Š— единичная матрица), то по теореме об обратной функции существует обратное отображение Р ' некоторой окрестности точки а в окрестность точки )3 = Р ~(б) = 0 такое, что [6' '(а) — Р '(б)[ < К[а — б[ с=з [л '(а)[ < К[а — а[ с некоторой константой К > О. Возьмем а = а(е) = (ае+е,а!,...,а ) при достаточно малом е и обозначим )3(е) = Р ' (а(е)). Тогда л ()3(е)) = а(е), т.е. Хе (й( ) + у )Зв (е) Лг( )) = ае + е, г=о Хв~й(.) + ~3 Ц(е)Лв(.))= ап 1 = 1,...,гп, г=о при этом [л' ~(а)[ < К[а — б[ е=» [)3(е)[ < К[с[. Получилось, что в любой окрестности экстремальной функции й в пространстве С ([1е, 1в[) существует допустимая функция (а именно й() + 2 )Зг(е)Ьг()), на которой значение функционала может быть г=о и больше (при е > 0), н меньше (при е < 0) чем на х.
Пришли к противоречию, что х не доставляет локального экстремума. Таким образом, случай 2) невозможен. э 4 Изопериметрическля за ш 165 4.3. Пример ! ,[ хвИ = О, х(0) = О, х(1) — 1 а -г = Лех + Л!х. уравнение Эйлера Х(х()) = / хгвИ вЂ” ехгг; е Решение. Лагранжиан Е, Необходимое условие— в! — — Ел+Я, = 0 ч=ь -2Лей+Л, = О, ! ( + Л) 1(х) В >2 ~А!ЕЛ = 24Ь[ — 2 ~ ЬЬвИ вЂ” !2 Х Ь И 0 !о е о Тйким об азам н р, раз осп всегда неотрицательна, то есть имеем абсолютный минимум. / г /' г 3 61г 241 г еввв — — ~ й вИ = ~ (61 — 2) вИ = — — — +41~ = 12 — 12 4 =4 ячв — + . Действительно, возьмем последовательОчевилно, что Я = со. Мветъ допустимых функций х„(1) = У(1)+пьйп2л1, тогда Х(х (.))— ирн и - сю.
сли Л- — О, то Л! = 0 — все множители Лагранжа — нули. Этого не может быть. Положим Ле = 1/2. Тогда х = Л Об х=С1г+С! С.Н вЂ” х = !. щее решение: г + г. еизвестные константы С„Сг, С накопим из й и г им из услови на концах и изопериметрических условий х(0) — 0 вС3 =0; (1) =!~С, +С, =1; ! ,) х И=О~У(С!1'+Сгг),И=О~а.+Г =О, е о з г Отсюла С = 3, С вЂ” г — — 2.
Таким образом, в задаче имеется един- ственная лопустимая экстремаль х = Згг — 21. П окажем с помощью непосредственной проверки, что найденная ЛОС 01 та ю, функция х доставляет абсолютный минимум в зада . В ф ([, [) такую, что х+ Л допустимая. Для этого надо взять функцию Ь, для которой Ь(0) = Л(!) = 0 и [ Ь вИ = О. Тогда а ! ! ! 1(й+Ь) — 1(х)=~(х+Ь'!)е1 — ~й И=2~йЛИ ~Ьггй>2~МА! е е е а о Интегрируя по частям с учетом условий на Л, получим !06 169 Глава 3. Вариациоииое исчисоевие 4.5. Изоиериметрические задачи 6 5 Задача со старштмн производными 9 5.
Задача со старшими производными 4.1. / х 41- ехгг; /хд( =О, х(0) =1, х(1) =О. а о ! 4.2. / х М- ехгг; /гхоз =О, х(0) = О, х(1) =1. о о ! ! ! 4.3. / и гй- ея(г; / ад! =1, ~1хдг =О, х(0) =х(1) =О. о о о 4.4. / х 41- екгг; 3[ хсоа(!и= —, х(0) =1, х(я) = — 1.
2' о о 4.5. / ххд(- ек(г; / ха!п(сй =О, х(0) = О, х(я) = 1. о о ! 4.6. / х~д(- ехгг; э~хе '!и = е, х(0) = 2е+1, х(1) = 2. о о ! ! е +1 4.7. /(хз+х )41- ехгг; / хе ей=, х(0) =О, х(!) =е. о а з з 7 4.6. /1 х 41- езгг; /(хгй= —, х(1) = 1, х(2) =2. 3' ! ! ! ! 4.9. / х~д(-! ск(г; / х ой = 1, х(0) =х(1) = О. о о ьгз «/2 4.10. /(х — х )Ф- екгг; / ха(п(И= 1, х(0) =х(-) =О. о о то и хьг)1 + хз !а ! ек(г. /,!г'! + хз го 4Л1. -та <д х(-То) = х(Т) = О.
! ! (х! + хз) дг -+ ех(г; / х!хз д( = О, 4.12. о о х!(0) = хз(0) = О, х!(!) = 1, хз(!) = — 3. 5.1. Постановка задачи Задачей со старшими производными в классическом вариационном исчислении называется следующая экстремальная задача в пространстве С"([(а, Г![): 1(х()) =/ А(г,х(1),х(1),х(1),...,х")(1)) !й — ехгг; г! ход(1!)=хо, а=0,1 ... и — 1, 1=0 1. Здесь Ь = Ь(г,х,х,...,х(")) — функция и+ 2 переменных, называемая интггрантом.
Отрезок [го,(!! является фиксированным и ко- НЕЧНЫМ, Фо < Г!. ЭКСТРЕМУМ В ЗаДаЧЕ РаССМатРИВаЕтСЯ СРЕДИ фУНКЦИй х е с" ([га, 1! [), удовлетворяюших условиям на концах (1); такие функции называются допустимыми. Введем норму в пространстве С" ([Го, 1, [): [[У[!». — — [[У[[с.((г„!,))! = шах([[У[[с((гьг,)), [[У[[с(!г„г,!),".,[[У [[с((ь,г,р) Определение.
Говорим, что допустимая функция х доставляет слабый локальный минимум в задаче (Р), и пишем и) Е ч!!осш(пР, если существует б ) О такое, что 2(х()) > Т(х(-)) для любой допустимой ФУНКЦИИ Х, ДЛЯ КОтОРОИ [[Х( ) — Е( )! [ь < б 5.2. Необходимое условие экстремума Теорема. Пусть функция х доставляет слабый локальный эксгпргмум в задаче (Р) (г Е !и!осек(гР), функции Х,Ьь,Ьь,...,Ь ! ! — непрерывны в некоторой окрестности расширенного графика Гл.
((1,й(1),Е(1),..., Е!"!(1)) [гб [1о,1![) (ТьЬ„...,Е ! ! ВС(О(Гаь оы))). Тогда Х !и б С" ([1о, 1! [), й = 1,..., и, и выполнено уравнение Эйлера— Пуассона ь ь ~ь (-!) — „й и!(Г) = 0 г 1 б [Го, 1!]. ь=а При и = 1 уравнение Эйлера — Пуассона совпадает с уравнением Эйлера. При и = 2 уравнение Эйлера — Пуассона выглядит следуюшим образом: д - д — Ха(1) — — Хо(г) + Х.(1) = о.
д(г гй 172 Гуз Глава 3. Вариашюииое исчисление 5.4. Задачи со старшими производными 86. задача Лагранжа ф 6. Задача Лагранжа 5.1. / х~зММ вЂ” ехсг; х(0) = й(0) = й(1) = О, х(1) = 1. о ! 5.2. / (й — 48х) зММ ехсг; х(0) = 1, х(0) = — 4, х(1) = 6(1) = О.
о 5.3. / (х — 24Мх) сММ - ексг; х(0) = х(0) = О, х(1) = —, Й(1) = 1. 5' о к (х — х )сММ вЂ” ексг; х(0)=0, х(0) = 1, 5.4. о х(зг) = з1с'з'1 х(зг) = С!с!с. (х~+4х )бМ вЂ” !ехсг; х(0)= — 1, х(0)=0, 5.5. о х(зг) = сСс к, х(к) = асз зг. кд -з 5.6. /(х~ — й )бс- ехсг; х(0) =х(0) =1, х!с — ) = — хсс — г! = О. о ! (х~+х )бМ- ехсг; х(0) = 1, х(0) =О, 5.7.
о х(!) =с!с!, х(!) =асс!. ! 5.8. / е 'х 41- ехсг; х(0) =О, х(0) = 1, х(1) = е, х(!) = 2е. о е 5.9. /(М+1)Мх гд- ексг; х(1) =О, х(1) =1, х(е) = е, х(е) = 2. ! (х! !) 6М вЂ” ексг; х(0) = й(0) = й(0) = О, 5.10. о х(1) = 1, х(1) = 3, й(1) = 6. ! ((хСз!) + х~) !ММ вЂ” ехсг; х(0) = й(0) = О, х(0) = 1. 5Л1. о х(1) = с1! 1, х(1) = й(!) = асс 1. Все залачи, изученные нами в предылущих пунктах, являются частными случаями или могут быть сведены к задаче (мы сформулируем ее чуть позже), поставленной Лагранжем в сочинении «Аналитическая механика» в 1788 году.
Для ее решения Лагранж использовал метод неопределенных множителей, который впоследствии стали называть методом множителей Лагранжа. Впрочем этот мотов не был им аккуратно обоснован, и понадобилось более ста лет доя того, чтобы придать рассуждениям Лагранжа внд строго доказанной теоремы. б.1.
Постановка задачи Задачей Лагралхса называется слелуюшая экстремальная задача Во(б) — пнп; Вс(б) < О, з = 1,...,ш', Вз(б) = О, з = пз' + 1,..., ш, ха(М) — уз(М,х(М)) = 0 У М Е МЗ, где б = (х(.),Мо,с!), х(.) б С'(Ь,К"), Мо,М! Е Мс, Мо < М!, Мь — заланньсй конечный отрезок, В; Я = / Д (М, х(М), х(М)) с™М + ф (Мо, х(за), М ! ! х(М ! )), з = О, 1,..., пз. Условие (!), называемое дифференциальной связью, может быть наложено не на все координаты вектор-функции х() = (х!(') ° ..
хь(')) а только на некоторые, для определенности на первые й ксюрдинат: хс(М) — Слс(М,х(М)) = О, з = 1,...,й. Обозначим далее х = (х,хз), где х, = (х„...,хь), хр = (хьь!,...,х„). Если дифференциальная связь отсутствует, то й = 0 и х = яр. Поскольку вместо х в функции уз(с,х,х) можно подставить из (1) равное ему выражение Со(М,х), то в дальнейшем считаем, что,у! = мз(М, х, вр). Частным случаем задачи (Р) является задача, в которой один из концов Мо или М! — подвижный, а другой закреплен или оба конца отрезка интегрирования (Мо, М !] фиксированы. Элемент б, для которого выполнены все указанные условия и ограничения задачи, называется долустимым, Определение.
Говорим, что допустимый элемент б = (Х(),Мо,М!) поставляет слабый локальлмй микимум в задаче Лагранжа (Р) „и пишем б Е со!осш!и Р, если сушествует б > 0 такое, что Во(1) > Во(с) лля любого лопустимого элемента б = (х( ), мо, м!), лля которого !К вЂ” сПс сд!ка! < б оо !!х(.) й()Пс'сд! < б !Мо — Мо! < б, !М! — М!! < б. 5 6. Задача Лаграня«а 174 Глава 3. Варнаинонное исчисление б.2. Необходимые условия экстремума Теорема Эйлера — Лагранжа.
Пусть элемент Е = (х(.), 1ь, Е, ) достовляет слабый локальный минимум в задаче Лагранжа (Р) (Е б н!оснйп Р), функции Е«,Дзп Е«ненрерывны в некоторой окрестности расширенного гРофико Гл". = ((Й,х(1),Х(1)) ! 1 б «з) (Л,Е„,Е«ь б С(О(Гль))), ь = О, 1,..., гв, функции ю, !ол непрерывны в некоторой окрестности графики Гь. '= ((1, х(1)) ! 1 б с«) («р, «р, б С(С«(Гь))), функции ф«нелрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (Еь, х(Еь), Е«, й(Е«)) (ф«б С'(Егьа((ь),Е„й(Е«))), ь = О, 1,...,гв (условие глалкости). Тогда найдутся множители Погронжа (Л,р) б К +' х С«(с«,Кь), (Л, р(.)) эе О, такие, что для функции Лагранжа Л = ~(Е(1,х,хр) + рЯ(х — у«(1,х))) 61+1(гь,х(1ь),т„х(1«)), ы ы где Е(1, х, хр) = 2', Л«Е«(1, х,хр), 1 = 2 Л«ф«(йь, х(гь),1«, х(1«)) — терми«=ь «=ь конт, выловлены условия: а) стоционарности но х() — уравнение Эйлера для логранэкионо В(г,х,х) = Е(1,х,хр)+р(х — «р(г,х)) — — Хе(1) + Хь(1) = 0 ч Ф б «ь еь 6 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
