Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 25
Текст из файла (страница 25)
С й ача. ильный миниу шатоя в более шир ком пространстве, чем С!([80, 8 1), а , чем ([Хб, 8~]), а именростр стае кусочно-дифференцируемых функций РС'([>е, 1,]). Строгое определение сильного экстремума будет 5 удет дано в главе 5 п. 1. Однако, как правило, ф , функции доставляюшне абсолютный (глобальный) экстремум в С или РС', доставляют абсолютный эк м м и среди более широкого класса функций— ны экстремум функций, на которых функционал Х определен. и — всех абсолютно непрерывных ' чнль — слабый 145 Простейшая задача КВИ Вывод уравнения Эйлера с помощью основной леммы варнаиионного исчисления Л~ ть функция х доставляет слабый локальный экстремум ~ г ч>осехггР), функции Ы„, Х, — непрерывны как функции нных, Х, б С'([Ггн 1,]). Тогда выполнено уравнение Эйлера д Ж вЂ” — Х.(1)+Х,(1) =О У1б [1„1,]. д д Здесь Хв(1):= — Ь(>,х,х)[ „,, аналогично Х,(ь):= — Х(1,х,х)~, „„.
° =нь Выписанное дифференциальное уравнение второго порядка было впервые в 1744 голу выведено Эйлером. Он, аппроксимируя кривые ломаными, вывел уравнение, которому были должны удовлетворять экстремали. Впоследствии Лагранж назвал его уравнением Эйлера. Сам Лагранж выводил это уравнение (в 1759 гаду) вариируя кривую, подозреваемую на экстремум. Выделил из прирашения функционала главные линейные части, которые называл вариациями, и воспользовался тем, что в точке экстремума вариация должна обращаться в нуль.
Метод вариации Лагранжа стал обшепринятым. Этим методом мы и выведем далее уравнение Эйлера Функции, удовлетворяюшие уравнению Эйлера задачи (Р), называются экстреиалями. Множество экстремалей обозначаем Е(Р). Допустимые функции (класса С с заданными граничными условиями), удовлетворяющие уравнению Эйлера, называются допустимыми зкстремагями. Множество допустимых экстремалей обозначаем РЕ(Р). Доказательство. Возьмем произвольную, но фиксированную функцию >ь б Сй([хй, 11]). Здесь мы пользуемся следующим обозначением: С ([т г,]) — (>ь(.) б С'([>ь, 1,]) ! >ь(1 ) = >ь(1 ) = О). Поскольку х б чг>осехгг Р, то функция одного переменного у(л): = х(й()+ лй(.)) = [ х(1,й(1)+ лл(1),й(1)+ лщ) дг имеет экстремум при Л = О. Положим Р(1,Л) = Х,(1,й(1)+ Л>ь(1),хх(1) + Л>ь(г)).
Из условна гладкости, наложенных на Х,х,>ь, следует, что Функция х лифференцируема в нуле. (Действительно, функции Р и Рх непрерывны в некотором прямоугольнике [1ь, Х>] х [ — Ль, Лй], и, значит по известной теореме из анализа можно дифференцировать пол знаком интеграла.) Но тогда по теореме Ферма р'(О) = О. Дифференцируя функцию >в н полагая Л = О, получаем 148 Глава 3. Вариациеяаее исчислеаие 149 41.Пр й д ° КВИ !А.
Векторный случай ь ц р(1) = ао(1), / р(Ф) Й = / а1(1) М. гй — — Хл,(1) + Х,,(1) = О, $ = 1,..., п. Лемма Дюбуа-Реймона. Пусть функции ао, а, Е С([1о, й[) и (а~(1)Л(1) + ао(1)Л($)) 4й = О ~г Ь Е Со([1о, 1~)). Тогда функция а1 Е С~([Фо, 1~)) и вмналняетсл дифференциальное уравнение д — — а~(1) + ао(1) = О т 1 Е [1о, 1~ [ (аналог уравнения Эйлера). Из леммы Дюбуа-Реймона н соотношения (1) следует утверждение теоремы. Дохахапаньство леммы.
Возьмем функцихз р Е С'([!о,1!]) такую, что Она существует, так как р(1) = ао(1) — дифференциальное уравнение 1-го порядка, решение которого определено с точностью до константы„ а выбором константы можно удовлетворить второе условие. Тогда для любой функции Л Е Со([го, 1~[) по условию леммы должно выполняться равенство ь (а~(1)Ь(1) + ао(!)Л(Ф)) дг = / а~(Ф)Л(1) де+ / Ь(1) др(1) = а ь ь ц ь ь =/а~(1)Л(1) Ж+Л(1)Р(Ф)[ — Р(1)Л(1)дг =/ (а~(1) — р(1))Л(1) гй = О.
(2) ь л ц ц Возьмем функцию Л(1) = [ (а,(т) — р(т)) дт. Тогда Лл = а, — р и ц Л Е Со([Фо, Ф~ )). Действительно, равенство Л(го) = О следует нз определения функции Ь, равенство Л(1~) = О вытекает в силу выбора функции р: ь Л(1,) = /(а!(1) — р(ь)) гй = О. Значит для функции Л должно выполь няться равенство (2), то есть /(а1 — р) <М = О.
Отсюда следует, что ь д а!(Ф) = р(1). Таким образом а~ Е С'([го, 1<)) н — — а~(Ф) + ао(1) = О. <И Лемма Дюбуа-реймона, а вместе с ней и теорема доказаны. Мы сформулировали теорему для одномерной простейшей задачей кяасснчсского варнационного исчисления. Аналогично ставится векторнао задача и формулируются необходимые условия экстремума. Пусть х(!) = (х~(1),...,х„(1)) — и-мерная вектор-функция, инте- грант Е = Цг,хо...,х„,хн...,х„) — функция 2п+ 1 переменного. Рассмотрим задачу Е(1, х~ ... х„хо... х„) гй — ехгп гь х,(1;) = хб, 1 = 1,..., и, у = О, !.
Необходимые условия экстремума в простейшей векторной задаче состоят из системы уравнений Эйлера Доказательство теоремы в векторном случае тривиально редуцируется к одномерному случаю. 1.5. Иитегралы уравнения Эйлера Если интегрант Е = Щ х, х) не зависит явно от одной из переменных, то уравнение Эйлера сводится к более простым уравнениям. !.
Если интегрант Ь = Щх) не зависит явно от х, то имеет место интеграл цинульса л ь(1) = сопок 2. Если ннтегрант Е = Е(х,х) не зависит явно от 1, то имеет место интеграл энергии (оба названия интегралов взяты из классической механики) х(1)Хл(1) — Х(1) = сот|о!. Для доказательства интеграла энергии достаточно продифференцировать последнее равенство по 1 и воспользоваться уравнением Эйлера: д ЕЬл+Š— Ть — Д.Š— Е,Е=О л=ь -хь! — — Ьл+Е,~ =О. Заиечаиие. Отметим, что при выводе интеграла энергии мы использовали дополнительное предположение о существовании второй производной х. Интеграл энергии имеет также лишнюю экстремаль й(1) = соим.
П стоящая задача КВИ 150 Глава 3. Вариацнонное исчисление 1 Т. Задачи 1.б. Примерьо ! Пример Г. Х(х(.)) = ( фз зи — пцп; х(О) = О, х(1) = 1. о Уравнение Эйлера: х = О. Общее решение: х = С!1+ Сз. Из начальных условий находим единственную допустимую зкстремалгк х = 1. Докажем, что она доставляет абсолютный минимум в задаче, г.е, и = 1 Е а!иш!и. Для этого надо показать, что Х(х( )) > Х(х(.)) лля любо» допустимой функции х, или Х(х+ Л) > Х(й) для любого Л Е Со([0, 1!), Действительно, ! ! ! Х(0+Л) -Х(й) = /(й+Л)'а- / й'!и = 2~ й И+~Лза > о о о о ! ! ! > 2/ хЛ зи = 2 ~ййЛ = 2хЛ~ — 2 ! Ж ги = О, о о о о Таким образом разность всегда неотрицательна, то есть имеем абсолют- ный минимум.
Пример й з!з Х(х()) = / (й — х )ги пз!и; х(0) =х( — ) =О. 2 о Уравнение Эйлера: и+х = О. Общее решение: а = С! ьйпг+ Сзсоо1. Из начальных условий находим единственную допустимую экстремалгк й = О. Покажем, что она не доставляет локального минимума, т. е. й К и1оспип. Рассмотрим последовательность функций х,(1) = — „о!и —. Очевидно, ! ° з! что х, — лопустимые функции и х„- х в метрике йросгранства С'((О, 1)), но при этом з~гз 1 Г 4 з21 з21 1Зя 4 Х(х„()) = — ~ (- оз — — о!по — ) и = — — (- — 1) < 0 = Х(х()).
о Получили„что значение функционала на х„меньше„чем на х, значит х не доставляет слабого локального минимума. Из этого примера видно, что уравнение Эйлера — необходимое, но не достаточное условие экстремума. х з,и - ех~г; х(0) = 1, х(1) = ' о ! 12. (хз — х) !и -+ ек!г, х(0) ы х(1) = о ! 1.3. Х *' 3 !(аз+!я)ег- ехгг; х(0) =х(1) = о ! гзх) о!1 — ек!г; х(0) = х(1) = о 1.5. 1хз лг — ек!г; х(1) = О, х( ж 1. ! ! (1+ 1)х~ 41 ехгг; х(0) = х( ) о з / (1з 1)хз 41 - ехгг; х(2) = О, х( ) з ! 1.8. / хзхз,и — ехгг; х(0) = 1 х( ) о 4/3 1 зи - екгг; х(0) = 1 ./ хз о ! 1,10 / е'хз зи — ехгг; х(0) = О, 1 =1п4.
о ! 1 И ~(хз+ хх+ 121х) и екгг. х,,— хо =х1)=0. о ! /(1з з+12х)!и- ехгг; х( з= з О =О х(1)=1. о Глава 3. Варнаанонное исчисление 152 1.13. /(х + х ) дг — «ехгг; х( — 1) ш х(1) — 1 — « 1 1.14. /(х +х +4хзЬГ)йт-«ехгг; х(0) = — 1 х(1) = 0 о 1 1.15. ~ (и + х + 4х сй 1) га — ехгг; х(0) = х(1) = О.
/ .з о »/з 1.1б. 1 (й — х )йà — ехог; х(0) = 1, хг — 1 = О. »/з 1.17. /(х — х + 4хсоаг) дй — ехгг; х(0) = хгà — ) = О. о »/2 1.18. /(х~ — хз — 4хип1)га - ехГП х(0) = х( — 1 = О. о нз о 1 1.20. ~ тгг~+ И- Н т, 1.2!. / хт«Т[+ хздт - ехог; х( — То) = х(То) = С (задача о минимальной поверхности врашения). 1« т/1+ хз 1.22. дг- ехгг; х(1о) =хо, х(1~) =х~ (хо > О, х~ >0) (задача о брахистохроне).
т, .23. / ъ/х+ л~/ч +х м — ехгг; х(0) =О, х(то) = г (ь > 0) о (задача о стрельбе). 52. Задача Вольна %2. Задача Больца 153 2.1. Постановка задачи Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве С'([1о, 1~]): В(х(.)) = / Б(1, х(1),х(1)) дГ +! (х(го), х(1«)) ехгг. (Р) Здесь 1 = Б(г,х,х) — функция трех, а1 =1(х(1о),х(1«)) — функция двух переменных. Задача Больна — элементарная задача классического варнационного исчисления. Функционал В называется фун~ционалом Больна, функция 1 — термииантом. Любые Функции класса С'([го, 1,)) являются допустимыми в задаче. 2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
