Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ж * ' ~-дгу.,(1)-р(гу.,(1)+Т„(1) =о; Ь) тронсверсальности но х 1 р(Еь) = 1*.««,1, ел(Еь) = Еыв! е=ь ~ . (Е) = Е,,; э ьл ь — *„«ь! ~ ~.„(Е«) = -Еьл!«,1, с) стационарности но нодвихсным концом (выпнсывается только для подвижных концов отрезка интегрирования) л„(Е,) =о с=ь -у(Е,)+Еь+Е.,„!й(Е,) =о, ль(Е,) =о е у(Е,)+Еь+Е,«ь!й(Е,) =о; 6) донолняюи«ей нежесткости Л«В«(Е) = О, ь = 1,...,гв'; е) неотрицагнельности Л; 3~ О, ь = О, 1,...,гв . Докааатнльстно теоремы основано на правиле множителей Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенств и неравенств в нормированных пространствах (глава 1, п. 8.2).
Покажем, что все условия теоремы о правиле множителей Лагранжа выполняются. Поскольку равенство В, = 0 можно заменить двумя неравенствами В«< О, — В; < О, то в дальнейшем для простоты записи считаем, что у нас имеются только ограничения типа неравенств и пь' = пь.
Пусть Х = С'(сь, К") х К', У = С(«з, К ). Это банаховы пространства условие банаховости выполняется. Из непрерывной дифференцируемости функций в теореме Эйлера— Лагранжа следует, что функционалы ВпХ вЂ” К, 1= 0,1,...,«в, и отображение Р: Х У, Р(х(),1««,1 ) = х (1) — у (г,хЯ), строго дифференцируемы в точке Š— условие гладкости выполняется. Ослабленное условие регулярности — условие замкнутости образа оператора Р'(Е) выполняется, так как 1шР'(Е) = У = С(гь, Кь) замкнутое пространство.
Действительно, е' ((ИЛ(),ть, т«) = Л(1) — ~э~,ЯЛЯ, а система линейных дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами л(1) — Р,. (1)л(1) = дЯ (1) имеет решение для любого р() б С(«ь,К"), определенное на всем отрезке «з, с любым граничным условием в форме Коши Л(Еь) = у.
Все условия теоремы главы 1 и. 8.2 выполняются. Согласно этой теореме сушествуют вектор Л = (Лм Л«,..., Л ) б К ь' и функционал р Е У' не равные одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа л(О =,'1.А«В;(О+(р',Р(О) = л(*(),1.,1) = «=ь = / У(1 х хр) 61+ (р',х' (1) — р(1 х(1))) +1(1, х(1,) 1, х(1,)) ь выполняются условия: а') стационарности Лг = 0 «=ь Л, = 0 ( л =о,л =о),л,=о,л,=о; Ь') дополняюшей нежесткосги: Л;В;(Е ) = О, « = 1,..., гв; с') неотрицательности: Л; > О, Е = 0,1,...,гв. Покажем, что нз уравнения Л, = 0 следует сушествование функции «( р б С'(йь, Кь) такой, что (р',у()) = 2 р(1)р(1) «и Ч р с С(«А, К ) и дяя «ь которой выполняются условия а)-Ь) теоремы Эйлера — Лагранжа. Тогда 176 бб.
Задача Лагранжа Глава 3. Вариациоииое исчисление 177 6.3. Примеры Отсюда в силу соотношения (1) Определим функпию р из условий; Л = Л и теорема будет доказана. Уравнения Эйлера и условия трансверсальности по хл булут вытекать из условия стационарности функции Лагранжа й по х,г. Они выводятся как и для задачи Больна. Распишем условие стационарносги Л по х„: Л,. = 0 с=о Л .[Ь) = 0 о Ь б С (гз, Ко) о=ь 1~ 7, (1)Ь(1) !11+ 1, !!,!Ь(го) + 1,,!г,!Ь(1!) + (у, Ь(1) — !р,.
(1)!г(1)) = О. (у',у()) = — ~ у..йд1 — 1. !е!7 — 1, !ь!Ь((!) У у б С(й), У 7 Е К" (2) -Р(1) — Р(1)Р.„(1) + У.. (1) = О, Р(1,) = -!. Одн (3) По теореме существования и единственности решения задачи Коши для линейной неоднородной системы (АТФ, с.!91) функция р Е С!(Л,К ) определяется нашими условиями однозначно. Тогда в силу (1) и (3): гт — (рЬ) Д1 = р(1!)Ь(1!) — р(1о)Ь(го) = ~(РЬ+ рЬ) Ж = О 1) = / (7,„Ь вЂ” Р!Гг,.Ь+РУ+Раг,.Ь) !11 = г~(У,.Ь+РУ) !11 $! находя отсюда 3 г,.ь ж и подставляя в (2), получим (у',у()) = ~ру!11 — р(Е!)Ь(1!)+р(!о)Щ) — 1.
и!7 — (, !г,!Ь(1!) Й ( руг!о+7(Р(то) — 1ю!в,!) о у Е С(гЛ,К ), У у Е К . Откуда (у',у(.)) = ) р(1)у(1) г11, р(1а) = 1, !и!. Таким образом, Л = Л. ° ! Пример 1. г (х(.)) = 3 х' ет — еиг; 3' х гтг = О, х(!) = 1, а о ! Решение. Функция Лагранжа: й = ) (Лох~ + Л!х) Ж + Лг(х(1) — 1) . о Необходимые условия: а) уравнение Эйлера для лагранжиана Ь = Лох + Л,х .г !1 — — Ь. +2,. = О Е -2Лох+ Л! = О; Ж Ь) трансверсальность по х для терминанта ! = Лг(х(1) — !) 2,(0) = !х!а>, Ьо(1) = — 1,!О ч=ь 2Лох(0) = О, 2Лох(1) = -Лг, Если Ло = О, то из а) Л! — — О, а из Ь) Лг = 0 — все множители Лагранжа — нули.
Этого не могкет быть. Положим Ло = -. Тогда и = Л! . ! Общее решение: х = С!1г+ С!1+ Сг. Неизвестные константы С„Сг, Сг находим из условия трансверсальности х(0) = О, из условия на конце в единице и из изопериметрического условия; й(0) = О =~Сг = О, < '(!)= ! ус,+с,= 1, ) с, / х ет = 0 ( — + Сг = О. о Отсюда С! — — —, Сг = — —. Таким образом, в задаче имеется един! ! огненная допустимая зкстремаль В =— г!'- ! г Покажем с помощью непосредственной проверки, что функция х доставляет абсолютный минимум в задаче. Возьмем функцию Ь Е С'((О,!)) такую, чтобы й+ Ь была допустимой функцией. Для зтого ! надо взять функцию Ь, для которой Ь(!) = О и 3 Ь <11 = О. Тогда ! ! ! т(х+ ь) — 2(й) = ~(е+ ь)' г!1 — ~ йь г!1 = 2 / Ы а+ ~ ьг г!1 > 2 ~ е Ь,11 о ' о о о о Интегрируя по частям с учетом условий на Ь и условия трансверсал ьностн х(0) = О, получим ! ! ! Х(х + Ь) — Е(й) > 2 / МЬ = 2М~ — 2 / хЬ Ж = — б / Ь Ж = О.
о 178 Глава 3. Вариаяиаыиое исчисление Таким образом, разность всегда неотрицательна, то есть имеем абсолютный минимум. Очевидно, что Я = +ос. Лействительно, возьмем последовательность допустимых функций х„(!) = х(1) + и ми 2яг, тогла 1(х„( )) — ~ +оз при н - ос. Пример 2. х~ гй -~ ех!г; х(0) = х(0) = О, х(1) = 1. а Решение. Эту задачу можно свести к задаче Лагранжа, вводя вместо функции х вектор-функцию (х!,хг), и обозначения: х, = х, хг = х. Тогла исходная задача смдется к задаче Лагранжа: Вг! — ех1г; х! — — хг, х!(0) = О, хг(0) = О, хз(1) = 1.
о Функция Лагранжа: А = / (Лохг + р(!)(х! — хг)) !В+ Лзх!(0) + Лгхг(0) + Лз(х!(1) — ). о Необходимые условия: а) система уравнений Эйлера для лагранжиана 1 = Лохгг + р(й! — хг) — — 1„, +1,„=0 о=» -р=О, й й — — 1, + 1, = 0 о=» -2Лохг — р= 0; ю $6. Задача Лаграюал 179 х = С!1з+ Сгг~+ С!1+ С, Неизвестные константы С!, Сг, Сз, С4 похолим из условия трансверсальностн йг(1) = 0 о» й(1) = 0 и из условий на концах: х(0) = 0 =г Со = О, й(0) =Ою Сз — О, (-: — -( х(1)=1, 1С,+С =1, й(1) = 0 16С! +2Сг =0 (с, = —,-', Таким образом, в задаче имеется единственная лопустимая экстре!3 з1 маль х = -- + 3-.
г г Покажем с помощью непосредственной проверки, что функция й доставляет абсолютный минимум в задаче. Возьмем функцию )з 6 Сг([0, 1)) такую, побы х+ !з была допустимой функцией. Для этого надо взять функцию Л, для которой Л(0) = а(!) = )з(0) = О. Тогда для функционала 1(х( )) = ! В !В имеем о ! ! ! 1(й+)з)-1(й) = ~(й+)г))гй- ~Ь' и =2~и гй+~И' и > 2~ййгй, о о о о о Интегрируя лважды по частям с учетом условий на функцию )з и условия трансверсальности й(1) = О, получим 1(й+Ь)-1(У) > 2/ й й = 2хй! -2)йо)Ь Л = -2йр)д! +2/ й< )й,й О о о Таким образом разность всегда неотрицательна, то есть имеем абсолютный минимум. Ь) трансверсальность по х для терминанта ! = Лзх!(0) + Лгхг(0) + Лз(х!(1) — 1) 1о,(0) = 1„!щ, 1о,(1) = — 1,,1!) е=ь р(0) = Л„ р(1) = — Лз, 1о,(0) = 1аз!о)1 1о,(1) = — 1,г1!) е=." 2Лохг(0) = Лг, 2Ло*'г(1) = 0; с) неотрицательность "о >О.
Если Ло = О, то из а) следует, что р = О, а из Ь) Л! — — Лг = Л = Р— все мнолпггеви Лагранжа — нули. Зтого не может быть. з = Положим Ло — — -'. Тогда нз а) хг = 0 о» х1") = О. Обшее решение: ! ! ! охи = ~й ггг = /( — 31+3) йг = 9 ~(1г — 21+1)!и — 31з 91г+91 ! 3 о Найдем абсолютный максимум в задаче. Возьмем последовательность допустимых функций х„(1) = й(1) + по~(х — 1); тогда 1(хв(')) = /(х(!)+н(6! — 2)) !В- +оз прин- +со, о т.е. В =+со. Глава 3. Варнацнонное исчисление 180 6.4.
Вывод уравнения Эйлера — Пуассона иэ теоремы Эйлера — Лаграиаса Вернемся к задаче со старшими производными: г(х(.)) = / Х(1,х(!),х(!),х(1),...,х (1)) (И вЂ” ! ехгг; х (!!) =хм, Ус=0,1,...,п — 1, ! =0,1. Теорема. Пусть х Е ш!осек!гР, функции ТчТл, Ьл,...,Ь !.! — ненргрывны в некоторой окрестности расширенного графика Ггл и., Тогда Х т Е С (11е, 1!1), х = 1,...,и, и вынолнгно уравнение Эйлера — Пуассона и л ~ (-!)' —,Х.в!(!) =О !У1Е'1!е,1!].
а=о Доквавтельотво. Приведем задачу со старшими производными к задаче Лагранжа, сделав замену переменных хь = х!" '1, к = !,..., и, $, л (1, х !, хг, х„, х„) гй — ехгг; Еь = хнв!, 6 = 1,...,п — 1, хь(1!) — хь- ! гн !с = 1,..., п, у = О, 1. Здесь переменной является вектор-функция (х!,...,х„). Поскольку функция х доставляет локальный экстремум в задаче со старшими производными (Р), то вектор-функция (х!,...,х„) доставляет локальный экстремум в задаче Лагранжа (Р'). Выпишем согла~но теореме Эйлера — Лагранжа необходимые условия стационарности для лагранжи- и — ! ана Х = Лей(1,х!,хэ,...,х„,х„) + 2„рь(хь — хь+!). Терминальную часть л=! функции Лагранжа, а также остальные необходимые условия экстремума, не играющие существенной роли в задаче с закрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования, не выписываем. Система уравнений Эйлера: — р, +ЛеХ„ с ь — рь+ЛеХ*, Н вЂ” — ЛеХв„+ !и =О, — р» ! — — О, 6=2,...,п — 1, д —" — — Ьв„+ Ьа„т — О, !с = 1,...,п ЛеХ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
