Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 36
Текст из файла (страница 36)
226 Глава 5. Усаовия второго порядка в вариациоиаом исчислении Доказательство. Лля простоты записи проведем доказательство доя и = 1. Возьмем функцию (1 — ]1])' а(1) = ]1] <1 О, ]1]>1. Она неп[!ерывна, а ее производная при 1 = 0 имеет скачок величины — 1, ]а(1)] < —, ]а(1)] < —. Пусть т! Е (1оа 1!), о = 1,..., пь, — точки разрыва производной х и гз! = х(т! + 0) — х(т! — О) — ее скачки в этих точках. Функция Ьх(ч т,) = ! а(п( — т,)), график которой получается из графика функции а преобразованиями подобия и сдвига, также непрерывна, и ее производная непрерывна, кроме точки г;, где она по-прежнему имеет скачок — 1, кроме того ]й(1, т!)] < —, ]Л(1, т!)] < -.
Тогда функция х„(1) = х(1)+~ да, ЦС, т;) непрерывна вместе со своей ° =! производной на отрезке [го, 1!], причем х„(1) = х(1) вне отрезков [т! — „-, г! + „-]. В частности, для достаточно больших и зти отрезки ! ! не перекрываются, х„(1о) = й(1о), х„(1!) = й(1!), х $х !а! — а!а!! = ] г, ь ао,;!] а — щ !ь ! = — - а „,;. 1 гь 4п а 4п ° =! ]х„(1) — х(1)] = ~~ Ь!1ь(1,т)~ < — шах]са!] = — (Ь: = шах]Ь![), 1 2 а ' 2 а а=! На компакте ((1,х,х) ] 1о <1 <1!, ]х — й(1)] < — „, ]х — й(1)] < э ~, непрерывная функция Ь ограничена: [Ь(1,х,х)] < М. Поэтому !! !а !а!*.! — иа!! = ] 1аца,*.,а!х — 1аца а а)х] = !а ьа Г, .
4Мгя =]г", 1 !ца.*., )-цаа,а!!х х п а=! т,-- и, следовательно, 1(х„) — 1(х) при п — +со. Следствие. Абссиютиый экстремум в задаче (Р) на сильный и слабый экстремум совладают: Вв ь му = В ь р. Для локальных экстремумов это может быть не так (см. п. 1.2). 4 1. Простейшая задача варпациоипого исчислеяия 227 1.4.4. Необходимые условия слабого экстремума. Теорема 2. Пусть функция х 6 С ([1о,1!],К") доставляет слабый локальный минимум в задаче (Р) (й Е чг1астапР), интггрант 1 трилсды иглргрывна диффгзэгнцируем в некоторой окрестности расширениага графика Гьг (Ь Е С (О(ГоД) ).
Тогда на й вылалнягтся уравнение Эйлера, условие Лгэкандра и, если на экстремали й вылалнгио усиленное условие Лежандра ( Хьх(1) > 0 'о'1 б [го, 1! ] ), то вылалиягтси и условие Якоби, т. е. иа интервале (оо, 1!) нгт сопряженных точек. В задаче на максимум условие Лежандра меняет свой знак. Доказательство. Лля простоты записи проведем доказательство для я = 1. 1) Вывод уравнения Эйлера и условия Легкандра. Поскольку функция х Е ан!осш1пР, то для любой функции Ь б Со([1о, 1![) функция О!(Л) = 1(х() + Лгь()) имеет локальный минимум в нуле. Тогда по необходимому условию минимума функции одного переменного оа'(0) = 0 и арх(0) > О. В главе 3 п.
1.3 было показано, что первое условие равносильно выполнению уравнения Эйлера на функции й. Второе условие эквивалентно нестрицательности функционала К(Ь(.)) = / (Хьь(1)д'(1) + 2Ххь(1)Ь(1)д(1) + Х..(1)дэ(1)),И > О аа У Ь Е Со([оо, 1!]). Из неотрицательности и вида функционала 1Г следует, что функция Ц1) = 0 доставляет абсолютный минимум (слабый) в задаче Л(й(-)) = /(1ьхй'+2бххбл+бххйз) 48 -а !пГ Д(оо) = Ь(1!) = 0 (Р") По следствию из леммы о округлении углов функция Ь = 0 доставляет в задаче (Рх) и сильный минимум. Тогда в силу теоремы 1 о необходимых условиях сильного минимума в задаче (Рх) на Й выполняется условие Лежандра для ннтегранта Х(1, б(1), Ь(1)): = Хьо(1) Лэ(1) + 2Х.ь(1)Ь(1)й(1) + Ххх(1)йз(8), т.е.
Хьь(1) > 0 оо Ххх(1) > 0 аг 1 Е [ооа1!]. Таким образом, условие Лежанлра в задаче (Р) выполнено. 8' 228 Глава 5. Условия второго порядка в вариаииоииом исчислении 2) Вывод условия Якоби. Предположим противное, что условие Якоби не выполнено, т.е. существует точка т б (Се, С~) и нетривиальное (Ь х 0) решение Ь б С'([Се, С~ ]) уравнения Якоби, для которого А(Се) = Ь(т) = О. Отметим, что из нетривиальности решения Ь однородного линейного дифференциального уравнения второю порядка с условием Ь(т) = 0 вытекает, что Ь(т) ~ О. Положим Ь(С) = ~ ' ' Так как (Ь(С), Со <С <т, ЛО, т<С <Со функция Ь удовлетворяет уравнению Якобй то после интегрирования по частям получим К(Ь( )) = ~ [Х„Ь'+ 21,.ьЬЬ+ Ь..Ь') СС = ~ (У Ьз+»т ЬЬ+»и ЬЬ+о 1») й = / (Х»аЬ+ Х»»Ь) Ь~СС+ / (й«»Ь+ Х»»Ь) Ь,М г» ь « - (г в+»»)»~ +1( — (гс»+г») +ъ»~»..»)»а=о.
б 1. Простейшая задача вариациоииого исчисления 229 1.4.5. Поле экстремалей Пусть в простейшей задаче КВИ 1(х( )) = /1 (С,х(С),х(С))»С -«1пу; х(С«) хе, х(Ср) = хь (Р) х — некоторая экстремаль (т.е. на х выполняется уравнение Эйлера) из семейства экстремалей (х(, Л)), х(.,Л) Е.С'([Се, С<], К"), с параметром Л б Л б О(К") (сь А — некоторое открытое множество в пространстве К"). Говорим, что экстремаль й окру»цена полем зкстремалей х(.,Л), если существует окрестность С графика Ре — — ((С,й(С)) б К"+~ ] С б [Се, С~]) такая, что лля любой точки (т,с) из этой окрестности имеется единственная экстремаль семейства, проходящая через эту точку. Точнее говоря, существует функция Л: С - К", Л = Л(т,~), класса С'(С), такая, 'что х(т, Л) =" Е сг Л = Л(т,с)..
Функция, и: С вЂ” К", и(т,1) = ~ х(С, Л(т, с)) ] называется а»уппциец наклона поля'. Если существует такая точка (С„х,), что х(С„Л) = х, для всех Л б Ь, то говорят, что х акдузсела целила»ьцыи полем зксгпремалей. Точка (С„х,) называется центром паля, семейспю хй. Л) — центлальпым полем зкспгремалей. Таким образом, СГ(Ь) = О, а это означает, что Ь Е зи1осглт Р«(наряду с функцией Ь = О). Проводя рассуждения, аналогичные проведенным в теореме 1, получим, что найдется функция.
р Е РС~([Се, С2]) такая, по для лагранжиана квадратичной задачи Х(СЬЬ) = Х«» Ь~+2Х«ЬЬ+Х Ьз на экстремалн Ь выполняется уравнение р(С) = ХЛ(С, Ь(С), Ь»(С)) Ь й(С) = 2(Хлл(С)Ь»(С) + Хл,(С)Ь(С)). Поскольку Ь(С) = 0 при С > т, то р(т+ 0) = 0 н в силу непрерывности функции р 0 га(т 0) — 2Ха'(т)Ь(т 0) 2Ха'(т)Ь(т) 0 откуда Ь(т) = 0 (ибо й (т) Ф 0 нз-за усиленного условия Лежандра). Мы пришли к противоречию с условием Ь(т) Ф О.
Таким образом, предположение противного неверно и условие Якоби выполнено. ° супимеп. 1(хН) = ] (х~ — х~) ас (гармонический осциллятор). Йо Уравнение Эйлера х + х = О. Экстремали этого функционала имеют вид х(С) = С~ мпС+ Сзсозг. Совокупность экстремалей х(С,Л) = Лз1пС есть центральное поле экстремалей с центром в точке (О,О), включакицее, в частности, экстремаль х(С)»вЂ” в О,: покрывающее полосу 0 < С < я.
Функция пай»она поля и(тД), О < т < и, вычисляется следующим образоья надо взять экстремаль поля, проходящую через точку (т,0 (т.е. (,,„Ч, ), и вычислить производную этой экстремали по С в точке г. Таким образом, и(т,() = Ссгйт. Отметим геометрический смысл сопряженной точки. Сопряженная точка — это точка пересечения «бесконечно близкихэ экстремалей. Если рассмотреть центральное поле экстремалей х(,Л), удовлетворяющее условиям х(С„Л) = й(С„), х(С„,Л) = х(С,)+ Л, то сопряженные точки— это точки пересечения экстремали с огибающей 'этого семейства.
Иначе говоря, надо решить уравнение х»(С,Л) = О. В приведенном выше примере сопряженные точки: ть = Ьх, Ь = 1, 2,.... 230 Глава 5. ЗЬловня второго порядка в варнационпам исчислении Построение центрального пола экстремалей Теорема.
Пусть Х б С ([гь, 1,[, К") — данустимал зкстремаль в задаче (Р) (х б Е(Р)), интегрант Е трилгды ненргрывна диффергниируем в некоторой окрестности расширеннага графика Гьь (Х б С (О(Г,ь))), выналнены усиленные условия Лехсандра и Якоби. Тогда й манена акругкить центральным полем зкктремалере Яоквавтвльотво.
Распишем уравнение Эйлера д — — Еь«, х, х) + Е,«, х, х) = О ~ Е„«,х,х)У+ В.«,х,х)в+Ты«х,х) — Г,«,х,х) = О. Так как выполнено усиленное условие Лежандра, т.е. неравенство Хьь«) > О ч 1 б [гь,г,[, то в силу непрерывности функции Гь (напомним, что Е б С ) найдется такое У б О(К'"+'), Г„С У, что Ь .«,х,х) > О 'ч «,х,х) б У. Значит, в области У уравнение Эйлера равносильно системе, разрешенной относительно производных х=у, у=Ф«,х,у), где Ф«,х,у): = йь(«, х, у)(г.,«, х, у) — йы«, х,у) — Ьь,«,х,у)у). В силу предположенной гладкости интегранта функция Ф непрерывно дифференцнруема в окрестности, У. Тогда по локальной теореме существования [АТФ, с.!86[ и глобальной теореме существования и непрерывной зависимости решения от начальных данных [АТФ, с.195[ найдутся такие е > О и б > О, что а) решение х продолжимо на отрезок [1ь — е, 1~ + е[; Ь) для любого Л б К" ([Л[ < б) на отрезке [гь — е, 1, + г[ определено решение х(, Л) уравнения Эйлера с начальными данными х«„Л) = У«,), х«., Л) = й«,) + Л, где 1„— некоторая точка интервала «ь — е, гь).
По теореме о дифференцируемой зависимости от начальных данных [АТФ, с. 204[ функция «,Л) х«,Л) = [х$«,Л),...,х„«,Л)) непрерывно дифференцируема. Покажем, что зкстремаль х окружена центральным полем экстремалей х(чЛ). Дифференцируя функцию х«, Л) по Л, полагая Л = 0 и обозначая х,«,Л)[ь=а =: Н«,1„) НО«,1,): = ' ', 1,2 = 1,...,и), ( ° дх;«, Л) дЛ1 $ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
