Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Зяд и й,'(0) = Сз + С, йз (О) Сз С4 ь,'(о) = с + с йз(о) = с, — с, О, ! = Сз = — . 2 О, =»с =с =о,с, 1, О, зь т + 5!п т г!СгН(т) = 0 4=» 4!е! Лйт — з!пт 2 ойт — япт зйт+ япт 2 242 Глава 5. Условия второго порядка в вариациоииом исчислении Ишем фундаментальную систему решений уравнения Якоби — матрицу Н(!) = (Ь'(1)Ь (!)) = ~ [( ' 2" ) такую, что Н(0) = 0 (нулевая т, ь,'(!) й',(!) ) матрица), Н(0) = 1 (единичная матрица).
Для вектора й (!) = ~ ! ) = = ~ь,'(!)) = (; ° — -"-) С зь ! + С!си! + Сз о!п ! + С4 сох! '1 ! С Ь ! С ° ! С ! ) ДОлжны ВыполнЯтьсЯ УслОВиЯ / О ! 4пп ! '! / пт-яп! ! Отсюда й'(!) = ~,ыза„! ). Аналогично находим: йз(!) = 2 2 Сопряженные точки являются корнями уравнения (зйт+ з!пт) — (ойт — япт) = 0 с=» зйтз1пт =0 4=» т = !сз', й б Х. На полуинтервале (О, 1[ нет сопряженных точек„следовательно, выполняется усиленное условие Якоби. По теореме 3 п.1.4.6 вектор 5 = (х„йз) = (яп1, — яп !) Е зо1осш!и. Условие Вейерштрассо — необходимое условие сильного минимума— выполняется: Н(1,5,х,а): = Ь(з,х,и) — !(г,х,х) — (Ь (1,х,й),и — х) = = а! + из + 2х1хз — 5, — хз — 25!5!в =(а! — Х!) +(из — 52) > 0 зг (и1,из) б К, У С б [О, 1[.
Вынухлость интегранта но х, функция Ь(1, х, х) = из+ хзз + 2х1хз выпукла по х, так как Хй — положительно определенная матрица для любых (з,х) б !1~. По теореме 4 и.1.4.7 вектор 5 = (х1,52) б 1осппп (сильный). (Отметим„что из условия выпуклости интегранта Ь по х следует выполнение условия Вейерштрасса.) Если воспользоваться теоремой 5 п. 1.4.0 лля квадратичных функционалов, то получим, что х = (51,хз) б а!жш!и (и слабый, и сильный). 6 1. Простейшая задача аарнациоииого исчисления пгз 1д.
/(хз — хз+4хсоз!)4!- ехгг; х(О) =х( — ) =0 о зпя (3!11 1.2. (х — х — 4хяп!)41 — ехи; х(О) = х( — 1 = О. з2/ о 1 1.3. /(хз+ Зх')сн41- ехгг; х(0) = 1, х(1) = е. о 1 1.4. /(х' — хз)е 42 — ехгг; х(0) = О, х(!) = е. о 1 1.5. / з!пхг!! — ! ехгг; х(0) = О, х(1) = —. о 1.6. / созх4! — ех!г; х(0) = О, х(1) = !г.
о т, !.7. / хепо! - ехгг; х(0) = О, х(То) = 6. о 1 1.8. / хлеп о! — ех!г; х(0) = О, х(1) = 2. о 1 1.9. /(х~+4х~)41- ехгг; х(0) =О, х(!) = — 1. о 112 (31= 1.10. /(х~-~-2х)4! — ех!г; х(О) =О, х( — 1 = 1. ~2г о т„ 1.11. /(х + 5х) 4! — ! ехн; х(0) = О, х(То) = !. о 1 1.12. /(1 — х~)'4! — 4ех!г; х(0) =О, х(1) =!. о 244 Глава 5. Условия второго порядка в аариаяиоииом исчислевии Ответы к задачам главы 5 1. (! — — ") гйп! Е аЬапх!и; Я,п« = +оз. 2.
!сох! Е и!осеххг; асмп — — -со; Я„„„= -1-оо 3. е' 6 аЬьш!и; Я„,„= -1-со. 4. !е ' Е аЬьшах; Зппп «и — со. 5. Зпмп = — 1, '— 6 аЬяпах; Бм,„=!. б. х! 6 аЬхш!и; Я и = — 1; 3„„„= !. > — 2 =ь л = Е хг!осгп!п,!Г мг1оспцп; 3~- < — 2 =ь ж Е и1осгпах, к мг1осгоах«в = — 2 ~ л к чг1осехгг; Я е пп -со; Я м ш +оз. 8. 2! 6 хи!осто!и; Боп««п +со.
9. — ! Е хч1осгп!п,йгаг1оспнп; Ямм = -со; Б,„п« =+со. "И з 1О. — з!) Е хч!осеххг; Я;и «и — оо; Я,„«ьсо. 2 11. 5 2 5/ > 3Те ~ й '= - ([! + С) 4 — С4 ) 6 хе!оса!и, Д а!г!ест!и; 5 4 2 6 < — -1'„й =.ь — к Е хч1осгпах, к агг!осгпах, где константа С отыски- 2 2' вается из граничного условия на правом конце; — ~[!+ С) 4 — Сз) = [6); 3х, 5 5 5 3ТО ~ Е 3!л к агг!осехгг; б = — -Ть ~ е !и и а!г!Осах!г* г 4 4 4 5 5 — ь 4 2 )6! < 3Т2 =ь допустимых экстремалей нет; Яем = — оо; Я~,„= +со. 12. )6) > ~ ~ л = 6! Е хг!осгп!и, и агг!осгп!и; )6] < д =ь к Е хи1осгпах, Е агт1ОСГпаХ; Бгмп = ~ З З .
Б =+СО. 1О, )() <1, ппп — '~ [С !)2 ]Сп) > !. п«а« = Список литературы к части 1 [!] [АГГ) Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. Мл Наука, 1984. [2) [АТФ) Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. Мл Наука, 1979. [3) Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации. Минск. Изд-во БГУ, 1981. [4[ [ГГ) Галеев Э. М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач.
Мс Изд-во МГУ, !989. [5) Галеев Э. М., Кушниренко А. Г., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимальному управлению. Мл Изд-во МГУ, 1980. [6) Галеев Э. М. Классическое вариационное исчисление, оптимальное управление. Мл Изд-во МГГА, 1995. [7) Галеев Э.
М. Линейное про!раммирование. Мл Изд-во М ГГА, 1995. [8] Галеев Э. М. Экстремальные задачи. Мл Изд-во МГГА, 1996. [9) Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Мл Наука, 1988. [1О) Яемиоович Б. П и Мирон И. А. Основы вычислительной математики. Мл Наука, 1966. [11[ Заславский Ю.Л. Сборник залач по линейному программированию. Мл Наука, 1969.
[12) Карманов В. Г. Математическое программирование. Мл Наука, 1980. [!3] Куроиг А. Г. Курс высшей алгебры. Мл Наука, !975. [!4) Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. Мл Мир, 1973. [15) Саульев В. К Прикладная и вычислительная математика. Вып. 3. Изд-во МАИ, 1971. [16) Фихгиенгольи Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тг. 1, 2. Мл Наука, 1969. Часть И Глава б Общая теория экстремальиых задач 90.
Введение В мире ие проискодиг ничего, а чем ие был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума. Л. Эйлер Первой задачей на максимум, обсулшавшейся в научной литературе, принято считать классическую изопериметрическую задачу о кривой заданной длины, охватывающей максимальную плошадь, стимулом лля постановки которой был для древних поиск совершенных форм. Две знаменитые задачи Хгг!1 века — задача И. Бернулли о брахистохроне (кривой наискорейшего спуска) и аэродинамическая задача Ньютона (о поверхности вращения, испытывающего наименьшее сопротивление) были вызваны к жизни проблемами механики и техники, а рождение линейного программирования (транспортная задача, задача об оптимальном распределении ресурсов и др.) — запросами экономики и военно-промышленного комплекса. Огромное число задач на экстремум породили проблемы автоматического регулирования, космической навигации и другие задачи управления в технике.
Об этом уже было сказано в первой части книги. Так что теория экстремума имеет весьма важные приложения. В этой главе (написанной на основе записок лекций, читавшихся В. М.Т .Тихомировым на механико-математическом факультете МГУ а осеннем семестре !998 года) делается попытка вскрыть основные принципы, на которых базируется теория экстремума (в основном, в части, связанной с необходимыми условиями). П режде, чем переходить к изложению этих принципов, нужно кое о чем напомнить. $0. Введение 247 0.1. Основные темы н нрннннны общей теорнн экстремума Вследствие того, что экстремальные задачи (как правило) изначально описываются на языке той области науки, в которой они возникли, необходим перевод такого описания на язык математического анализа.
Он называется формализацией задачи. Далее употреблется, как и в части 1, такая запись формализованной проблемы: Д(н) пип(игах); в Е 27. В связи с каждой экстремальной задачей (Р) можно поставить такие вопросы: 1) каковы необходимые условия экстремума в задаче? 2) каковы достаточные условия экстремума и как изменяются решения при изменении параметров задачи? 3) существует ли решение задачи? и 4) возможно ли найти решение явно и, если это затруднительно, то как найти его численно? В теории экстремума выделяются в соответствии с этими вопросами следующие четыре основных темы: необходимые условия; возмущения экстремальных задач и достаточные условия; расширения экстремальных задач и сушествование решений и алгоритмы отыскания решений. В каждой из перечисленных тем можно выделить одну или несколько важнейших обшил плей (принципов), которые являются стержневыми в соответствуюшей части теории.
Сформулируем их. Во всех задачах, о которых речь шла в предылуших главах и многих других, сосушествуют (хотя это нередко затруднительно усмотреть) две структуры — гладкая и выпуклая. К таковым относятся гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств, задачи выпуклого программирования, классического вариационного исчисления, оптимального управления, ляпуновские задачи, задачи с распределенными параметрами и другие. Одной из фундаментальных идей, которые дают возможность проявиться выпуклости в задачах вариационного исчисления и оптимального управления, является следуюшая: интегральные отображения, построенные по непрерывной мере имеют выпуклые (или почти выпуклые) образы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
