Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 42
Текст из файла (страница 42)
2. Общий случай. Пусть теперь Р— слабо регулярно. Обозначим Ьо = 1шЛ, А = Р(У,И), С = Ьо+ А. Пусть я: г'/Ьо = Я вЂ” каноническая проекция. Из условия теоремы вытекает, что Я вЂ” конечномерное пространство. Нала разобрать два случая; 0 Ф !пгггС, 0 б 1пгяС вырожаенный н невырожденный. В вырожденном случае по теореме отделимости существует х' Е Я' такой, что (з',з) > 0 уз Е !гС. Положим Л = я*х' (я' — оператор, сопряженный к я). В силу того, что ог — сюрьективный оператор, Л ~ О. Имеем: (Л,йх+Р(й,и)) = (я*а',Ах+ Р(й,и)) = = (з',ог(Лх 6 Р(х,и))) > 0 !!Г х Е Х, и 6 И с: (!), (2).
Осталось рассмотреть невырожденный случай. Коль скоро 0 6 !и!яС, существует натуральное число т, (г;),, а, > 0 такие, что 2 а!з, = О, !=! з! = ггР(У е ) и сапе(з );, = Я. Тогда по определению 2 а Р(6 е!) Е Ьо, т.е. существует элемент г Е Х такой, что Л~+ 2 а,Р(х, е!) = О. Далее В= ! поступаем подобно тому, как в ре!улярнам случае. Выбрав ео Е И, определяем отображение 6 1.
Принцип Лаораюво для необходимых условий экстремума 257 хб Х, а=(а„...,а,„). Оно отобразкает Х х К о' в Х, строго дифференцируемо и Ф'(О, О,..., 0;ео)[х,ао,а[ = Лх + 2 а<Р(х,е!). Пусть Лй + Р(6,6) = О. Тогла з=о Ф (О О,...,0 6)[х + ес, 1, еа[ = Лх + Р(х, е) -ь е(йг + 2 а Р(х е!)) = 0 !=! и по теореме Люстерника найдугся г(): [ — 1,1[ Х, р,: [-1,1[ — !к, 0 < о < ег такие, что г(1) = о(1), р,(1) = о(1) и Ф(6+!С+ с(1),1+ ро(1),еоа! + р!(1),...,еоа +р (1)) = 0 916 [ — 1,!!. Из условия выпуклости получаем, что найдется элемент и(Ц Е И такой, что Р(х+ ох хь е1с + г(1), и(1)) = О, откуда (уо(х), й) > О.
Положив 6 = У, получим, чта 1О(х) Е (Кегй)~. Из леммы о нетривиальности аннулятора следует, что существует элемент Л! Е 1ч такой, что 1О(х) + Л*Л! — — О. Пусть теперь Р(х,и) Е Ео. Тогда найдем элемент х(и) Е Х такой, что йх(и) + Р(х, и) = 0 (еа) Следовательно, 0 < (Уо(6) е(и)) =" — (Л'Л!,х(и)) 0 (Л!,Лх(и)) 1="'! (ЛпР(6 и)) Наконец из теоремы отделимости (взяв С = со(С г! 3) где В шар с 'ге "тром г! Е 1о, (Л!, О) > О, который не пересекается с (у [ (Л!, 6) = 0) ~ 1п1 С ~ й1, убеждаемся, что можно применить теорему отделимости) получим, что существует элемент Л Е У" такой, что Л[И = Л! и (Л,Р(х,и)) > 0 ои, откуда слелует принцип минимума. Из первого уравнения получаем (Л,Лх) = (Л!,Лх)' = (Л'Л!,х) = -(1О(2),х) ох.
го, (ь! Это — условие стационарности. Таким образом, принцип Лагранжа доказан. Элементарные задачи Принцип Лагранжа сводит вопрос о необходимых условиях задач с ограничениями к необходимым условиям для более просто устроенных (злемелтарлых) задач. Сформулируем необходимые условия экстремума дяя четырех важнейших элементарных задач. Элементарлал гладкая задача — это задача без ограничений: У(х) пип, где функция 1 предполагается днфференцируемой. Согласно теореме Ферма необходимым условием минимума в (1) является равенспю озко! б 1.
Принцип Лагравлга для пеобходпмык условий экстремума 259 258 Глава б. Обегая теория зкстремальиых залая Аналогом теоремы Ферма для выпуклых функций является соотно- шение 0 Е д1(й). ( 1') Это необходимое и достаточное условие минимума 1 в точке й (ср. с п. б.1 и (1)). Элементарной задачей линейного программирования назовем следуюш1по: ~~ь,Люв>- ппп; и; >О, (Л=(Лн...,А ) ЕК").
(11) »и Необходимым и достаточным условием того, что вектор й Э 0 является решением этой задачи, является выполнение условий неотрицательности и дотыкяющеи нежеспгкосте (2) А; > 0 Л;й; = 0 уь. Этот факт совершенно очевиден. Элементарной задачей классического вариационного исчисления или задачей йыьца называется такая задача: В(х()) = / Ь(1,х(1),х(1)) И+1(х(1ь),х(1~)) - ппп; (111) б1 — — Х,(1)+Х.(1) =о (3) и усммия трансверсольности (они выполнены при условии непрерывной дифференцнруемости интегпанта и тепминанта): Хь(И) = ( — 1А(ь1 ' (3') где Хг(1) = Щ,й(1),У(.)), Х»(1) = Ь»(1>У(1),Й(1)), а 1»<Ь1 = 1»(Ь1(й(1о)> й(1~)) (доказательство см. в б 2 гл. 3).
Элементарной задачей оптиыольпого управления нли простейшей ляпуновской задачей мы называем следующую задачу: о(в(.)) = / >>(г,в(1))Ю ппп; х(г) Е И, где х() = (х~(),... >Х»()) — векгор-функция, иэ пространства С' ®,гз],К ) непрерывно-дифференпируемыхвектопчйункций, Ь и1— функции (соотвагстаенно) 2х+ 1..и 2п переменных. Необходимые условия экстоемчма в задаче Больна состоят из упавнения Эйлера гле х( ): ]1ь,11] - К' — кусочно-непрерывная функция, Ь(, ): К х К" К вЂ” непрерывная функция, И вЂ” произвольное множество в К', хй) Е И во всех точках непрерывности. Легко поияц, что кусочно-непрерывная векторФункция й() досеохеет абсолютный минимум в задаче (1»') тогда и,только тогда, когда е любой точке неногоывности функции й(.) выполнено соотношение: ш1пп(г,о) = й(1,й(1))> (4) Соотношения типа (4) называют принципам минимума.
Применение принципа Лагранжа для гладка-выпуклых задач к конкретным классам экстремальных проблем основывается на трех леммах— о.нетривиальности.лннтлятопа. о замкнътасти образа н «дре регулярного оператора Доказательства;этих лемм см. в 6 5 гл. 1. 1.3. Следс$тййб принципа Лвпгапдгй Задачи ютемптеческого программирования Применение принципа Лагранжа лля гладко-выпуклых задач начнем с гладких задач математического программирования: ,Гь(х) — > ппп; Уг(х) < 6, 1 ~ь < пз, Р(х) ~: О.
(Р) Свелятвие 1, (Прзвшни Лераижа в мвтемяпеехкти программирования). 11усть е задаче (Тйл) пространства Х и г — бакановы, Уь — окрестность точки й Е Х, ус Уь,-+ К, О < ь,~ зпь Рз бо — > Зг, Тогда, если уг и Р спцнмо диффермщарухпы, Р'(й)Х вЂ” ущкиутое надпространство 3г, а' й доставляет локальнцй гтнимум зад1гчег гро, для, еее выпогнен принцип Лцгранжа. Если неравенств пет и отобралсение Р регулярно е точке й„то мнжитель Ль можно считать ровным единцце (см. и> 8.2 гг. 1). Фраза»выполнен принцип Лагранжа» в данном случае означает, гго сушествуют не равные одновременно нулю числа Ль,..., Л и элемент Л Е Зг*, которые удовлетворяют условиям неотпицательности, дополняющей нежесткости 'и стационарности: Е,(й, Л,Лн..., А.,Аь) = ~" Л;1!(й)+ (Р'(й))'Л = О.
«=ь Действительно, если Р>(й)Х вЂ” собственное надпространство, то по лемме о нетривиальности аннулятора найдется элемент А Ф 0 такой, что Сь(й> Л, О,..., О, 0) = О, а если Р»(й)Х = 3', надо положить И = К,, х = (пн...,и )У(хв) = (Л(х)+ вн>,Уы(х)+ выР(х)), Р: Х х И - К х 3', применить сформулированную теорему (воспользовавшись б 1.
Принцип Лагранжа для необходимых условий экезремума 2б1 260 Глава 6. Общая теория экстремальяых задач леммой о замкнутости) и условия экстремума в двух названных выше элементарных задачах — гладкой без ограничений и элементарной задаче выпуклого программирования. Доказанная теорема содержит в себе правило множителей Лагранжа лля конечномерной гладкой задачи с равенствами (это правило, подразумевая регулярность ограничения, Лагранж сформулировал, в частности, в своей книге Лагранж [1801], из которой мы заимствовали свой эпиграф); правило множителей Лагранжа для бесконечномерной задачи с регулярными равенствами (теорему Люстерника [1934]); правило множителей Лагранжа для конечномерной гладкой задачи с равенствами и неравенствами (теорему Джона) и т.
п. Из гладко-выпуклого принципа выводится принцип Лагранжа лля задач выпуклого программирования (теорема Куна — Таккера). Мы не будем проводить этого вывода, ограничившись краткой формулировкой. В выпуклых задачах принцип Лагранжа приобретает завершенную форму: при некоторых мноэсителях Лагранзка, удовлетворяющих условиям неотрицательности и дополняющей неэсесткости, функцио Лагранхса достигает в точке, являющейся решением задачи своего минимума по тем ограничениям, которые не были включены в функцию Лагранзка (см.
[МИ-Т[). Ниже мы вернемся к этому результату при обсуждений условий экстремума ляпуновских задач. Принцип Лагранжа в задачах классического аариациониого исчисления Следствие 2 (Принцип Лагранжа в задаче Лагранжа). Пусть в задаче (Рз) У = В, й = Ц, з = О,! — фиксированы, и все функции еп !! и отобрагкение оз непрерывно дифференцируемы. Тогда, если (х(.),й()) доставляет локальный минимум в пространстве С'([!о,(,],В") х С([!о,(,],В"), то в этой точке выполнен принцип Лагранзка, т. е. существуют мноэсители Лагранзка (р(),Лн..., Лы, Ло) ч С'([(о,з,],В") х В~+' не равные одновременно нулю и такие, что выполнено необходимое условие в задаче Бог ьца з"- = / Ь(1, х(!), х(!), ц(!)) дг+ !(х(!о) х(!1)) — ппп; !а м м Б=~ Лгьп 1=~ ,'Л31,=»- — Х.(!)+Х.(!)=О, !=о с=о Х„(!) =о, Х.(1;) = (-1)'Е.гь1, ' =о, !.
К этому надо присоединить условия дополняющей нежесткости и неотрицательности. Если концы свободны, надо к этим соотношениям добавить равенства нулю производных функции Лагранжа по й (ср. с и. б.2 гл. 3). Действительно, условия гладкости позволяют редуцировать эту задачу к задаче математического программирования, а условие слабой регулярности вытекает из регулярности отображения (х( ), и( )) х( ) — эз(эх(.), и( )) и леммы о замкнутости образа.
Из слелствия 2 вытекают многие классические результаты, полученные на протяжении двух веков, например, необходимое условие экстремума в простейшей задаче классического вариационного исчисления — уравнение Эйлера (впервые это уравнение было выведено Эйлером в 1728 году); необходимое условие в изопериметрической задаче; необходимое условие в задаче со старшими производными (уравнение Эйлера — Пуассона); необходимые условия в задачах с подвижными концами и многое другое (см. Я2 — 5 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
