Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В достаточно общем случае удается описать обобщенное решение, оно включает в себя некоторое число скачков. Подробнее об этом см. [ИТ, В9.3). В задачах классического вариационного исчисления и оптимального управления можно реализовать ту идею о полном снятии ограничений, о которой говорилось в п. 2.1. Мы проиллюстрируем ее лишь на простейшей задаче (2). Допустим, что в этой задаче интегрант — достаточно гладкая функция во множестве У х К, экстремаль х(.) — также гладкая функция и при этом удовлетворяются условия невырожденности первого и второго порядка, сходные по сути с условиями теоремы иэ п. 2.1. Тогда область У удается покрыть полем экстремалей и(, ): У вЂ” К и при этом имеет место формула ,7 (х( ) ) —,7 (У( ) ) = / Е (1, х(1), и (1, х(1) ), х(1) ) дз, где Е(1,х,и,х) = г(г,х,х) — г(1,х,и) — (х — и)Ь,(1,х,и) (см. п.1.3 гл.
5 н (ГТ, с.!46)). Подобные формулы существуют для весьма широкого класса задач. Особенно красиво формула Вейерштрасса выглядит в квадратическом случае, когда при гв = хв = х~ = О, Щх, х) = д(1)х + В(1)хэ. Пусть 2б8 Глава 6. Общая теория экстремальных задач 4 3. Расширение вариациовных задач и существование решений 269 Уь( ) — решение уравнения Эйлера для простейшей квадратичной задачи, не обращающееся в нуль в полуинтервале (0,1~[. Тогда для любой функции х(.), х(0) = х(1,) = 0 имеет месю формула (Вейерштрасса): г) г, ,,з (А(1)х (1) + В(1)х (1)) г11 = 11 А(1) х(1) — — х(1) гУУ. 3 Уз(1) Уз(1) о о $3..Расширение вариационных задач и существование решений ° Я убежден, что докаыгсльсгва сучлесгвовання можно будет провести с помощью некоего основного положения, на которое указывает иринино Дирихле н который, вероятно, приблизит иас к вопросу о том, не допускает ли всякая регулярная варианионная задача решение, если в случае необхолимгюгн самому понятию решения придать расширенное толкование .
1У. Гю «берт Этаг параграф в значительной мере посвящен осознанию того, что было высказано Гильбертом в приведенном выше эпиграфе. «Основное положение», о котором ан говорит, зто, по-видимому, принцип Вейерштрасса — Лебега. Регулярная задача (классического вариационного исчисления) — зто задача, где интегрант является строго выпуклым по производным. Регулярность гарантирует полунепрерывность снизу. Процелура, называемая «скользлгцим режимом» позволяет утверждать, что с теоретической точки зрения, интегрант (одномерной) вариационной задачи всегда можно считать выпуклым по производным (такие интегранты называются квазирегулярными).
Квазирегулярность влечет за собой полунепрерывность снизу функционалов классического вариационного исчисления. И остается вопрос о компактности. Обо всем этом речь идет в этом параграфе. 3.1. Расширение варианионньгх задач Примеры несуществования решевий Рассмотрим простейшую задачу классического вариационного исчисления .У(х()) = / 1(1,х(Ф),х(1))гй — гпш; х(го) = хо, х(1~) = х,, и постараемся сначала понять, какие причины могут препятствовать существованию решения этой задачи (в естественном и — с определенной точки зрения наиболее широком — пространстве И",([1о,г,[) абсолютно непрерывных функций).
Пример 1 УБольца). .Ур (х( )) [ ((х» — 1)з + хз)Ж гп1п; х(0) = х(1) = О. о Ясно, что 1,(х(.)) > 0 на любой абсолютно непрерывной функции х( ). Если же взять последовательность функций равномерно стремяшуюся к нулю, у которой производная по молулю равна почти всюду единице, то значение интеграла булет стремиться к (непостижимому) нулю. (Например, можно взять последовательность, хв(1) = ) ив(т) гУт, и (1) = запа1п2япг, п Е Уь1 и убедиться, что о .У~(х„())- 0 при и — оо. Такие процелуры называют «скользящими режимами»,) Причиной несуществования решения здесь является неквазирегулярность интегранта, т.е. невыпуклосгь по х функции й — (х' — 1) + х .
Здесь возможно обобщить понятие решения и тогда в этом примере будет существовать обобщенное решение. (См. далее комментарий к теореме Боголюбова.) Пример 2 (Вейершграсса). ! ,Уз(х( )) = 1 г~х~Ж вЂ” пцп; х(0) = О, х(1) = 1. е Это — знаменитый пример, с помощью которого Вейерштрасс оспаривал утверждение, приписываемое Риману, о существовании ре- шения задачи Дирихле в области п-мерного пространства. (Якобы Риман утверждал, что у положительного функционала всегда долж- но быть решение; Риман, безусловно, был уверен в существовании решения задачи Дирихле, но навряд ли считал сказанное доказатель- ным аргументом.) Ясно, что,Уз(х()) > О для любого х() 6 И",~(1), х(0) = О, х(1) = 1, 1 = [О, 1[.
Но если рассмотреть последовательность [пг, О<1< „-' я„(1) = ', ", и Е 1ьг, то получим, что 11т.уз(х„()) = О. 1> -', е со в' Снова мы видим, что решения нет. Причина тому — недостаточный рост интегранта, который препятствует компактному вложению множества функций с ограниченной величиной интеграла Лт в пространство И",(1). Интересно отметить, что недостаточный рост интегранта имеется лишь в одной точке — нуль! И здесь возможно расширить понятие решения, дополнив константу, равную единице, скачком, и тогда и в этом примере будет иметься решение, которому (по Гильберту) можно придать «расширенное толкование», 2УО Глава 6.
Общая теория зкстремалымх задач Пример 3 (гармонический осцилпягор). т Уз(х(-)) = )(х~ — х ) 1й пцп; Т > т, х(О) = х(Т) = О. о Если рассмотреть последовательность х„(1) = пэ1п(ку), и Е !Ц, то нетрудно понять, что .71(х„(.)) — -со, т,е. решения нег: функционал « — «« неограничен снизу. Здесь, разумеется, никакого «обобщенного* решения быть не может, но допустима такая процедура: наложим «принудительное» ограничение !х(1)[ ( Лг. Тогда решение хп() будет существовать, и вычислив дз(хн()), можно будет убедиться, что эти числа стремятся к минус бесконечности.
Эта же гщея может быть применена и в примере Вейерштрасса, и мы пришли бы к описанному выше обобщенному решению. Так что метод принудительного ограничения позволяет, вообще говоря, исследовать задачи, где нет ограниченности снизу интегранта или компактности. Теорема Боголюбова Общий принцип, о котором говорит Гильберт, это, вероятно, принцип компактности. Чтобы его применить нужны полунепрерывность снизу и компактность, которая возникает, если функционал коэрцитивен (т.е. имеется рост интепзэла .7(х()) при стремлении х() к бесконечности).
Полунепрерывность снизу гарантируется квазирегулярностью, а коэрцитивность — ростом интегранта. Оказывается, что неквазирегулярность интегранта может быть теоретически преодолена. Именно, можно расширить задачу, изменив функционал (сделав интегрант квазирегулярным) так, что минимизируемые последовательности у него и у исходного функционала будут одни и те же. Поясним, как это сделать на примере простейшей задачи классического вариационного исчисления: . (х()) = / Ь((.х(1),х(1)) д( — п1!и; х(11) = х„з' = О,!. (Р) Обозначим У,(С,х, ) — овыпукление Ь по х при фиксированных ((,х) (или, иначе говоря, вторую сопряженную функцию ф Ь*'(1,х,ф) по последнему аргументу.) Теорема (Боголюбова о каазирегулярном раеширеяии).
Пусть интгграюн (1,х,й) 1 Ул !к — !К вЂ” непрерывен по всем переменным и удовлетворяет неравенству: Ь(1, х, х) > )э, Тогда длл любой абсолютно непрерывной функции х(.) существует последовательность (х„()) равномерно сходящаяся к х(-) и такая, что !пп .7(х„(.)) — 7(х(-)) = / У (1, х(1), х(1)) д(. а О« ц $ 3. Расширеиие вариапиониых шгадч и сущеетвоааяие ревмиий 271 Идея доказательства теоремы Боголюбова прост. Устроив разбиение отрезка [(о,(1[ на ЛГ отрезков («»1); „заменмм .У(х()) на сумму У((м х1, х,)Ь,. Если при этом число У (т„х» *"' *') попадает на «не!=! выпуклость» функции х У(т1, хн х), то 7,(т„х„",' ') Ь1 заменяется на скользящий режим. Применим теорему Боголюбова к рассмотренному выше примеЕу 1.
При овыпуклении интегранта этого примера получается интегрант Ь(х, ф), совпадающий с интегрантом примера при [х[ > 1 и равный нулю, если [ф[ < 1. При таком интегранте решение существует при любых граничных условиях. 3.2. Тееремьг еуунеетновйннн В ЗаДаЧаХ ВВРНВННОННОГО НЕЧНЕЛЕННН Общая теорема сущеетвоааимя Пусть Х вЂ” рефлексивное' нормированное пространство, Р— нормированное пространство, А С Х вЂ” выпуклое замкнутое подмножество, Л: Х - У вЂ” линейный ограниченный оператор,,7 — функционал на А ограниченный снизу и полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в Х.
(Если .У вЂ” выпуклый, то достаточно требовать полунепрерывности снизу в Х). Рассмотрим экстремальную задачу: .У(х) — ~ пцп; Лх+ уо = О, х Е А, (Р1) где уо — заданный элемент. Обозначим через УЭ вЂ” множество допустимых элементов, т.е. таких элементов х Е А, для которых Лх+ уо —— О и,У(х) > — оо. Решение задачи, т. е. глобальный минимум обозначим х. Теорема 1 (общая теорема существования). Пусть множество допустимых элементов непусто и функционал,У каэрцитивен (т. в. для некоторого УУ > О множество (х Е УЭ [ У(х) < лЦ ограничено в Х.) Тогда задача (Р) имеет рггивние.
Если,7 — серою выпуклый функционал, это решение единственно. Доказательство. Из условия теоремы следует, что для некоторого х Е Тз множество (х Е Э [ У(х) < .7(Н)) есть замкнутое (в слабой топологии) ограниченное множество рефлексивного пространства Х. Как известно, это множество слабо компактно, значит, по принципу Вейерштрасса— дебета решение задачи (Р) существует. и ' Вамазово про«эран«тао Х нлзмвввгев рмуткомвммм. «Овн Х" = Х. В звкнк Орос«ран«твоа вз о«раин«аннов посл«лов»зольности мозно вмлоанзь смнмвоаошоа ООЛЛОГЛОЛОМН»Л»НОС 1Ъ, 272 Теорема Тоиелли Лемма.
Пусть О < а < сз < 1 и Тогда Глава 6. Общая теория экстремальных задач Применим этот общий подход к простейшей задаче классического вариационного исчисления и убедимся, что если исключить те три причины несуществования, которые были вскрыты при обсуждении приведенных выше трех примеров, то существование решения можно гарантировать. Первый результат такого рода был доказан Тонелли лля задачи (Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
