Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Приложения общей теории к решению конкретны зада х ч 281 этой задачи и различных решениях ее, не опирающихся на теорию экс[Т[ ( ассказ второй). Решение обобщенной залачи о в книге АТФ, гтак называе ( а ываемой задачи Чаплыгина) полробно изложено в книге [А , в классической с.!07 †!10[. Как известно, начиная с !У в. до нашей эры, в класси изопериметрической задаче известен такой Ответ: решением задачи является круг. 2. Задача Архимела Среди шаровых сегментов в К" с заданным обьвмом (или — в дву- мерном случае — заданной площадью) боковой поверхности найти сегмент кааба«»щего обьема.
При и = 3 эта задача была решена Архимедом (жившим в 1[1 в. до н.э.) в его сочинении «О шаре и цилиндре». Элементарное решение задачи Архимеда, основанное на идеях Архим да е см. в книге [Т, с. 31, 34[. Предлагаемое ниже решение и-мерного варианта задачи получено сту- дентом мех-мата МГУ В. Тимориным. Шаровой сегмент п-мерного шара в " = х = х;бы, з пг К, 1 « ' 12 зададим в сферических координатах системой неравенств [[х[[ < Д, х„> Вз!пВ, где [[х[[ — евклидова длина век— "- < В < "-. Тогда, как известно, объем этого сегмента тора х, равен а„, «г, а Я"1 (В), а объем боковой поверхности этого сегмента равен «/2 (п — 1)а„|В" '1„2(В), где 1„(В) = [ соз" !од!о, а„— обьем и-мерного в единичного шара. !. Формилизацил: К«1„(В) гпах; К" '1„2(В) = !.
Это конечномерная гладкая задача. Решение ее существует и принцип Лагранжа применим, Условие стационарности приводит к уравнениям; п1«1»(В) — Л(п !)1 -2(В), ««соз В = Л~ 2 откупа приходим к равенству (и — 1) соззВ1„2(В) = п1„(В) (1), 3. Исследование. Если воспользоваться известной рекуррентной формулой -япВ сов В и — ! 1„(В) = + — 1„,(В), получаем: ВпВсоз" В = (и — 1)з!и В1„2(В).
Это уравнение допускает очевидное решение В = О, Других решений нет. Действительно, любое другое решение удовлетворяло бы равенству ыпВ1„2,, = ' „, время, как, восп , воспользовавшись монотонностью синуса на отрезке [- -„-,], 282 получаем: »! ,у«(у( )) = ~й ~/! +1Г2 дх -'«ппп (3) у(х) = ~~у )х — х;! — ппп. (5) х = С~ + Су з( нп т дт, у = — —, 1 а о р = Сз!пт 1, Глава 6. О62цая теория экстремальяых задач т 2 соо" 'б Х„з(б)з!пб = / соо" ~уз!пбд92 ° / »-2„п и†! в г Еше надо проверить граничную точку б = -» и убедиться, что обье ша ра меньше объема полушара той же боковой поверхности.
2 м В частности стности, есои и = 3, то «из всех сфг!ичгских сеснгнтав, ограниченных равнмми наверююсними, наибольшим будет полушарие» (Архнмел, Сочинения. Мл Физматлит, 1962). 3. Задача о брахистохроне и сходвме с ией В 'вертикальной плоскости даны две точки А и В. Определить путь АМВ, сиускаясв ио котароыу иад влиянием силы пи»кисти, тело М, начав двигаться из точки А. дойдет да точки В в кротчайаея аргмя». Питируется по статье И. Бернулли «Задача, к решению которой приглашаются математики», Асса Ешб!!огню, июнь 1696 г. Она обсуждалась 81 гл.3. Исто рня этой задачи, ее формализация и решение «в духе Лейбница читатель найдет в книгах [Т] (рассказ седьмой) и [АТФ, Обобщим несколько задачу И.
Бернулли„включив ее в шшопарамстрическое семейство подобных задач. !. Формалиэациа: (в этой задаче и в задаче о наименьшей поверхности вращения мы пользуемся эйлеронскими обозначениями: х вме вместо х): : х вместо и у У(х!)=УП »=0,1, а<0, у(х)>0, Это — простейшие залачи классического вариационного исчисления. Брахистохрона соответствует а = --', при и = — 1 — это задача о геодезических на полуплоскости Пуайкаре и т.п.
2. Принцип Хагранхса здесь сводится к уравнению Эйлера. Интегрант в (3) не содержит независимого переменного, следовательно, уравнение Эйлера имеет шипеграл энергии: у 2" (1+ус) = Ю2 3. Нсслгдован гдование. При отрицательных и интегрирование уравнения Эйлера приводит к семейству экстремалей: 8 5. Приложения обшей теории к решеяию конкретных задач 283 8 случае брахисгохроны зкстремали — циклоиды, в случае полуплос«ости Пуанкаре — полуокружности с центром на оси Ох. Экстремали, «меюшие общую точку на оси Ох, образуют поле, покрывающее всю зткрытую верхнюю полуплоскость. Отсюда и из формулы Вейерштрасса зытекает, что единственнал экстремаль, соединяющая граничные точки, мллгтсл решением задача.
Ответ. В случае брахистохроны решение задачи доставляет един:твенная циклоида, проходящая через граничные точки; в случае пооуплоскости Пуанкаре решение задачи — полуокружность с центром аа оси Ох, проходящая через граничные точки. 4. Аэролннамическая задача Ньютона Найти пыла,, получающееся вращение»« [...] кривой виню АВ, [ко»!орал] будет испытывать наименьшее согуинпивленив в [...] редкой среде греди других твл тай жг длины и ширины». (Цитируется по книге Ньютона «Математические начала натуральной философии»'.) 1. Формализация: Ы! ппп х(0) = 0 х(То) = х~ х(1) > 0 (5) 1+ хз(1) о история этой задачи, ее формализация и решение, идейно вусходящее к Ньютону, можно прочитать в книге [Т] (рассказ восьмой), а решение, базирующееся на принципе Лагранжа, подробно изложено здесь в б 3 гл.
4 и в книге [АТФ, с. 99- 103]. Хотелось бы сказать только, что задача (5)— типичная задача оптимального управления, ее крайне затруднительно исследовать методами классического вариационного исчисления, и зто обстоятельство являлось причиной того, что решение задачи Ньютона фактически нигде не приведено в учебниках по вариационному исчислению. Но она была решена Ньютоном, и решение было опубликовано в «Математических началах» в 1687 году! Так что первая задача оптимального управления была решена раньше рождения вариационного исчисления (годом рождения вариационного исчисления считается год брахистохроны — 1696). 5. Задача Ферма — Торичелли — Штейяера и ее обайцеяяе Найти в и-мерном пространстве точку, сумма расстояний вт которой до вершин нгкеторагв симнлгкса минимальна. 1.
Формализации: ' Смг !гримм и. Н. Саар«ни« трудов, т. 7. М.— Лг И»х. АН СССР, !936. 284 допускает интеграл энергии 0 б д/(х). (7) Глава 6. Общяя теория экетремальимх задач Решение х задачи (5), очевидно, существует. Это — выпуклая задача без ограничений и потому 2. Принцип Лаграняга выражается здесь теоремой Ферма: 3. Исследование. Соотношение (1) (если допустить, что решение — внутренняя точка симплекса) расшифровывается так: сумма единичных векторов, смотрящих иэ точки х в вершины симнлгкга, равна нулю. Отсюда при и = 2 сразу следуе.г уе«ы между векторами, ведущими из решения задачи к вершинам, равны 120'.
Точка внутри треугольника, из которой каждая сторона видна под углом 120' легко строится циркулем и линейкой и называется точкой Торичелли. Если построение невозможно, искомая точка — вершина тупого угла (что также сразу следует из теоремы Ферма). Подробнее задача обсуждается [ИТ, с. 441]. и [АГТ, 1«й 4.12]. При и > 3 такопз рода построения неизвестны. Но численно решение может быть найдено для очень большого числа неизвестных. Однако, и в многомерном случае можно найти интересные явно решаемые варианты этой задачи. Например, найти точку в Й", сумма расстояний аю каюарай да начала координат и векторов е, = (1,0,...,0), ез = (0,1,...,0), ..., е„= (0,0,..., 1) была миншнальнай.
6. Задача о мивнмальной поверхности вращения Среди кривых в верхней наяунласкасюи, соединяющих две раэоичные точки, найти такую, натирая при вращении вокруг горизонтальной аси порождает поверхность минимальной площади. Эта задача и различные ее модификации обсуждаются, начиная с ХЧП века, вплоть до нашего времени. Она связана с именами Лейбница, братьев Бернулли, Лагранжа и многих других. Эта задача присутствует почти во всех учебниках по вариационному исчислению, но редко, где решение доволится до конца.
Мы здесь даем некоторые указания, по которым читатель сможет полностью исследовать эту задачу. ! . Формализация. Рассмотрим частный случай общей задачи — с симметричными краевыми условиями: У~~ + У х ш1п' У( хо) У(хо) Ф О, У(х) > О. (6) Это — простейшая задача классического вариационного исчисления. 2. Иринина Лагранжа приводит к уравнению Эйлера. Ввиду того, что интегрант не зависит от независимого переменного, уравнение Эйлера Я»5. Приложении общей теоРЯи к Уешевию воикйетиы зала х ч 285 дУ д о=:.";ь'У(х) = Р 'сЧРх+Рд Мы видим, что зги экстремали — цепные линии. 3.
Исследование. =О, В стре, алн, соединяющие симметричные точки (тогда Р, = се экстремалн, ое получаются из экстремали у = сп х гомотетией. оэ . у ку . Поэтом в сова пности ь. Па амет ы этого они зап олняют только угол, а не всю полуплоскость. ар р тся, что угла находятся из решения уравнения х = сшй х, откуда получас гбао = 1.50088. Внутри угла экстремали покрывают его лвукратно: существуют две экстремали, соединяющие точки ( — хо,уо) и (хо,уо).
При этом одна из экстремалей идет ниже другой и касается прямой У = 181оох, т. е. эта прямая является огибающей семейства нижних экстремалей. Из общей теории следует тогда, что на нижней экстремали не удовлетворяется условие Якоби. А верхняя экстремаль доставляет сильный (локальный) минимум гасе д ( остаточные условия сильного минимума удовлетворяются). Помимо экстремалей, расположенных внутри угла, существуют «ломаные»экстремали, состоящие из вертикальных отрезков и отрезка 1 1 < — О. Это можно получить методом принудительного ограни1х1 хо,У = чения, когда в доно лнение к условиям задачи добавляется ограничение ]у'] < АГ и 1У устремляется к оо.
Таким образом, граничные точки (ххо,у) можно соединить либо одной «ломанои» экст коти малью, либо двумя — «ломаной» и верхней цепной линией. Если сравнить значения на этих двух экстремалях, то оказывается, что они совпадают на прямой, угловой коэффициент, Отсюда (с помощью формулы Вейерштрасса) получаем такой Ответ; если Л«> 18ЗЗ, решением является верхняя цепная линия, если *« ясе ль < гбуз, та ломаная экстргмаль». (Некоторые дополнительные подробности см. в [ИТ, с. 427-430].) 7. Задачи КеплеРа Вписать в единичный щар а) цилиндр, Ь) конус, с) пирамиду, д) нрямаугавьный нараллгленинед максимального абаема. Занимательная история постановки задач Кеплера и их решение см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
