Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 48
Текст из файла (страница 48)
в книге [Т] (рассказ шестой). Это — более простые задачи в сравнении с предыдущими. Ограничимся лишь формализацией задачи о цилиндре. 1. формализация: о,(х) = х,Д:хз -- щ1п; 0 < х < 1. 28б и*!= 'Р+*' Чдг+Сд-*д*, (8) [[хь С; гьхь[[1 ш,п ь=! 1. Формализация: 'Здг „Вддд-',!» Уо(х) — + о! оэ (9) 10. Задача Аполлония !пах [[х — у[[ — д ппп гел Глава 6. Общая теория экстремальных задач Это фактически гладкая задача без ограничений.
Читатель самостоятель- но может обдумать н и-мерные варианты всех этих задач. 8. Заллча Герона н ее обобщение Даны две точки А и В по одну сторону одп прямой !. Требуется найти «а ! такую точку Р, чтобы сумма расстояний от А до Р и от Р до В была наименьшей. 1. Формализаци»: где координаты точек таковы: А = (О,а), В = (Ь,д!). Зто — простейшая одномерная задача без ограничений.
Ее решение совершенно элементарно (см. [Т[). Читатель может самостоятельно поставить и решить аналогичные задачи, скажем, заменив прямую на плоскости окружностью, плоскость— сферой (с поиском кратчайших путей с заходом на окружность большого круга), или плоскостью Лобачевского и т. п. 9.
Задача Сыеллнуса — Ферма о законе преломления света на границе двух сред Согласно принципу Ферма в геометрической оптике ьв неоднородной среде свет избирает такую траекторию, вдоль которой время, затрачиваемое им иа преодоление пути от одной точки до другой, минимально.ь Таким образом, для установления закона Снеллиуса преломления света на прямолинейной границе двух однородных сред сводится к решению задачи С решением этой эзлачи, помимо Снеллиуса и Ферма, связаны имена Декарта и Лейбница — см.
об этом в книге [Т[ (рассказ третий). Сколько нормалей можно провести из точки на плоскости к эллипсу? Иначе говоря, требуется определить число стационарных точек в задаче 1 (х! — 4!) +(хз — Сз) — ппп; ~ — г! + ~ — г1 = 1. (!О) а! аз Решение этой задачи приведено в $3 гл.!.
Об истории этой задачи см. в книге [Т, с. 130[. 55. Прнлоясения общей теории к решенно коиярепывх залач 287 Избранные задачи геометрии В геометрии было решено множество замечательных экстремальных задач. В книге [Т[ приведено несколько задач элементарной геометрии. Здесь приводятся пять задач, связанных с именами Грамма, Адамара, Юнга и Бляшке и еше одна задача понадобившаяся лля построения алгоритма выпуклой оптимизации.
11. Залача о кратчайшем расстояынн от тачки до надпространства в гильбертоаом пространстве Найти расстояние в гильбертовом пространстве от точки ь,1 и линейной оболочки векторов (х„..., х ). 1. Формализация: Это — гладкая выпуклая (даже квадратичная) задача без ограничений. Решение ее см. в [АГТ, с.221[. Ответ выражается через определитель Грамма. 12. Неравеыстео Адамара Пусть Х = (х'),";, произвольная квадратная матрица порядка и. н Нмеет месдно неравенство: (десХ) < П, д1~ (~) ).
д=! р(х',...,х") = десХ шсп; М[[ = 1 1 < у к и' ( ) Зто — гладкая задача математического программирования. Применение принципа Лагранжа приводит к цели (см. [ИТ, с. 444[). 13. Неравеыство Юнга Для выпуклого компакта А С Й" доказать неравенство Р(А) > д дд дддд ддддд, д Рддд — д д. Я(А! — д дЩ д. Проблема Юнга редуцируется к задаче на симплексах после решения следующей задачи (о чебышевском центре). 1. Формализация: (13) — выпуклая задача без ограничений, к которой пРименима теорема об очистке и это редуцирует задачу к симплициальной. Симплициальную задачу тоже нетрудно решить методом Лагранжа, но проще— непосредственное решение (см.
[ИТ, с. 431-434[). 288 п=2Л вЂ” 1, Л6!Ч 18. Задача о стрельбе 1. Формализация: т и(ы) — ш!и; ы Е Б". (15) 1. Формализация: та щэ .м Глава 6. Общая теория экстремальнмх задач 14. Неравенство Бляшке Для выпуклого компакта А С В" доказать неравенство г(А) > Д,Л(А), где г(А) — наибольший радиус вписанного шара, Л(А) ширина А,а Задача Бляшке редуцируется к задаче Юнга переходом к полярам. 15.
Задача о центре тяжести Доказать, что через любую точку, лежащую внутри и-мерного тела, мозкно провести гиперплоскость так, чтоб эта точка оказалась центром тяжести сечении. !. Формализация. Пусть заданная точка тела А — начало координат и Гг(ы), ы 6 Б" — объем пересечения тела А с полупространством, ограниченным гиперпяоскостью, перпендикулярной ю, проходящей через начало координат. Следует рассмотреть задачу Анализ ее приводит к Решению задачи (см. [АГТ, с.
229 — 230[). Задачи технического содержания 16. Задача Годдарда Как следует управлять ракетой, чтобы она в Фиксированный момент времени достигла заданной точки с заданной скоростью, израсходовав минимул~ топлива. ! . Формализация: ~н!Аà — ~ ппп; х = и+у, х(1,) = хп х(1,.) — е,. 1 — О ! (!6) (Формализация задачи проведена в [ГТ[.) Задача (16) — линейная по фазовым переменным. К ней применим метод двойственности. Подробности в книге [ГГ, с. 160-162[. 17. Задача о мягкой посадке Космический аппарат двилсется по прямолинейной траектории, перпендикулярной поверхности небесного тела.
Требуется мягко посадить аппарат, затронув минимум топлива. ! . Формализация: йи гць — гл(Т) - шах; х = — — 7, пь= — и, сч х(0) =6~ > О, х(0) =6!, ш(0) юнге, %5.ПР б и й кр ° р - 289 х,(Т) = х(Т) = О, 0 < и < Ю (17) (По повалу формализации см. [ГГ[.) Задача (17) относится к оптимальному управлению. Ее решение методом Лагранжа см.
в [ГГ, с. 157-! 60[. ~у+ Л /!+ уадх- ппп; р(0) = О, р(х~) = р~ > -Л. о Эго — задача классического вариацнонного исчисления. Подробности ее решения см. в учебнике [А[. 19. Задача об оптимальном возбулщеинн осциллатора Найти оптимальный закон возбзокдения зкесткости осциллятора, «ри котором его энергия достигнет заданной величины за минимальное врглгя. 1. Формализация: Т вЂ” ппп; й+(! — ев)х = О, х(0) = хь, х(о) = у, х(Т)з + х(Т)з = 1, 0 < и < 1, 0 < с < 1. (19) Формализация задачи и ее подробное исследование см. в [ИТ, с. 435-439[. 20. Задача быстродействия со смешанным критерием [1 + гу(х)) д! -~ ш1п; о [х! < 1, х(0) = аь, х(0) = еь, х(Т) = х(Т) = О, е > О, (20) у — четная функция.
Решение простейшей задачи о быстродействии (когда в (20) е = О) изложено в первой части (83 гл.4). В общем случае решение см. в [АГГ, с. 281[. Классические вера!мистик Точные неравенства всегда сввзаны с решением залач на экстремум, и потому они — замечательный полигон для общей теории. 1. Формализация: ~я»уй пцп; чр" хй = 1. (21) ви! 1. Формализация: П,",х; — шах; ~х! = 1, (28) (22) х! > О.
1. Формализация: и айхй = 1, хй > О. й=! Пй, хйм — шах; (23) (24) (25) !о' Глана 6. Обимш тееряя экстремальных задач 21. Доказать неравенство Кошм: (~ , 'хйуй) < (2', хгт) (',! у!з). Это — гладкая задача математического программирования. Сушеспювание имеет место из-за принципа компактности. Применение принципа Лагранжа немедленно приводит к цели. В задачах 22-25 дело обстоит аналогично, н мы ограничиваемся лишь формализацией. 22. Доказать и»равенство между средним арифметическим м средним и геометряческым: (П„",хй)'/и < и ' 2; хй, хй > О.
й=! 1. Форе!агитация: (Решение этой задачи см. в [ИТ, с. 445, 446]). 23, Доказать обобщенное иеравеиспю между средним арнфметнческмм м средним геометрическим! П„",х„' < 2,' сййх», ай > О, й=! сйй = 1, хй > О. 1. Формализация: ~ а и!/и 24. Доказать неравенство для степенных Я,(х» = (2 ]хй]") й=! !' Е В! ври О < р < О < сю, Я,.(в) < Яр(х). 1. Отормалитацил: Я,(х) - шах; Яр(х) = 1. 25. Доквщть неравенстве дла средвых стевеивых а а,(х» = (2,' [хй['/и), ! Е й! врн О < р < 9 < оо, й=! !тр(х) < !те(х» 1. Формализация: а,(х) - шах; ар(х) = 1.
Решение задачи см. в [АГТ[, задача 2.67. б 5. Првлежевва общей теории к решению каикретыых задач 291 26. Доказать верааввстаа 1!мтьдера м Мищгоаскеге: и и !/р и,; !/р' а) 2и', хйуй < (~и хрй) (,'~ , 'уй ], хй, уй < О, 1 < р 6 со, -' +,—,', = 1. ° ! йи! !=! 6) (~ ,'(хй+ уй)Р) < (~ хгй) + (~ ,'Ггй) 27. Доказать обобщенное неравенство Гальдера: если Х вЂ” нормированное пространство, Р = Х' — сопряженное пространство н р() — непрерывная сублинейная функция, то (х у) < Р(х)/!ар(у) тх 6 Х у Е у (/гд — функция Минковского множества д, др — субдиффсренциал р).
Решение см. [МИ-Т, с. 101]. г хт 28. Доказать ыеравевство Винберга! „[ — тП < 4 х! гП. 1т т!.з 1 х тЪ ~]х] — — Н ] 41 — пнп; х(0) = О. 4 1 ) Решение см. в [АГГ, с. 278]. В следующей залаче рассмотрено обобщение этого неравенства. 29. Доказать обобщеыиое неравенство Харди: [ — И<( ) /Оли. ы ыи / (Г !à — (!:) )-*,)')и- и: *!!>=о. <а! 2.
/7риицил Лагранлса приводит к уравнению Зйлсра л(]х]Р 'збпй)+ ( -!1 -! -!1р -! Ю ]х[Р 'эбпх =О. ,л) 3. ртсследаааиие. Ищем решение в виде х(1) = 1и, и получаем, что а = д=-'. р Основная формула Вейерштрасса приводит тогда к тождеству (опять- таки, доказываемому непосредственным интегрмрованием по частям) ~([О] — (Р— ) ~-~ ) = Ят,*(),— ий(1)) 41 > О, ыи ы где б — функция Всйерштрасса, подробнее см. [АГТ, с. 279]. 292 /(х()): = зпах Р(г,х()) пнп, зз!а,ь! (з) т т 1. Формализация." (30) и (Йз) Из (зз) н (ззз) получаем тозшество (зс) Глава 6.
Общая теория экстремальных задач 30. Доказать неравенство Вейля (нрининн веонределенвостмн (')- " - ° ,з Ы) < К(т) ~Ь х дЬ~х з1Ь, т=!й, !й+, К(!й)=А, К(!й)=2. х (1) дг — пнп; / (1 — 1)х (1) дг = 1. 2. Принцип Лагранхсо, примененный к данной изопериметрической задаче, приводит к уравнению Эйлера й+ Л(1 — 1')х = 0 и условию трансверсальности х(0) = О. 3. Исследование. Уравнение Эйлера допускает решение уз(1) = Вх ехр(-А1'), А > О, которое принадлежит рассматриваемому классу и удовлетворяет условию трансверсэльности, что позволяет, базируясь на основной формуле Вейервтрасса, выписать следующее тождество: !гв ф — С Члн=! (à — Ж! а=!Э,.! Гну о.
И / .з з з . ф(1) [ ° з р(1)/ Справедливость этого неравенства мгновенно получается интегрировани- ем по частям. Подставив теперь вместо х(1) выражение у( з ), приходим к неравенству уз(т)дт — а / уз(т)дт+а" / тзу (т)дт > 0 Ча, и применив условие неогрицательности квадратного трехчлена, приходим к нужному неравенству. Экстремальные свойства нолииомов 31. Доказать крвтернй Чебышева об альтернансе: для того, чтобы алгебраический полинам степени и был нолинпном наименьшего уклонения (в равномерной метрике) сдля функции нгнргрывной на конечном отрезке, необходимо и достаточно, чтобы разность функции и нолинома нринимала, чередуя знаки, свои минииальныг и максимальные значения (одинаковыг яо модулю) в н + 2 точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
