Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 43
Текст из файла (страница 43)
3). Эти условия составляют основное содержание большинства учебников по вариационному исчислению. Все эти условия с помощью принципа Лагранжа выписываются автоматически и, как мы видели, единообразно выводятся, основьзваясь по сути дела лишь на теореме об обратной функции и трех леммах, представляющих собой бесконечномерные версии тривиальных фактов линейной алгебры. Вывод следствия 2 из следствия ! (а следовательно, и из гладко-выпуклого принципа) см.
в первой части, а также в книгах АТФ и ГГ. Принцип Лагранжа для ляпуиоаских задач и линейных задач оптимального управления Пусть гз — проме:куток числовой прямой (конечный или бесконечный), У вЂ” некоторое топологическое пространство, У,: зЛ х б' — В, О < з < гп — непрерывные функции, Х вЂ” линейное пространство, йр Х вЂ” В, 0 < з < гп — выпуклые функции А — выпуклое множество И вЂ” совокупность измеримых отображений из зЛ в И*. Мы будем изучать здесь ляпуновские задачи вида: Уо(и( )) -1- йо(х) = / Уо(1, и(!)) д! + йо(х) щ!и; Ь У;(и()) +йг(х) = / У (1,ц(!)) д4+Гй(х) < О, 1 < з < пз. (рз) д Для того, чтобы можно было бы воспользоватьсл гладко-выпуклым принципом Лагранжа достаточно показать, что отображение (в(.),х) - го(и(-) +до(х)),...,У' (и(.) +ум(х)) (и(.) б И, х б А) является выпуклым множеством в Й '.
А для этого достаточно доказать выпуклость только лишь интегральной части этого отображения. Вот именно здесь подтвердится один из наших основных тезисов, о котором ' Об нзмеонмостн озобрввмнна нз гг в ГГ см. в Атаз, пп. 4.3.б н 4.3.3. Глава 6. Общая теория зкстремалыи!х задач говорилось во введении: интегрирование перозкдагт выпуклость. Зтст тезис опирается на следующий результат.
Ъорема (Ляпунова). Есш р! Д -+ К", р(.) = (р!(-),,рь()) интегрируемая вектор-функция. гно множество М = (х б К" ~ х =,/ р(1) АГ, Ж б Е), где К вЂ” совокупность пайиножеств гь измеримих по Лебегу, является выпуклым квмнактаи. Доказательство этой теоремы см. в АТФ, и. 4.3. 2, Докажем теперь нужную выпуклость.
Пусть с! = ((е «..,~ы!) и Рь(иг( )) = сь, 1 = О 1, О < й < ш. Положив рь(1) = уь(й,вь(1)) — уь(1,о'(1)), Ф б гь, О,.б й < пь,.найдем по теопеме ляпунова множество А такое, что )«рь(1)ю= а(сьь — сь!). «« И Оащетея СдЕЛатЬ «МИКСь И„( ) даук унраапсинй, Ицапжна иь(1) РаВНЫМ ое(8), если 1 б А„и.
и!(1) .в остальных случаялг: и мы получаем, что ,г(в ( )) = гг~"'+(1-а)С !, что и требовалось. Применив гладко-выпуклый ппинцип, получаем Следствие 3 (принцип Ла!вяюав для шдачи Ляаувош) (й(),х) — решение задачи (Рз), пю найдутсн множипыли,Лагранжа Л = (Л!,...,Л„) и число Ла,'а'О 'не равные одновременно акулю' и такие, что выполнены условия нввтрицатгльности, датмняющей нехгесткости и принцип минимума: пйп ~~» Лбу!(х) = ~", Лгу!(А), ! в в=е пйп ( ,'» ~Л<Д(Ф,и(1)) АГ= / ~!,~~~,Лел(1зй(1)) д1. «1.»еи у ° ь ге з е !«ь К задаче (Рз) Релуцирустся задача оптимального управления линейная по фазовым координатам. Сформулируем'.эту задачу. Пусп Ь = (гь,г!) — фиксированный отрезок числовой прямой, е;(.) б Х!(Ь,К")„О < в' < и и А(): Ь - Ь(К",К«) — интегрируемая ма.
трнчная функция 1à — топологическое пространство, у!. Ь х гг К О < з < и! и Р: Ь х Гу К" — непрерывные функции н отображение Уы, Ун, О < 1 < га — элементы К", с;, 1 < гп — числа. Рассмотриь задачу ' ,у (х( ),и()) = / (ае(1)х(1))+ уь(гв(1)) Аг+( уеьх(гь))+(7!гх(1!))-«гп!и; а й= А(1)х+Р(1,о(Ф)), и(1) б ГУ, 5 1. Принцип Лтраижа длв иеебхедиммх условий экстремума 263 у!(х(),о()) = / (а!(1),х(Ф))+ Д!(1,и(1)) !й+ а + (уеэх(ЙО)) + (Тн~х(1!)) (~ сэ 1 4 з (~ гп. (Р«) Ее и называют задачей оптимального управления линейной по фазовым координатам. Пусть рг() — решение сопряженной системы р; = — А (1)р+ щ(1) с краевым условием р!(1!) = — Ун, О < 1 < гп.
Если положить б!(1, и) = уг(1, и) — Р'(1, о)рг(1), А = уы — рг(Ц), то, как нетРУдно понЯть, задача (Рз) РедУциРУетсЯ к задаче Уь(и(.),С) = /Сь(1,о(1)) А1+(Дь,й - шш; !(и(.),С) = / Сг(г,и(Ь)) !й+ (А 6 < с;, 1 <1 < ш. (Р«!) а Изследсшия 3 ив!такает Следствйе 4 1врввиип Лагранжа для лявейиых задйч). Если пара (й(.), 4( )) — решение задачи (Р«), найдутся множители Яагранхга (Л!); 'ь, не разные едневргменно нулю, неотрицательные, удавветворлющие условию детьнтющей нежесткасти и принципу минимума гшп ьп г',Л«М1*в) = ,'> , 'Л!б! (1, О(1)) почти всюду.
Привили Лшравжа ллв задач оптимального управления Принцип Лагранжа ияя задач оптимального управления в понтрягннской форме также выводится нз гладкгь'Вмпуклого принципа, но мы не:.будем этого делать. огпаннчившись лишь фоРмулиРовкой самого Результата. Сгщлствве б (Пришвин.Лаграшва в еппячальвом управлении). Пусть в задвчв минимального управления в поитрягинекой ферме, й = гн 1 О, 1— ф!гкеир1юаны, функции Ц непрерывно диффервнццругмы, а функции г.! и омсбр«цагине !р непрерывны и непрерывно дифференцируемы па и.
Тегда, если (й( ), Й( )) доставляет сильный минимум в задаче, то вынсннгп принцип банни!хга, т. е,,существуи!т мнажюпгли Лагранжа ;р(),Л„...,Л„,Ле) б С'([1ь18!),К") х К"" не рясные одновременно пулю и такие, что выполнена пеоохаоимое условие в жв»аче Больна по х Ю = 31 г (1,х(Ф),й(1),и(Ф)) !й+1(х(гь),х(г!)) гшп; Глава 6. Общая теория экстремальных задач б 2. Возмушения экстремаяьвых задач 2б5 3 2,=2 л,то 1=~~ 'л;1, ~ — — Х,(!)+Х,(!) =О, сМ !=э =с принцип минимума по и гп1п А (1, х(!), хс(1), н) = Х(!) еи и условия трансверсальнасти: Х,((,) =- (-1)'!»сс >, з = О, 1. Если концы свободны, надо к этом соотношениям добавить равенства нулю праизводпыл функции Лаграплса по 1;.
В Э! гл.б было приведено элементарное доказательство принципа максимума. Замечание. Применимость принципа Лагранжа к задачам оптимального управления также может быть основано на возможности микса управлений с использованием параметрической теории об обратном отображении. Подведем итог: все необходимые условия экстремума во всех рассмотренных случаях соответствуют принципу Лагранжа. ф 2.
Возмущения экстремальных задач Следует сравнивать динамически возможные движения, варьируя крайние положения системы. Одной из центральных идей теории экстремума является мысль, выраженная Гамильтоном: следует рассматривать не одну задачу, а семейства задач, включающую данную. Краткому обсуждению этой идеи посвящен данный параграф'.
2,1. Возму!ненни в математическом программировании Задачу у(х) — пнп; х Е С можно записать, как задачу без ограничений Х(х) пнп; (Р) ' Конпепиия возмущения экстремальных задач тесно связана с достаточными условиями экстремума, динамическим протраммироыниеы, теорией Ганильтона — Якоби н симплектической пюмссрией. Всему этому кругу вопросов прсдполасаесся посввппь отдельную публикэиню. 0 достаточнмх условиях рассказано в первой части книги. если положить у(х) = +ос при х к С.
Если !г — некоторое семейство параметров, Е: Х х У вЂ” В су (+со) и лля некоторого уэ имеет место равенство Е(х,ус) = Х(х), говорят, что семейство задач и (х, у) — пнп (Ру) является возмущением задачи (Р). Теория задач линейного программирования строится на концепции возмущения, и суть этой теории может быть выражена очень кратко: эпиграф значения возмущенной задачи липейпага программирования — выпуклый полиэдр, откуда вытекает разрешимость задачи (если ее значение конечно), совпадение ее значения со значением двойственной задачи, разрешимость двойственной задачи и невырожденность принципа Лагранжа для прямой и двойственной задач (ср.
с гл. 2). В некоторых классах задач, которые рассматривались во введении, напрашиваются стандартные возмущения. Таковыми являются многие залачи, рассмотренные нами. Для задачи с ограничением типа равенств ус(х) пнп; Е(х) = О, Е: Х вЂ” !' стандартное возмущение таково: ус(х) пнп; Е(х) = у; лля простейшей залачи,7(х()) = ! у (1,х(!)х(!)) д! — пнп; х(1с) = хс, с, х(!с) = хс рассматривается такое возмущение У(х(')) = / Ь(1,х(1)х(!)) д! —" гп1п; х(!с) = хэ, х(т) = с и т.п.
(о котором как раз и говорит Гамильтон — см. эпиграф). Невырожденность необходимого условия первого порядка порождает «устойчивость» решения первоначальной задачи: при возмущении этой задачи решения возмущенной задачи плавно эволюционируют в зависимости от параметра возмущения и при этом зачастую удается вычислить субдифференциал 5-функции в точке уэ, в которой возмущенная задача совпадает с исходной.
Эта мысль может быть реализована по отношению ко всем типам рассмотренных нами экстремальных задач, но мы проиллюстрируем ее лишь в самых простых случаях — гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств и для простейшей задачи классического вариационного исчисления. Пусть Гу — окрестность в К",,Г; Гà — Ж, Е: ГУ вЂ” В . Рассмотрим конечномерную задачу с равенствами: ~(х) — пип; Е(х) = О (2) Глава 6. Общая теория экстремальных задач и ее стандартное возмущение: у(х) пнп; Р(х) = у. (рг) Теорема (о поле в коиечвомериых залячах с равенствами).
Пусть у, Р Е Сэ(У) (условие гладкости), х 6 Ег, Р(х) = О, 1шР'(х) = К (условие регулярности), существует множитель Лагранэка Л 6 К~ такой, что для функции Лагранжа задачи (2) с единичным множителеи Лагранжа при функционале (Е(х, Л, 1)) = э(х) + (Л, е (х)) выполняются: а) необкодимое условие минимума первого порядка; 267 а ляпуновские задачи, как объяснялось, на самом деле выпуклые. К ним применим принцип двойственности. Если рассмотреть семейство эапач, зависящих от параметра у, записав ограничение в виде равенства 3 и(1)дг = у, и значение возмущенной задачи обозначить Я(у), то ь двойственная функция имеет вид: Е (р): К" — ~ КО (+оэ), 8'(р) = / л'(г,р)дг. Ь) условие второго порядка: Е„> 0 ча Е Кегр'(У), д за 0 (С„= Е„(х, Л )) (2) а) и Ь) — достаточное условие минимума второго порядка). Тогда существуют окрестность У точки 0 Е К~, окрестность У' С 17 точки й и функция р: у У х К, 1о Е С'(У), у(у) = (х(у),Л(у)), р(0) = (х, Л) такие, юпо Е,(х, Л) = О, У(х) = у, х Е У', у Е У тогда и только тогда, когда х = х(у), Л = Л(у).
При этом х(у) локальный минимум (Р„) и Я'(О) = Л. Доказательство этой теоремы см. в книге (ГГ, с. 140 и далее). Такие же результаты можно доказать и для других разбиравшихся нами классов экстремальных задач. Одним из важных частных случаев приложения этой общей идеи о полном элиминирования ограничений является основная формула Вейерштрасса. 2.2. Простейшем задача классического аарманнонного мсчмсленма Начнем с задач, интегрвнт которых не содержит фазовых переменных. Класс простейших задач классического вариационного исчисления с интегрантами вида ь = ь(1,х), ь: к х к" - к О (+ос) (не зависящими от х) исследован почти до конца.
(На самом деле не так мало замечательных задач редуцируется к задачам этого класса.) Суть дела в том, что эти эапачи — ляпуновские: Ь(1 и(1)) дп — пнп, / и(1) гм = хр хь, Это — функция конечного числа переменных. Функция Я при широких допущениях замкнута, и потому (по теореме Фенхеля — Моро) вычисление значения задачи сводится к конечномерной выпуклой оптимизации: если у принадлежит относительной внутренности дошЯ, то Причем если решение р приналлежит внутренности дошЯ', то решение х() существует и находится из равенства г.(г,х(1)) +Ь'(г,р) = (хь(1),р) гючти везде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
