Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Значит, е б аЬзппп Р'. Предположим, что не выполнено условие Якоби. Тогда функция Ь = О !Х аЬяп!пР" не доставляет абсолютный минимум в задаче Х(й(.)) = / ((Аь,ь) +2(СГа,ь) +(Вй,ь)) Ж- !пГ; а» ь(Г,) = ь(а,) =О (Р") (по теореме о необходимых условиях слабого минимума, если Ь = О Е аЬоппп(Р«), то выполнено условие Якоби). Значит, о,м„,„р < О. Поэтому существует функция Ь б Со([1«, 1~]) такая, что Х(ь) < О. Но тогда 1(й+ Лй) = 1(е) + Х(ЛРа) = 1(У) + Лз1(ь) — — со при Л +оо, т.е. сам«»»г' = оо. н $ !. Простейшая задача варнанненнеге исчисления 237 1.5.
Правило решения Для решения простейшей задачи классического вариационного исчисления с использованием необходимых и достаточных условий экстремума слелует: !. Найти допустимые экстремали, т.е. допустимые функции, удовлетворяющие необходимым условиям экстремума ! порядка, Для этого нало а) Выписать необходимое условие экстремума ! порядка — уравнение Эйлера: Ь) Найти решения этого уравнения (они называются «зкстремалями»).
с) Найти решения уравнения Эйлера, удовлетворяющие заданным условиям на концах (они называются «допустнмыми экстремалями»). 2. Проверка необходимых и достаточных условий экстремума П порядка. а) Проверить выполнение условия Лежандра: Если Х„(!) > О аа ! Е [Го, Са] (выполнено условие Лежандра), то значит, выполнено необходимое условие слабого (а, следовательно, и сильного) минимума. Если Хш(!) < О У ! Е [Фо, й,] (выполнено условие Лежандра), то значит, выполнено необходимое условие слабого (а, следовательно, и сильного) максимума. Если же величина Хз,(!) знакопеременна на отрезке [ао, !а] (не выполнено условие Лежандра), то значит, не выполнено необходимое условие слабого (а, следовательно, и сильного) экстремума. В этом случае найденная допустимая экстремаль не доставляет слабого, и тем более, сильного экстремума.
Если Хе,(!) > О» ! б [го, йа] или Х,»(!) < О т Х б [Го, Г,] (выполнено усиленное условие Лежандра), то значит, выполнено необходимое условие слабого н сильного минимума, соответственно максимума. В этом случае переходим к исследованию условия Якоби. Ь) Проверить вьаполнение условия Якоби: Ь|) Выписать интегрант квалратичного функционала Х(т, ь, Ь) = Х,.(!)ь'(!) + 2Х.е(!)Ь(1)ь(!) + Х,.(!)Ьа(1). Ьа) Выписать уравнение Якоби на зкстремали й, т.е. уравнение Эйлера лля интегранта Х(1,Ь,Ь): 238 Глава 5. волевая второго порядка в вариаяиоиаом исчислении л — — й +йл=О.
оЕ и решить его с начальными данными Ь(ЕО) = О, Ь(ЕО) = 1'. Ьу) Найти сопряженные точки т, т.е. нули найленного решения Ь(Е) уравнения Якоби при Е > Ео. Ья) Проверить выполнение условия Якоби: Если в интервале (Ео, Е~) нет точек, сопряженных с Ео (выполнено условие Якоби), то значит, выполнено необходимое условие слабого (а, следовательно, н сильнога) экстремума.
Если же в интервале (Ео, Е~) есть сопряженные точки (не выполнено условие Якоби), то значит, не выполнено необходимое условие слабого (а, следовательно, и сильного) экстремума. В этом случае найденная допустимая зкстремаль не доставляет слабого, и тем более, сильного экстремума. Если в полуинтервале (Ео, Е~ ] нет точек, сопряженных с Ео (выполнена усиленное условие Якоби), то значит, выполнено достаточное условие слабого экстремума. Следовательно (напомним, что уже выполнено усиленное условие Лежандра), нарщенная экстремаль доставляет слабый локальный минимум (если йяя(Е) > 0 ч' Е Е [Ео, Е~]) или максимум (еслн йт*(Е) < 0 т Е б!Ео Е~!) Проверка на сильный экстремум.
с) Если ннтегрант й является выпуклым по х при всех фиксированных Е и х, рассматриваемых в качестве параметра, то х доставляет сильный минимум в задаче. Аналогично„если интегрант й является вогнутым по й, та х доставляет сильный максимум в задаче. д) Если интегрант й не является ни выпуклым, ни вогнутым, то следует проверить выполнение необходимого условия сильного экстремума — условия Вейерштрасса: С(Е, х, х, и) = й(Е, й, и) — й(Е, х, х) — йя(Е)(и — х) > 0 У и Е К, 'Ф Е Е [Ео, Е~] в задаче на минимум (С < 0 в задаче на максимум).
Если не выполнено условие Вейерштрасса, то в этом случае нарщенная допустимая экстремаль не доставляет сильного экстремума. 'для шкшр фуикииа к() = (л1! ),...,я„()) ишвтся фуишмяитвльивя оистсмя Ря/л](е) .. л",(1)~ шкиля урявияиия Якоби — мвтриия Н(1) = (Л'(Е) .. Л (О) = ~ ) ~ л„г!Е) ... л".(Е)) с ивчяльиыми условиями Н(гя) = О (иулвввя мятриив).
Н(го) = Е (елииичивя мятринв) / л;! ) ] б ~нй ) и О. покер.ьчолбиы л'() =, — Решения системы урввияиив '(, л'.'Н,Е' Якоби. Соиряивиимми точками булуг точки т — нули урввивиия дв! и!т.) = О. $1. Простейшая задача вариаяиоааого исчисления 239 1.б. Примеры Пример й Исследуем с помошью условий второго порядка задачу, рассмотренную нами в п. 1.2: л(х()) = / х иŠ— 1пГ; х(0) = О, х(!) = 1, о Мы выяснили ранее, что имеется единственная допустимая экстремаль х = Е, доставляюшая слабый локальный минимум в задаче и не доставляюшая сильного. При этом нами была построена последовательность допустимых (в задаче на сильный экстремум) функций х„б РС'([Ео, Е ~ ]), х„() — У() в С([Его Е,])„для которой й(х„()) — -со прн п — оз.
Поскольку йы(Е) = бх(Е) = б > 0 т Е Е [О, 1]„то выполняется усиленное условие Лежандра. Выпишем уравнение Якоби, которое является уравнением Эйлера по Ь вЂ” — й (Е)+й,(Е) =О ОЕ для интегранта й = йя Ь~+ 2й ЬЬ+ йявл~ = бйз: и — — 12Ь=О е=р Ь=О. тЕЕ Общее решение уравнения Якоби: Ь = С,Е + Сз. Начальным условиям Ь(0) = О, Ь(0) = 1, удовлетворяет функция Ь(Е) = Е. Эта функция не имеет нулей в полуинтервале (0,.1]. Значит, сопряженных точек нет, и стало быть выполнено усиленное условие Якоби. По теореме 3 выполнено достаточное условие слабого локального минимума, значит й Е тв!оспил.
Поскольку функция й = х не выпукла по й, то достаточное условие .з сильного минимума не выполняется. Проверим необходимое условие сильного минимума — условие Вейерштрасса: С(Е,У,й,и) = й(Е,х,а) — й(Е,х,й) — йя(Е)(а — х) = = и' — у — Зхь (и — й) = из — ! — 3(а — 1) > 0 (2) чиЕК, тЕЕ[0,1].
Оно не выполняется. Так как не выполняется необходимое условие, то функция х не доставляет сильного локального минимума. з зз Уравнение Эйлера: й+х= О. х~ =хм йз (' =-*; хз =хи — — Е, (!) ь Х„(!) = О дЕ для интегранта Е„х, 0 2 Е' Е,.„, 1 х2х = 2Ь, + 2Ьз+ 4Ь,Ьз Ь1 — — Ьз, (4) (=. Ьз=Ь„ 240 Глава 5. Условия второго порядка в вариациоииом исчислении Пример Я. Исследуем с помашью условий второго порядка задачу, рассмотренную нами в главе 3 п.
1.6 (пример 2): Е(х()) = / (хз — хз)д1 !пП х(0) = х( — ) = О. 2 ь Мы выяснили ранее, что имеется елинственная допустимая экстремаль х = О, не доставляющая даже слабого локального минимума в задаче. При этом нами была построена последовательность допустимых функций хх(1) = -'ып з', х„() — х() в С'((О, 1)), для которых 1(х„()) < 0 = 1(х()). Поскольку Х„(1) = 2 > 0 эу ! б [О, — "~, то выполняется усиленное условие Лежандра.
Выпишем уравнение Якоби, которое является уравнением Эйлера по Ь Х = 1 ьхЬ + ?Е.е,ЬЬ + Е.„Ь = 2Ь вЂ” 2Ь: Ь+ Ь = 0 е=ь Ь = С, эзп1+ Сзсоэй Начальным условиям Ь(0) = О, Ь(0) = 1, удовлетворяет функция Ь(1) = ып Е Эта функция в интервале (О, э') абрашается в ноль в точке т = зг. Таким образом, в интервале (О, — ") имеется сопряженная точка, и стало быть не выполнено необходимое условие Якоби слабого локального минимума, значит допустимая экстремаль В(.) не доставляет в задаче слабый минимум, и тем более не доставляет сильный минимум. Если воспользоваться теоремой 5 о необходимых и достаточных условиях экстремума в простейшей задаче вариационнога исчисления с квадратичным функционалом, то из того, что не выполнена условие Якоби, будет следовать, что абсолютный минимум в задача равен — са.
Уравнение Эйлера совпало с уравнением Якоби. Это не случайно. Так бывает, если интегрант исходной задачи является квадратичной функцией ат х,х. й ! Простейшая задата варивциоииого исчясления 241 Пример 3 (простейшая векторнан задача КВИ, в которой допустимая экстремаль единственно и доставляет сильный экстремум). 1(х()) = 1(х,(),хз()) = з~(х~~ + хз+ 2х~хз) д! !пГ; о х,(0) = О, хз(0) = О, х,(!) = ып 1, хз(!) = — э!и !. Условие экстремума 1 порядка — система уравнений Эйлера: х~ = СээЬЕ+ СзсЫ + Сз ып! + С4 соя 1, Обшее решение: ( хз = С~ 5Ы + Сзс!э ! — Сэ 5!я Š— Сз соэ Ь Начальные условия. х~(0) = Сз + Сх = О, )' х, = С,э!э! -1- Сз ып1, ( хз(0) = Сз С4 =0 з ~ ).хз = С~эЬŠ— Сзып! ( х~(!) = С~а!э!+Сэып ! = э!п!, С 0 хз(1) = С!э!э! — Сз ып 1 = — ып 1, Единственная допустимая экстремаль х! = ып1, хз = — ыпй Условия экстремума 11 порядка.
Условие Лехсандра. Хт = ~ -*'*' -*'*' ) = ( О 2з) . Ех,х, Е х,х, Эта матрица положительно определена, следовательно, выполняется усиленное условие Лежандра. Условие Якоби. Квадрати зныи интегрант Е (Е, Ь, Ь) = (1х*Ь, Ь) + 2(Еххй, Ь) + (Е. хЬ, Еэ) = =((' 'Н(,') ("')) ((' 'Н"'И"'))= Система уравнений Якоби (Эйлера для квадратичного интегранта Е): 243 1.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
