Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Простейшая задача аарпациоппого исчисления 231 получаем (поскольку х«, Л) — экстремаль лля любого Л, [Л[ < б) д Р д О гд — ~ — — г,, (1, х«, Л), х «, Л) ) + г., (1, х«, Л), х«, Л)) ~ 1 дЛ[, и* ' / П=ь — (Х.ь«)Н«,1.)+ Хь,«)Н«,1,)) + Х..«)Н«,1,)+ Х.,«)Н«,1,) = О. д1 Значит, матрица Н(,1.) удовлетворяет уравнению Якоби. При этом выполнены следующие начальные условия: д ~ д Н«„1.) = — х«„Л)~ = — й«,) = О, дЛ ' ~ь=о дЛ д, д н«.,1,) = — *«„л)~ = — [й«.)+л) = Е Пусть Н«,1ь) — матричное решение уравнения Якоби с условиямн Н«ь1ь) = О.
Н«ь,гь) = 2. Поскольку выполнено усиленное условие Якоби, то не существует нетривиального решения Л уравнения Якоби, удовлетворяющего условиям й«ь) = й(т) = О, гь < т < 1ь Таким образом, усиленное условие Якоби равносильно невырожденности матрицы Н«,1ь) = О при любом 1 б «еь 1~[.
Но тогда снова в силу глобальной теоремы существования и непрерывной зависимости решения от начальных данных [АТФ, с. 195[ прн достаточной близости 1. к гь матрица Н«,1,) будет невырожденной для любого 1 б [гь, 1~ [. Рассмотрим отображение Ф«,Л) = (1, х«,Л)) в некоторой точке «,О), 1 б [1ь, 1~[. Имеем Ф«, О) = [1,й(1)), бег Ф'«,О) = дег 1,1 О), ) — — г1егхь«,0) = бег н«,1,) ф О.
Значит, по теореме об обратной функции найдется такое б = б«) > О, что для любой точки (т,б), для которой [1 — г[ < б, [й«) — 6 < б, существует единственное Л = Л(т, (), такое, что Ф[т,Л(т,б)) = (т,() ч=ь х(т, Л(т,б)) = ~. В силу компактности графика Гг = (гг(1,У«)) б Кьы [ 1 б [гь, Ю,[) (нз любого открытого покрытия компакта можно выбрать конечное подпокрытие) можно найти одно бь, такое, что для любой точки (т,с), т б [гь, 11[, [х(т) — с[ < бь, существует (и, как нетрудно понять, единственное) Л = Л(т,г) при котором х[г,Л(т,г)) = (. При этом гладкость функции Л такая же, как гладкость х т.е.
С . Построение центрального поля, окружающего экстремань, закончено. 232 Глава 5. Условия второго порадка в вариациоином исчислении 5-функция и ее дифференциал Пусть х(, Л) — два~кды непрерывно дифференцируемое централь нос поле экстремалей с центром й„окружающее экстремаль х() и интегрант А — трижды непрерывно дифференцируем в некоторой окрестное~и расширенного графика Г;л (Ь б С~(сг(Гсс)) ).
Функция Я(т,й) = / Ь(й,х(С,Л(т,~)),х(й,Л(т,Ц)) сйй !. называется 54ункцией центрального поля х(, Л), Найдем дифференциал Я-функции. Он понадобится нам для вывода основной формулы Вейерштрасса при доказательстве достаточных условий сильного экстремума, Для нахождения частных производных Я-функции нам понадобятся некоторые соотношения. Имеем по определению поля и функции наклона поля х(г, Л(т, с)) = с.
Дифференцируя обе части этого равенства по т, получим х(т, Л(т,()) + хс(т, Л(т,й))Л,(т,б) = О =ь — ххйс = х(г, Л(т,~)) =: и(т,й) (т) (и(т,с) — функция наклона поля), дифференцируя обе части равенства по С, получим хз(т, Л(т,()) ЛС(т,() = 1 (о (1 — елиничная матрица). Поскольку с, — центр поля, то х(с„, Л) = х., и, значит, выполняется следующее соотношение хх(С,Л(т,Е)) = О. Найдем л„, дифференцируя по т интеграл с. переменным верхним аа пределом, и используя непрерывность хс, вытекающую из того, что х(,Л) б С'. Имеем — = 1(т,с,и(т,с)) + с + / (с,(й,х(С,Л(т,О),х(С,Л(т,б)))х~(С,Л(т,й))Л,(т,~) + !.
-С- Ьа (С, х(й, Л(т С)), х(й Л(т О))хх(й, Л(тЕ)) Л,(т б)) сйй = й(т С, ц)-- гзз $ 1. Просгеишая задача вариацноииого исчнслениа г т + / (ь,хзл, + ь хслс) ссй = ь(т, с, ц) + / й пхнул~ сйс + / с'а дххл» = !. с — Ь(г,г„и) + Ь хсЛ,~ + ~ ( — — Ь + Ь,) хсЛг сйй = с. с. с'М ~й,(т,с,и(т,с)) — Ь (т,с,и(т,с)) и(т,с).
При выволе мы воспользовались тем, что функции х(, Л) — экстремали, т.е. удовлетворяют уравнению Эйлера. Формула для кз выводится аналогично. Дифференцируя по ас получим дЯ вЂ” ( (Ь~хсЛС +ЬсхсЛС) сйй = / Г~хххЛС сйй + / Ь~ сйхАЛС = дс г т = ТахсЛС/ + / ( гс + гс)ххЛС сйй = Гс(т,~,ц(т~б)' Таким образом, имеет место следующая формула для дифференциала функции Я: дЯ дЯ сйЯ(т,О = — сйт+ — сйс = =д- д~ = (цт ~,и(т,~)) — Гс(т,й,и(тд))и(т,с)) сйт+с (тХ,и(т~~)) сК. В частности„лля функции х б РС'((Сщ С!),К") формула лля дифферен- циала функции Я примет вид: йЯ(с,х(с)) = (Чс,х(й),и(с,х(с))) -ь,(с,х(с),ц(с,х(с)))и(й,х(й))) ас+ + щ(с,х(й),и(с, х(й))) ссх(с) = = ь(с,х(й),и(с,х(с))) +х (с,х(с),ц(с,х(с))) (х(с) — и(с,х(й))) сйй.
(!) В таком виде мы ей и будем пользоваться в дальнейшем. Отметим также, '""сс, поскольку н(й, й(й)) = х(й), то дя(й, й(с)) = Х(с). (2) '34 ! с,пэ, ' Условия второго порядка в вариапионном исчислении !.4.6, (остаточные эсловия слабого зкстречэма Теореча 3. Рюгскь функция х С ![Со. Сс [, й") — с>оп>стихая лк,сц "ссреицт н юссичг ! Р!. ияспегриияс Е ь с ! р н й ), гдг У С й — неютср и Рия мр стяигвсь;рафика 1; = [!С, хэг)! , 'С б [Сс„гс [), па х выкаткам .си сгпямг эс.синст Лгмссидри сс Якобсс.
>огс)и т сгогтивсягсп ссиоыи .сока си, й ииксмпм ! г -' ч!осспсп Р) [чТсй, с. > 7[ 1.4.7..1осэаточные >славия сильного экстречэма Теорема 4. 1>>ссссо фэикиия .г б С ([Со, Сс [. й") — с>опус сличая >клире иаль в юс>анг (Р). иитгграисп 1, О Сэ(У х й"), где У О й" ' ' — яекотссрая сск>ссгтиогят графика 1',, иа д выиотгиы >сап иныг условия Лгжсснс>ра и Якоби, июягграят 1.
является выссуклыэс яо х ии !'. Тогда з' доставляет си сысыи сокссльяснй мтсцн>.я (й б чс!оспин Р). Доказагельсгно. Ус.юния теоремы позволяют (см. и. !.4.5) окру. мить х эсснгральссыч полем эксэремалей х1, Л), покрывающим некоэорую окрестносэс, С> О Г графика 1', Пусть х б РС~([Со, Сссээ прои эпозьпая допустиэюя фуэскпия, график 1', которой расла.сс»кеп в энэи окрссэности. Тогла по формуле (2) и.
!.4.5 1( г) — — / Ь(С) дС = ~дВ(С, х(С)) = В(г их,) —. В(го, х ) = ~ дя(С, х(С)) ь с, Следапсп ельца, по формуле (! с и. ! 45 с, 1( ) — 1(*) = (1 Е (С, (С), (С)) АС вЂ” ~ АВ (С, (С)) = / ')Ь(С х(С). х(С)) — Ь(С, х(С)си(С, х(С))) — Ь (эС, х(С), и(С, х(С))) х с '. (х(С) — и(С,х(С)))) дг = / Е(С,х(С),и(С,х(С)),х(С)) сй. с„ Эту формулу называют оссювиой фор.я>.сей Вессерссссссрасса. Из выпуклостэ' иптеграэпа следует (см. и.
!.3), чэо если (С, х) б В. то В(С. х, и, х) > О азя любых !и, х) Е Йх х й" '1гьич образом. ) Е [С, х(С), и(С, х(С)), х(С)) сСС л О и. значит. 1!гс Сс с ! э с д лоссовляст си эьпып чпничэч я й ! Простейшая залача вариациоииого исчисления 235 1.4.8. Квадратичный функционал Вьшелнч случай квадратичных функционалов для вектор-функций х( ) = (х, ( >,, х„! ) ), который исследован до конца.
рассмотрим задачу 1(х(.)) = /((Ах,х) + 2(Сх,х) -э- (Вх,х)) АС щП х(Со) = хо х(Сс) = х» где А(С), В(С), С(С) — матрицы порялка и х и, на слабый и сильный минимум. Теорема 5. Л>ссссо в задаче (Р') матрицы А и С непрерывно диффереицир>емм, а В непрерывна; выполнено усиленное условие Лежандра (А(С) > О э> С б [Со, Сс [ — поло>кительно опРеделена). Тогда, если выполнено усияениое условие Якоби, то допустимая зкстремаяь существует, единствеяяа и доставляет абсолютный минимум.
Если же не выполнено условие Якоби, т. е. в интервияе (Со, Сс) есть сопряженная точка, сно значение задави ровно — со (В,ымс„— — — оо) Заметим, что по лемме о скруглении углов абсолютный минимум и сильныи, и слабый совпадают, Доказательство. Отметим вначале, что для квадратичных функционалов имеет место равенство 1(х + Л) = 1(х) -э- 1"(х)[Л[ + -1"(ф)[Л, Л[. 2 Если х — допустимая экстремаль в задаче, то 1'(х)[Л[ = О эу Л Е Со!([Со, С,[) (это соотношение эквивалентно уравнению Эйлера). По! скольку лля квадратичных функционалов — 1 (х)[Л Л[ = 1(Л), то на экс- 2 тремали й выполняется соотношение 1(х+ Л) = 1(х) + 1(Л) эу Л б Со([Со, Сс]). (о) Прслположим выполнено усиленное условие Якоби. Обозначим Н(С, т)— матричное решение уравнения Эйлера (совпадаюшего для квадратичной задачи с уравнением Якоби), удовлетворяющее условиям Н(т, т) = О, Н(т, т) = 1.
Из усиленного условия Якоби вытекает, что матрицы Н(С, Со) и Н(С, Сс) невырождены для С 6 (Со, С, ) и [Со, С, ) соответственно. Положим Но(С) = Н(С, Сэ)Н (Со, Сэ), Нэ(С) = Н(С, Со)Н (Сэ, Со) Тогда Н,(С ) = бн1 (бн — символ Кронекера), С,> = О, 1, и, значит, х(С) = Но(С)хо + Н,(С)х, — допустимая экстремаль в задаче (Р'). Эта 236 Глава 5.
Условия второго порядка в варнашншдом начислении зкстремаль единственна, поскольку если бы й(.) была бы лругой допустимой экстремалью, то у = е — У было бы нетривиальным решением уравнения Якоби с условиями у($о) = у(1,) = О, а это противоречит усиленному условию Якоби.
Поскольку уравнение Эйлера для квадратичного функционала является однородным уравнением, то функция Ь = О будет экстремалью. Окружим ее центральным полем экстремалей. Семейство функций Ь(, Л) = Н(, г,)Л, гле г, < ао настолько близко к го, что матрица Н(1,Г,) невырождена при го < ! < 8,, покрывает всю полосу Го < ! < Во Кроме того й(т, Л) = ( ео Н(т,а,)Л = ( оо Л = Л(т,Х) = Н (т,г,)Г Е С . Функция наклона поля и(т,Г) = Хаь(Г,Л(т,о))( = Н(т,г,)Л(т,0 = Н(т,Е,)Н '(т,!.)Х. Для функции Ь б Со([го, г~[) по основной формуле Вейерштрасса 1(я + Ь) — 1(У) = 1(й) = 1(ь) — 1(ь = О) = а) (Х(Е,Ь, Ь) — Ь(!,Ь, и(Е,Ь)) — (Ь„(Е, Ь,и(Е, Ь)), 6 — и(Ф, Ь))) А! = (для квадратичной функции Х(Ь) — Х(и)-Х'(и)(Ь вЂ” и)=( Х«(и)(й — и), (Ь вЂ” и)) ) = ~ ( -х,л„(!, ь, (!, ь)) (ь — (!, ь)), ь — (г, ь)) и > О, ибо аХ,„а(!) = А(!) > О (положительно определенная матрица) по усиленному условию Лежандра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
