Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050557), страница 50
Текст из файла (страница 50)
а 5. Прнлажтат обвмй теории к реваввю ковяревнмх за,аач 299 Это, с одной стороны, задача выпуклоп) программирования, а с лругой — оптимального управления. Пусть х() — решение зааачи (в). Условие стацнонарности привалит к следуюшему тождеству: (й(1)х(1) + 4(х — у) + ру) 42+ р(х(0) — 1) = О, а принцип минимума к равенству й(1) = вйп!2(1). Интегрируя тождество по частям, приходим к соотношениям Из этих соотношений вытекает интеграл энергии: Кроме того, мы приходим к следуюшему основному тогкдеству: — р(0)х(0) + / (й(2)х(1) + р(1)х(1)) дг ьа 0 В том, что из (вв) следует (йв) тривиально проверяется непосредственно. 3. Исследование. Для решения задачи достаточно построить пару (й( ), р( )), удовлетворяющую (й). Действительно, если такая пара построена, то тогда из (ввв) последует точное неравенство (для х(0) = 1, [х(1)) < 1): с )/2 — )/2 асс'а~ ~ !сс'с !сс)ю*е)ь 'й' -))'2 ))2 '=" (~сс Ло) — ! с)а)с)~)а р ! с'с ас в (т. к.
согласно (ввв) !ь(0) — ) [Р(1)[42 = [ х 422[ ). Для построения пары (х(1),р(1)) используем автовюдавыюсвгь эгей задачи, т.е. инвариантность уравнений (вв) относительно преобразований: 1 ь (хь(.),рв()), хь(2) = 12х(-„'), рь(1) = 1~р(-„'). Обозначим зоо Глава 6. Обвала теория экстремальных задач ЗО1 $6. Заклвиипчльиые замечаивя й(0) = -а, а > О, тогла из (и ) последует р(0) = з . Получаем, что для малых ! наши функции выражаются следующими формулами: ! !2 !3 14 й(!) = — — а! + 1, р(!) = — — — + а — — —. 2 ' 2а 2 6 24 Пусть Т = Т(а) — первый положительный нуль функции !З( ).
Из опи- санной инвариантносги и единственности решения (следующей из стро- гой выпуклости функционала) должно последовать, что й(т)=(й(т)) 'й(фю(т)!!+т~, б(т)=-(й(т)) '!з( l)й(т)[!+Т), откуда немедленно вытекает равенство — = — а . Таким образом, 4!ГЗ -2 е!г!' для определения двух неизвестных а и Т имеются два уравнения: — а [ — — ат+!) = 2 Т Т Т у(а) = — — — + а— 2а 2 6 (Т вЂ” а), (зе) т4 — — = О. 24 Теорема (решение задачи Фуллера для р = 2, з = О). Имеет место неравенство Цэ()Цсз<я,! ( Щ~я(.)Ц и !)[й()Ц 1, (С .
[МИ-Т, . !17-!21).) 43. Реизить задачу ( +й) И пзш; *(О)=1. (43) Из квадратного по Т уравнения (зе) получаем: Т = а 1+ /~« Таким образом, а > ъ'2, причем р(ъг2) = л(ъз2) = эз(~г2) = О. При этом легкий подсчет показывает, что у'(ъг2) = -оо, и у(а) — оо при а - оо. Отсюда слелует, что уравнение у'(а) = 0 имеет положительный корень а. Это и завершает построение пары (е(!),р(!)) на отрезке [О,Т(а)), а значит, из-за аатомодельности задачи можно достроить решение на всей полупрямой.
Оно оказывается финитным и склеенным из счетного числа парабол. Величина а легко считается приближенно и оказывается равной (с точностью до одной десятитысячной) 1.4997. (Оно находится и «явнозс -4 З«З,/МЗ а = .) Таким образом имеет место (Решение этой задачи равносильно решению залачн (Рз з 2 2), й = 0,) Ответ: й(!) = е зглуссж 4 . «'2 ' 4 6. Заключительные замечания Как было сказано вначале, вторая часть была написана на основе полугодового обязательного курса, прочитанного Тихомировым на механико-математическом факультете МГУ.
Несколько слов об «архитектуре» курса и этой части книги. В начале курса речь шла о базе, о «предварительных сведениях». Основная же часть курса делилась на пять частей: необходимые условия, достаточные Условия, суизествование решений, алгоритмы, и решения задач. В этой главе книги «базовой» части мы не уделили внимания, ибо в курсе, хотя н несколько по-другому, но по сути дела излагалось содержание 05 гл.1, В курсе была охвачена значительная часть теории, касающейся необходимых условий экстремума, которая строилась на протяжении более, чем трех с половиной веков (с того момента, когда Ферма в 1629 году впервые получил общий прием решения задач на экстремум и кончая фактически нашим временем).
Эта часть курса (с некоторым превышением) отражена в Ц! этой главы. Читатель может провести сравнение содержащегося в этом параграфе соответствующим материалом, изложенным в учебниках [А), [Б), [ГФ), [Я). Тем более важно обозначить те задачи, которые находется за гранью описанной теории. Мы, в основном, рассматривали задачи вариационного исчисления и оптимального управления в одномерном случае (когда переменное ! одномерно).
Одной из наиболее важных проблем теории экстремума представляется нам доведение теории многомерных задач (где незавимое переменное многомерно) вариационного исчисления и оптимального управления до того уровня, которого достигла одномерная теория. (О состоянии многомерной теории можно получить представление по книгам [Мог) и [К!).) Естественно начинать думать и наа вариационным исчислением в бесконечномерном случае — хотя бы на уровне условий первого порядка (скажем, в задачах об оптимальных диффеоморфизмах и т. и.).
Но и в одномерной теории остаются нерешенные проблемы„например, те, которых мы коснулись, когда обсуждали неравенства для производных — проблемы, когда функционалы определены на некомпактных множествах типа прямой или полупрямой. Кроме того, хотелось бы построить теорию, позволяющую алгоритмически действовать и в тех случаях, когда решения нет. В части достаточных условий в курсе излагался традиционный материал, содержащийся в первой части книги. В 02 этой главы сделаны начальные попытки взглянуть на проблематику более широко. Размеры 302 Глава 6. Обе~ад творца экстремальных задач книги не позволили сделать это полробнее. Предполагается специальное издание, в котором будут освещены проблемы возмущений экстремальных задач, достаточных условий и симплектической геометрии.
Материал Я 3 и 4 (существование и алгоритмы) примерно соответствует тому, что было прочитано на курсе. Материал 85 (решение задач) отрабатывался на разного рода математических кружках, семинарах по курсам оптимизации и специальных семинарах. Сп]]басок литературы к части 11 [А[ дхиезер Н. И. Вариационное исчисление. Харьков: Изд.
ХГУ, 1981. [АГТ[ Алексеев В. 8Г., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. Мэ Наука, !984. [АТФ] Алексеев В. М., уяхамирое В. М., Фамия С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, !979. [Б[ Блисс Г.А. Лекции цо вариационному исчислению. Л.: Иностранная литература, 1950. [В] Васильев Ф. П. Численные матоды теории экстремальных задач. М.: Наука, 1980.
[ГТ] Галеев Э. Ы, Тихомиров В. М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: МГУ„1989. [ГФ] Гельфанд И. М., фамил С. В. Вариационное исчисление. М.: Физмазтиз, 1961. [ИТ] Иоффе А.Я., 71сгамирсе В. И. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. [МИ-Т] Магарил-Ильлев Г. Г., Псхомирсе В. М. Выпуклый анализ и его приложения.
М.: Здиториал УРСС, 2000. Матем. сборник. Т. 188, Ж 12, ! 997. [МИ-Т1] Магарил-Ильлев Г. Г., 7ихомиров В. М. О неравенствах для производных колмогоровского типа. Матем. сборник. Т. 188, го 12, 1997. [Пол] Иияк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. [Пон] Понтрягин П.С. и др. Математическая теория оптимальнвх процессов.
М.: Наука, 1976. [Р] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. [Т[ Тяхоииров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: Наука, 1986. [ХЛП] Харди Г., ЯивглымгудД. Б., 17олиа Г. Неравенства. М.: Иностранная литература. 1948. ЗВ4 Список литературы к части Н [ЭТ[ Зклалд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.
[Я[ Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. [К![ К!у!пег Я. МеЬгдппепяопа! Чапа!!опагесЬпцпа. Вег!!и, ЧЕВ 17ецгасЬег Гег!ай, 1971, [Мог] Лгопеу СЛ. Я. Чц1йр!е !и!ейга1а !и гйе са1ац!оз остапа!!опа. 61езт Уог1с брппяег, 1966. Список обозначений аЬяп!и (аЬяпах) — абсолютный, т,е. глобальный минимум (максимум) в задаче !осш!и (1осшах, !осехгг) — локальный минимум (максимум, экстремум) бмм (8,„), иногда, чтобы подчеркнуть глобальность экстремума Ба1, щ,п (Яаб „), — численное значение абсолютного минимума (максимума) задачи (Р) — нумерация (обозначение) задачи Лга Р— множество решений задачи (Р) Яр — численное значение задачи (Р) П(Р), иногда 77р, — множество допустимых элементов в задаче (Р) 77(е) — множество функций дифференцируемых в точке л 79~(й) — множество функций 7г раз дифференцируемых в точке У (7г > !) (а,6) — скалярное произведение векторов а и 6 11п(ац..., а ) — линейная оболочка векторов а„..., а 7 — единичная матрица (к ! А(х)) — множество элементов х, обладаюших свойством А(х) Х' — пространство сопряженное с Х (е', л) — значение линейного функционала х' на элементе х 7,(Х,'г') — пространство линейных непрерывных отображений из пространства Х в пространство У г ~ — аннулятор множества 7 Л' — оператор, сопряженный с оператором Л, (Л'у', х) = (у*, Лк) х( ) — обозначение, которым подчеркивается, что х( ) является элементом функционального пространства С([!е, 1,[,=~) — пространство непрерывных на отрезке [1е, 1,[ функций к(): =ь ~" с нормой Ик()Ио = пзахге!шп! [а(!и С(К, ~") — пространство непрерывных вектор-функций х( ):.К =ь", заданных на компакте К с нормой Их()Ие = шах,гк [к(!)! С'(К, =>") — пространспю г раз непрерывно дифференцируемых вектор- функций а(.):К - ~", заданных на компакте К с нормой Их()И, = (Ик()Ие, Ий()Ио,",Ик!'!()Иа) = — Г:=~!э ( — оо) гз (+со) — расширенная числовая прямая соле С, иногда со С, — линейная оболочка множества С 306 Список обозначений аннулятор множества 62 В вариация по Лагранжу 53, 57, 69, 145, 163 вектор базисный 70, 88, 111 — касательный 67, 255 — небазисный 88 — ограничений 87 — стоимости 87 возмущение задачи 251 — — стандартное 265 дифференцируемосгь по Гаго 54, 58, 59 — по Фреше 54, 56, 69 — строгая 53, 55, 57, 58, 60 задача Аполлония 4, 29, 286 — Арестова 298 — Архимеда 281 — Больна 5, 143, 153, 155, 249, 258 — быстродействия со смешанным критерием 289 — варнационного исчисления 249, 266, 284 — выпуклая без ограничений 45, 49, 284„287 — — с ограничением 45 — выпуклого программирования 46, 249, 260, 298 — Герона 286 сопт С' — выпуклая оболочка множества С довез — эффективное множество функции У ер! У вЂ” налграфик функции У г!еГА(х) — индикаторная функция выпуклого множества А оА(у) — опорная функция множества А д,Г(х) — сублифференциаа выпуклой функции Г в точке х г!еГ~,Г(х, И) — производная по направлению А отображения у в точке х г!еГ/(х, ) — вариация по Лагранжу отображения У в точке х Уо(х) — производная Гаго отображения у в точке х /'(Ю)[Гг] — действие производной (Фреше) Г'(8) на элемент Л БР(х) — множество отображений строго дифференцируемых в точке х гР о 1о — суперпозиция отображений !о и 1о, (гР а !о)(х) = !О[!о(х)) Л(х, оеГ) — открытый шар радиуса деГ с центром в точке х ТоМ вЂ” множество всех касательных векторов к множеству М в точке х То'М вЂ” множество односторонних касательных векторов к множеству М в точке х хо (Ао) — базисный вектор (матрица) в линейном программировании х„(А„) — небазисный вектор (матрица) /' — сопряженная (в смысле Лежандра) функция к функции у /" — вторая сопряженная функция к функции Г Р" — двойственная зааача к задаче Р Е(Р) — множество экстремалей в задаче (Р) РЕ(Р) — множество допустимых экстремалей в задаче (Р) го!осш!и (в!осгпах, ю!осехгг) — слабый локальный минимум (максимум, экстремум) огг!оспин (о!г!остах, згг!осехгг) — сильный локальный минимум (максимум, экстремум) РС(гз, «") — пространство кусочно-непрерывных на отрезке Ь вектор- функций РС'(Гз, «") — пространство кусочно-дифференцируемых на отрезке гз вектор-функций Со [[Го, 1~]) = [Л() б С (]го, 1~]) ] Гг(1о) = Го(1~) = О) Го.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
